数理统计试题

1、Xio)，10s2 =八(Xi -Y2)23 i=75.设总体XN( ；2) , Xi,X2，,Xn是取自X的一个简单随机样本，X与S2 分别为样本均值与样本方差，检验假设, Hi"o，其中0为已知常数，则检验统计量为，在显著性检验水平为 :时的拒绝域为X -V-。5- t =产，t 王0( n S/ , n6.设Xi, Xi。是来自正态总体N(2)的一个简单随机样本，且 1YiQXi X2X6)，Y2J(X7X8 X9令守，则当k二时，Z服从t分布，自由度为；8、设总体XU(B, )为未知参数，Xi,X2l(,Xn为其样本， -1 nX二丄 Xi为样本均值，则d的矩估计量为： .n

2、 i 18、二的矩估计量为：2X 。9、_9.216，10.784;9、设样本Xi,X2l(,X9来自正态总体N(a,1.44)，计算得样本观察值X =10，求参数 a的置信度为 95% 的置信区间： ;9 .设(Xi,X2l(,Xn)是总体N(a2)的样本，则当常数k二时，n_；?2(Xj -X)2是参数匚2的无偏估计量。i 119. k;10. (4.412, 5.588)n -110. 设由来自总体XN(a,0.92)容量为9的样本，得样本均值x =5,则参数a的置信度为0.95的置信区间为六、(本题满分16分)设总体X的概率密度函数为f(x)"(日+1)x90 ,0 ： x

3、: 1 其它其中._1为未知参数,2X -11 XXi,X2/ ,Xn为来自该总体的一个简单随机样本(1) 求前勺矩估计量?m ；(2) 求的极大似然估计量？mle ；(3) 若给出来自该总体的一个样本e，,e = e = e，求概率 PX :：: 0.2的极大似然估计值。- -i.；i1 ii六.(1)因 E(X)二 xf(x)dx =(r 1)x dx,令 E(X)=X 即X ,解得-'=o'' 2：V -2n设X1,X2,，Xn是样本X1,X2,，Xn的观测值，则似然函数为L(d)=U f伪),当nn0< X1,X2，Xn <1 时有：L(d) =LJ

4、 (才 1)妒,取对数得 ln L 二 nln( 1)十Tn Xi ,故由 i 二iAdln LnnIn x0解得?. nin Xi 0 解得-M L L 1dr二 1i _1ni n' In xii :-从而d的极大似然估计量为v ln Xii =10.2 %e0.2口A 十n又 In Xi 二 -16 ,所以?mlei d因为PX ：0.2 = 0 L 1)x d0.2-,所以PX 0.2的极大似然估计为设每袋重量服从正态分布N (.二，二2 )。(1) 试问该包装机工作是否正常？(: =0.05)(2) 若已知该天包装机包装的水泥重量的方差为二2 =0.3，求水泥平均重量J的 置

5、信度为95%的置信区间。(已知：x=49.9, s = 0.5362;z。=1.283 ,z0.05 =1.645 ,z0.025 =1.960 ;(8)=1.3968，1x(9)=1.3830，1x(10)=1.3722，t0.05(8) =1.8695，t0.05(9) =1.8331， 気5(10) =1.8125 , t°Q25(8) =2.3060 ,応25(9) =2.2622，t°.°5(10) = 2.2280)七.(1)构造假设Ho=50 ,比：50 ,取检验统计量TX 70S/ . nH0为真 t(n -1),由P|T|l./2( n_1)=，

6、得 拒 绝 域 为：|T|t：./2( n-1).又-2|49 9 一50 |n= 9,x=49.9,s =0.29 , a =0.05 , to.025 (8) =2.3060 , T=0.56 c 2.3060 ,故应(0.29/9接受H 0，即认为包装机工作正常.因为二2 =0.3已知，所以总体均值的置信度为1 -:的置信区间为(X -Z-./2,X - Z-/2Jna 匸),乂 Z-./2n=z0.025= 1.96,故(X -Z-./2 -,X - Z-./2fnI"，1.96 烏3,49.9 侦嚣= (49.5422,50.2578).3、(11分)设总体X的概率密度函数

7、为:X0x _0x 0X1,X2，,Xn是取自总体X的简单随机样本。1 ) 求参数二的极大似然估计量；2)验证估计量役是否是参数二的无偏估计量n为Xin 1 A 13、解 1) L(X1,X2,|l|,Xn 门)：| 丨-e二廿廿In L(x),x2I|, xn,r)= -nln - - nX令 d ln L令drnx=02 . （10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5%。,假定有害物质含量X服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据:0.530%，0.542 %，0.510 %，0.495 %，0.515 %能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了

8、规定c二0.05） ?附表：2 . 解：Ho :a 兰 0.5 (%)，比：a >0.5拒绝域为：=X 一0.5 V5沁0 95切 s计算 X =0.5184, s =0.018X -0.5 厂t=丁5 =2.2857 沁。95(4)，s所以，拒绝H。，说明有害物质含量超过了规定2 . （8分）设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了 36位考生的 成绩，算得平均成绩X=66.5分，标准差s = 15分，问在显著性水平:=0.05下, 是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分，并给出检验过程。2. 解： H。：a =70 （%），H, : a 式70拒绝域为：0珂气t&

9、#176;.975（35）根据条件X =66.5，§=15，计算并比较=1.4 cto.975（35） =2.0301所以，接受H。，可以认为平均成绩为70分2 . （12分）设总体X的密度函数为(x)=0,X _ dX :f(1)参数d的矩估计量纟（2）日的极大似然估计量e?。2. (1)-bo计算EX = xee根据矩估计思想，X二EX_1解出：呀= X-i ；(2)似然函数L(X1JH,Xn)=nIT e2iA0,Xj _ 二e=<其它0,曲心，X “其它其中二0是未知参数，（X1,X2,|（,Xn）为总体X的样本，求显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到的极大似然估

10、计。用分析的方法。因为日兰x（1），所以eX（1），即L（X1,il| Xn）日WLX,山X）X所以，当爲=x（1）=mi n（X川,XJ时，使得似然函数达最大。极大似然估计四、（11分）设总体X的密度为:Q W 0*110, 其它其中二-1是未知参数，（Xj儿Xn）是来自总体X的一个样本，求（1）参数日的矩估计量氏；(4) 求 Z 二 X Y 的密度;：z(z) ；( 5)求 D(2X -3Y)。（2）参数日的极大似然估计量 国；四、解：（1） EX = x（日+1）x%x=q,0 + 2令EX =x，即匸一1 =x2nn(2) L(R 赳 哄心旳=(1)n(i【xf,0：x：1,i =1,

11、2,，ni二i丄：ln L(v)nIn Xj = 0i丄nIn L(R = nln(=1) T in xi ,解得$ 一1 一Z In Xii 4六、（10分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布 N（a,；2）, 得到的10个测定值给出X= 0.452,$=0.037，试问可否认为水份含量的方差2二=0.04 ?（: =0.05）附表：為05(10)=3.94,驚025(10) =3.247, (93.325,鬻.。5(9) =2.7,瞪.975(10) =20.483,鴛975(9) =19.023,瞪95(10) =18.307,鬻a(9) =16.919,六、解：H0u2=0.04, 比：二2=0.04拒绝域为：(nn-1)或(n-N > 逬屯2(n -1)a0CT0计算得 工-1)0.037 =0.2738,查表得 0。25(9) =2.70.2738%0.04