2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题26平面向量的数量积及平面向量的应用(教学案)(原卷版)

1、1理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.2. 掌握数量积的坐标表达式，会实行平面向量数量积的运算.3. 能使用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.4会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.会用向量方法解决简单的力学问题与其他些实际问题.重点知识檢理1 .平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与 b,它们的夹角为0,贝 U 数量| a|b|cos_0叫作 a 与 b的数量积(或内积)，记作 a b,即 a b= | a| b|cos_0,规定零向量与任一向量的数量积为0,即 0 a = 0.(2)几何意义：数量积 a b

2、 等于 a 的长度| a|与 b 在 a 的方向上的投影| b|cos_0的乘积.2 .平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量 a= (%, y) b= (X2, y2),0为向量 a, b 的夹角.(1)数量积：a b= | a| b|cos0=X1X2+ yiy2.模：| a | = a a = . xf+ y?.a bX1X2+ y1y2夹角：cos0= | a| b| =_x2+ y2 ,x2+ y2.(4) 两非零向量 a 丄 b 的充要条件：a b= 0? X1X2+ y1y2= 0.(5) | a b| aII b|(当且仅当 a / b 时等号成立)? |X1X2+ yl 0

3、且两向量不共线；(2)求向量模的最值(范围)的方法：代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求 最值的方法求解；几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图 形求解.1【举一反三】(1)已知单位向量 e1与 e2的夹角为a,且 cosa=3,向量 a = 3e1 2e2与 b = 3e1 e2的夹角为B,贝Ucos3=_.在 ABC 中，若 A = 120 ABAC=1,则|BC 的最小值是()A. ,2B. 2C. 6D. 6高频考点三平面向量与三角函数x0, 2 .(1)若 m 丄 n,求 tanx 的值;n若 m 与 n 的夹角为 3，求 x 的值.【感悟提升】

4、平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1) 题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，使用向量共线或垂直或等式成立得 到三角函数的关系式，然后求解.(2) 给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题 思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.【变式探究】已知 O 为坐标原点，向量 OA= (3sina，cosa，OB= (2sina，5sina4cos a)，a當，2n，且 OA 丄 OB，则 tana的值为()4A. 34B.54C53D4高频考点四向量在平面几何中的应用例 4、已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线

5、的三个动点，若动点P 满足 OP=OA+ AB + AC)，入 (0，+)，则点 P 的轨迹一定通过厶 ABC 的()A.内心B.外心C.重心D.垂心【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系.【变式探究】(1)在平行四边形 ABCD 中，AD= 1，/ BAD= 60 E 为 CD 的中点.若 ACE=1,贝 U AB=_ .(2)平面四边形 ABCD 中，AB+ Ct)=0，(AB AD) AC= 0，则四边形 ABCD 是()A.矩形B.梯形C.正方形D.菱形高频考点五、向量在解析几何中的应用例 5、已知

6、向量 OA= (k,12)，OB= (4,5)，OC= (10，k)，且 A、B、C 三点共线，当 k0 时,例 3、(2019 广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量 m=n = (sinx, cosx),若 k 为直线的斜率，则过点(2, 1)的直线方程为 _.设 0 为坐标原点，C 为圆(x 2)2+ y = 3 的圆心，且圆上有一点 M(x, y)满足 OM CM = 0, 则y=.x【感悟提升】向量在解析几何中的作用：(1)载体作用，向量在解析几何问题中出现，多用于 包装”解决此类问题关键是利用向量的意义、运算，脱去向量外衣”；(2)工具作用，利用 a 丄 b? a b= 0;

7、a / b? a = Ab(b* 0)可解决垂直、平行问题.【变式探究】已知圆 C: (x 2)2+ y2= 4,圆 M : (x 2 5cos 0)2+ (y 5si nB)2= 1(BR),过圆 M 上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE, PF,切点分别为 E, F,则 PEPF 的最小值是()A. 5B. 6C. 10D. 12高频考点六向量的综合应用y汰，例 6、(1)已知 x, y 满足$x+ y 0)，若以向量 e1, e2为邻边的三角形的1面积为 2，则 k 的值为()A2BTD.f4.若 OABC 所在平面内任一点，且满足(OB OC) (OB+ OC- 2OA) = 0

8、,则厶 ABC 的形状为()A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形5在 ABC 中，如图，若 |AB+ AC = |AB-AC , AB= 2, AC= 1, E, F 为 BC 边的三等分点,则 AEAF 等于()8102526A-9B6C6D796.在厶 ABC 中，M 是 BC 的中点，AM = 3，点 P 在 AM 上，且满足 AP= 2PM,则PA(PB+PC)的值为_.7 .如图，在厶 ABC 中，O 为 BC 中点，若 AB= 1, AC= 3,AB,AC=60则 | OA| =_.&在 ABC 中，若 OAOB=OBOC=OCOA,则点 O 是厶 A

9、BC 的_ (填 重心”垂心”内心”外心” )9.已知 | a| = 4, | b| = 3, (2a- 3b) (2a + b)= 61.(1) 求 a 与 b 的夹角0;(2) 求 | a+ b| ;(3) 若AB=a,BC=匕匕，求厶 ABC 的面积.10.在厶 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c,向量 m = (cos(A B), sin(A B), n口口3=(cosB, sinB),且 mn=：5(1)求 sinA 的值；若 a= 4 2, b= 5，求角 B 的大小及向量 BA 在 BC 方向上的投影.11. 已知点P(0, 3),点A在x轴上， 点Q在y轴的正半轴上， 点M满足PAAM= 0 , AM|MQ，当点 A 在 x 轴上移动时，求动点 M 的轨迹方程.(3)12. 已知向量 a = sinx, 4 ，b= (