高等数学复旦大学习题三

1、习题三1 确定下列函数的单调区间：(1) ；解：所给函数在定义域内连续、可导，且可得函数的两个驻点：,在内，分别取+，+号，故知函数在内单调增加，在内单调减少.(2) ；解: 函数有一个间断点在定义域外，在定义域内处处可导，且，则函数有驻点，在部分区间内，；在内>0，故知函数在内单调增加，而在内单调减少.(3) ；解: 函数定义域为，,故函数在上单调增加.(4) ；解: 函数定义域为,，则函数有驻点: ,在内， ，函数单调减少；在内， ，函数单调增加.(5) ；解: 函数定义域为，函数的驻点为,在上，函数单调增加；在上，函数单调减少.(6) ；解: 函数定义域为,1) 当时， ，则；.2

2、) 当时， ，则.综上所述，函数单调增加区间为，函数单调减少区间为.(7) .解: 函数定义域为.函数驻点为,在内， ,函数单调增加，在上， ,函数单调减少，在上， ,函数单调增加，在内， ,函数单调增加.故函数的单调区间为: ，.2. 证明下列不等式:(1) 当时， 证明: 令则,当时， 为严格单调增加的函数，故,即(2) 当时， 证明: 令,则,则为严格单调减少的函数,故,即为严格单调减少的函数,从而,即3. 试证:方程只有一个实根.证明:设，则为严格单调减少的函数，因此至多只有一个实根.而，即为的一个实根，故只有一个实根，也就是只有一个实根.4. 求下列函数的极值:(1) ；解: ,令，

3、得驻点.又因，故为极小值点，且极小值为.(2) ；解: ,令，得驻点,故极大值为，极小值为.(3) ；解: ,令，得驻点.,故极大值为，极小值为.(4) ；解: ，令，得驻点.,故为极大值.(5) ；解: ，令，得驻点.故为极大值，为极小值.(6) ；解: ,令，得驻点且在定义域内有一不可导点，当时， ;当时， ,故为极大值点，且极大值为.因为函数定义域为，故不是极值点.(7) ；解: ,令，得驻点.当时， ；当，,故极大值为.(8) ；解: ,令，得驻点.,故极大值为，极小值为.(9) ；解: ,令，得驻点.，故为极大值点，其对应的极大值为;为极小值点，对应的极小值为.(10) ；解: ,令

4、，得驻点.当时， ，当时， ,故极大值为.(11) ；解: ,令，得驻点.,故极小值为.(12) ；解: ，无驻点. y的定义域为，且y在x=1处不可导，当x>1时，当x<1时， ，故有极大值为.(13) ；解: .无驻点.y在处不可导，但恒小于0，故y无极值.(14) .解: , y为严格单调增加函数，无极值点.5. 试证明：如果函数满足条件，那么这函数没有极值.证明：，令，得方程，由于 ，那么无实数根，不满足必要条件，从而y无极值.6. 试问a为何值时，函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.解：f(x)为可导函数，故在处取得极值，必有，得a=2.又 ，所以是极大值

5、点，极大值为.7. 求下列函数的最大值、最小值：；解：y的定义域为，得唯一驻点x=3且当时，y单调递减；当时，y单调递增,因此x=3为y的最小值点，最小值为f(3)=27.又，故f(x)无最大值.；解：，在上得唯一驻点，又 ,故函数在5，1上的最大值为，最小值为.解：函数在(1，3)中仅有两个驻点x=0及x=2，而 y(1)=5， y (0)=2， y (2)=14， y (3)=11,故在1，3上，函数的最大值是11，最小值为14.8. 设a为非零常数，b为正常数，求y=ax2+bx在以0和为端点的闭区间上的最大值和最小值.解：得不可能属于以0和为端点的闭区间上,而 ,故当a>0时，函

6、数的最大值为，最小值为;当a<0时，函数的最大值为，最小值为.9. 求数列的最大的项.解：令,令得x=1000.因为在(0，1000)上，在上,所以x=1000为函数y的极大值点，也是最大值点，.故数列的最大项为.10. 已知a>0，试证：的最大值为.证明： 当x<0时，;当0<x<a时，;此时令，得驻点，且，当x>a时，,又，且.而的最大值只可能在驻点，分界点，及无穷远点处取得故 .11. 在半径为r的球中内接一正圆柱体，使其体积为最大，求此圆柱体的高.解：设圆柱体的高为h, 则圆柱体底圆半径为，令, 得即圆柱体的高为时，其体积为最大.12. 某铁路隧道的

7、截面拟建成矩形加半圆形的形状(如12题图所示)，设截面积为am2，问底宽x为多少时，才能使所用建造材料最省?解：由题设知得 截面的周长令得唯一驻点，即为最小值点.即当时，建造材料最省.13. 甲、乙两用户共用一台变压器(如13题图所示)，问变压器设在输电干线AB的何处时，所需电线最短？解：所需电线为在0<x<3得唯一驻点x=1.2(km)，即变压器设在输电干线离A处1.2km时，所需电线最短.14. 在边长为a的一块正方形铁皮的四个角上各截出一个小正方形，将四边上折焊成一个无盖方盒，问截去的小正方形边长为多大时，方盒的容积最大？解：设小正方形边长为x时方盒的容积最大.令得驻点(不合

8、题意，舍去)，.即小正方形边长为时方盒容积最大.15. 判定下列曲线的凹凸性：(1) y=4xx2；解：，故知曲线在内的图形是凸的.(2) y=sinhx；解：由sinhx的图形知，当时，当时，故y=sinhx的曲线图形在内是凸的，在内是凹的.；解：，故曲线图形在是凹的.(4) y=xarctanx.解：，故曲线图形在内是凹的.16. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：；解：，令可得.当时，故曲线在内是凸弧；当时，故曲线在内是凹弧.因此是曲线的唯一拐点.(2) y=xex；解：令，得x=2当x>2时，即曲线在内是凹的；当x<2时，即曲线在内是凸的.因此(2，2e2)为唯一的拐点.

9、；解：故函数的图形在内是凹的，没有拐点.(4) y=ln (x2+1)；解：令得x=1或x=1.当1<x<1时，即曲线在1，1内是凹的.当x>1或x<1时，即在内曲线是凸的.因此拐点为(1，ln2)，(1，ln2).；解：令得.当时，即曲线在内是凸的；当时，即曲线在内是凹的，故有唯一拐点.(6) y=x4(12lnx7).解：函数y的定义域为(0，+)且在定义域内二阶可导.令，在(0，+)，得x=1.当x>1时，即曲线在内是凹的;当0<x<1时，即曲线在(0，1内是凸的，故有唯一拐点(1，7).17. 利用函数的图形的凹凸性，证明下列不等式：;证明：令

10、 ，则曲线y=f(x)是凹的，因此，,即 .;证明：令f(x)=ex.则曲线y=f(x)是凹的，则 即 .证明：令 f(x)=xlnx (x>0)则曲线是凹的，xy，有即 ，即 .18. 求下列曲线的拐点：解：令，得t=1或t=1则x=1，y=4或x=1，y=4当t>1或t<1时，曲线是凹的，当0<t<1或1<t<0时，曲线是凸的，故曲线有两个拐点(1，4)，(1，4).(2) x=2acot， y=2asin2.解：令，得或，不妨设a>0，不失一般性，当时，即时，当或时，即或时，,故当参数或时，都是y的拐点，且拐点为及.19. 试证明：曲线有三

11、个拐点位于同一直线上.证明：，令，得当时，；当时；当时；当时,因此，曲线有三个拐点(1，1)，.因为 =0因此三个拐点在一条直线上.20. 问a，b为何值时，点(1，3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？解：y=3ax2+2bx, y=6ax+2b依题意有解得 .21. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d中的a，b，c，d，使得x=2处曲线有水平切线，(1，10)为拐点，且点(2，44)在曲线上.解：令f(x)= ax3+bx2+cx+d联立f(2)=44，f (2)=0，f(1)=10，f (1)=0可解得a=1，b=3，c=24，d=16.22. 试决定中的k的值，使曲线的拐点处的法线通

12、过原点.解：令，解得x=±1，代入原曲线方程得y=4k，只要k0，可验证(1，4k)，(1，4k)是曲线的拐点.，那么拐点处的法线斜率等于，法线方程为.由于(1，4k)，(1，4k)在此法线上，因此, 得(舍去)故 .23. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数，如果，而，试问x=x0是否为极值点?为什么？又是否为拐点？为什么？答：因，且，则x=x0不是极值点.又在中，故在左侧与异号，在右侧与同号，故在x=x0左、右两侧凹凸性不同，即是拐点.24. 作出下列函数的图形：；解：函数的定义域为(，+),且为奇函数,令，可得，令，得x=0，,列表讨论如下：x0(0，1)1(1

13、，)(，+)y+0y00+y0极大拐点当x时，y0，故y=0是一条水平渐近线.函数有极大值，极小值，有3个拐点，分别为(0，0)，作图如上所示.(2) f(x)=x2arctanx解：函数定义域为(，+)，且为奇函数,令y=0，可得x=±1，令y=0，可得x=0.列表讨论如下：x0(0，1)1(1，)y0+y0+y0极小又且 故是斜渐近线，由对称性知亦是渐近线.函数有极小值，极大值.(0，0)为拐点.作图如上所示.；解：函数的定义域为.令得x=0，x=2当时，单调增加；当时，单调减少；当时，单调减少；当时，单调增加,故函数有极大值f(2)=4，有极小值f(0)=0又，故x=1为无穷型

14、间断点且为铅直渐近线.又因， 且，故曲线另有一斜渐近线y=x1.综上所述，曲线图形为：(4).解：函数定义域为(，+) .令，得x=1.令，得.当时，函数单调增加；当时，函数单调减少；当时，曲线是凹的；当时，曲线是凸的,故函数有极大值f(1)=1，两个拐点：，又，故曲线有水平渐近线y=0.图形如下： 25. 逻辑斯谛(Logistic)曲线族建立了动物的生长模型.(1) 画出B=1时的曲线的图像，参数A的意义是什么(设x表示时间，y表示某种动物数量)？解：，g(x)在(，+)内单调增加，当x>0时，在(0，+)内是凸的.当x<0时，在(，0)内是凹的.当x=0时，.且.故曲线有两条

15、渐近线y=0，y=A.且A为该种动物数量(在特定环境中)最大值，即承载容量.如图：(2) 计算g(x)+g(x)，并说明该和的意义；解：.(3) 证明：曲线是对g(x)的图像所作的平移.证明：取，得即曲线是对g(x)的图像沿水平方向作了个单位的平移.26. 球的半径以速率v改变，球的体积与表面积以怎样的速率改变？解： 27. 一点沿对数螺线运动，它的极径以角速度旋转，试求极径变化率.解： 28. 一点沿曲线运动，它的极径以角速度旋转，求这动点的横坐标与纵坐标的变化率.解： 29. 椭圆上哪些点的纵坐标减少的速率与它的横坐标增加的速率相同？解：方程两边同时对t求导，得由. 得 代入椭圆方程得：，

16、即所求点为.30. 一个水槽长12m，横截面是等边三角形，其边长为2m，水以3m3·min1的速度注入水槽内，当水深0.5m时，水面高度上升多快？解：当水深为h时，横截面为体积为 当h=0.5m时，.故有 ，得 (m3·min1).31. 某人走过一桥的速度为4km·h1，同时一船在此人底下以8 km·h 1的速度划过，此桥比船高200m，求3min后，人与船相离的速度.解：设t小时后，人与船相距s公里，则且 (km·h 1)32. 一动点沿抛物线y=x2运动，它沿x轴方向的分速度为3 cm·s1，求动点在点(2，4)时，沿y轴的分速

17、度.解： 当x=2时， (cm·s1).33. 设一路灯高4 m，一人高m，若人以56 m·min1的等速沿直线离开灯柱，证明：人影的长度以常速增长.证明：如图，设在t时刻，人影的长度为y m.则 化简得 (m·min1).即人影的长度的增长率为常值.34. 计算抛物线y=4xx2在它的顶点处的曲率.解：y=(x2)2+4，故抛物线顶点为(2，4)当x=2时， ，故 35. 计算曲线y=cosh x上点(0，1)处的曲率.解：当x=0时，故 36. 计算正弦曲线y=sin x上点处的曲率.解：.当时，故 37. 求曲线y=ln(sec x)在点(x，y)处的曲率及

18、曲率半径.解：故 .38. 求曲线x=acos3t，y= asin3t在t=t0处的曲率.解： ，故 且当t=t0时， .39. 曲线弧y=sin x (0<x<)上哪一点处的曲率半径最小？求出该点的曲率半径.解：.显然R最小就是k最大， 令，得为唯一驻点.在内，在内，.所以为k的极大值点，从而也是最大值点，此时最小曲率半径为.40. 求曲线y=lnx在与x轴交点处的曲率圆方程.解：由解得交点为(1，0).故曲率中心 曲率半径为.故曲率圆方程为：.41. 一飞机沿抛物线路径( y轴铅直向上，单位为m )做俯冲飞行，在坐标原点O处飞机速度v=200 m·s1，飞行员体重G=70kg，求飞机俯冲至最低点即原点O处时，座椅对飞行员的反力.解：，飞行员在飞机俯冲时受到的向心力 (牛顿)故座椅对飞行员的反力 (牛顿).42. 设总收入和总成本分别由以下两式给出：其中q为产量，0q1000，求：(1)边际成本；(2)获得最大利润时的产量；(3)怎样的生产量能使盈亏平衡？解：(1) 边际成本为：(2) 利润函数为令,得即为获得最大利润时的产量.(3) 盈亏平衡时：