九年级上学期数学备课资料：第二十四章24.4.2圆锥的侧面积和全面积

1、第二十四章24.4.2圆锥的侧面积和全面积知识点1：圆锥的基本概念圆锥的组成：圆锥可以看成由一个直角三角形绕一条直角边所在直线旋转一周而成的图形，这条直线叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的面叫做圆锥的底面，它的底面是一个圆形，斜边旋转而成的面叫做圆锥的侧面.圆锥的母线：连接圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线圆锥的高：圆锥的顶点和底面圆心的距离叫做圆锥的高.圆锥的基本特征：圆锥的轴通过底面的圆心，并且垂一直于底面；圆锥的母线长都相等；经过圆锥的轴的平面被圆锥截得的图形是等腰三角形.知识点2:圆锥的侧面展开图沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，其侧面展开图是一个扇形，扇.形的半径等

2、于圆锥的母线长,弧长等于圆锥的底面圆周长.知识点3:圆锥的全面积£设圆锥的底面半径为r,母线长为1,则它的侧面积和全面积分别为S侧1l2n尸汽rl;S全=S侧+5底=nr1+nr2=nr(1+r).关键提醒：(1)圆锥的面积计算，只要分清底面半径和母线，就可直接计算，但要看清是侧面积还是全面积；二一1(2)圆锥的侧面展开图的圆心角的度数n°,可由L=lso=2tzr求得，即n=T'或n=?.考点1:圆锥的侧面展开图与圆锥相关概念的综合运用【例1】圆锥底面半径为250Px，高为iMcm.(1)求圆锥的表面积；(2)若一只蚂蚁从底面一点A出发绕圆锥一周回到SA上一点M处

3、，且SM=3AMjt它所走的最短距离.解：(1)圆锥的母线长SA='0A:+O5：=40(cm),圆锥侧面展开图扇形的弧长l=2lOA=20式(cm),1.S侧二三iSA=400n(cm2),S底=nOA=100n(cm2)._-,2、S表=S底+S侧=500n(cm).(2)沿母线SA将圆锥的侧面展开，得圆锥的侧面展开图，则线段AM的长就是蚂蚁所走的最短1SO=X26-距离，由(1)知SA=1000px,弧AA'=20乳cm,/ASM=如,=90°.又SA'=AS=1000px,SM=3A'M,B：SM=SA=750px.在RtASM中，AM=|5&

4、gt;12+=M-=402+30二=50(cm).所以蚂蚁所走的最短距离是125Qpx.点拨：利用底面半径、高及母线组成的直角三角形构造勾股定理求出母线长，进而借助扇形面积公式求出表面积；蚂蚁在圆锥表面上行走一圈，而圆锥侧面展开后为扇形，故可在展开图(扇形)上求点A到点M的最短距离(即AM的长).考点2:利用圆锥的侧面展开图解决实际问题【例2】如图，半圆形铁皮半径为225Px，小明同学打算用它制作一圆锥形盒子，他先作半径OC使/BOC=120，用扇形OBC乍圆锥侧面，再在扇形OAC*剪一最大白圆作底面，你认为小明能做成吗？说说你白理由.若行，请问圆锥的高是多少？一一f解：用圆心角为120。的扇

5、形做成圆锥的侧面，所需要的底面半径是=2nr,所以r=3在扇形OACfr剪一最大白圆作底面，说明圆O'与各边及弧相切，由切线长定理可知/O'OE=30°,O'ELOA,得到O'O=2O'E,又因为两圆内切,O'O=9-O'E,即2O'E=9-O'E,.通过计算可得O'E=3=r,所以小明能做成，此时圆锥的高为3'=6/3.点拨：用圆心角为120。的扇形做成圆锥的侧面，关键是看做成侧面的扇形的弧长与底面圆的周长是否吻合.考点3:利用圆锥的知识设计方案【例3】工人师傅要在一边长为1000px的正方形铁

6、皮上裁剪下一块完整的圆和一块完整的扇形，使之恰好做成一个圆锥形模型.(1)请你帮助工人师傅设计三种不同的裁剪方案(画.出示意图);(2)哪种设计方案使得正方形铁皮的利用率最高(不用证明)？求出此时圆锥模型底面圆的半径.解：(1)设计方案的示意图如图所示：(2)使得正方形铁皮的利用率最高的裁剪方案为第一种.设圆的半径为r,扇形的半径为R,则由题意知£x2Rx式=2rx式,故R=4r.v正方形的边长为1000px,：BD=4诋cm.v。与扇形的切点E、圆心O在BD上，：R+r+/2r=BD.MBA-势将R=4r,BD=40%2代入上式，解得r=23cm.故使得正方形铁皮的利用率最高时，圆锥模型底面圆的半径