第六章概率论数理统计的基本概念(1)

1、 数理统计是应用相当广泛的一个数学分支数理统计是应用相当广泛的一个数学分支. 随着随着统计规律性的科学统计规律性的科学-概率论概率论的发展，应用概率论的发展，应用概率论的知识更深入地分析随机现象就成为必然的结果的知识更深入地分析随机现象就成为必然的结果. 数理统计是研究如何有效地收集、整理和分析数理统计是研究如何有效地收集、整理和分析受随机影响的数据，并对所研究的问题做出判断受随机影响的数据，并对所研究的问题做出判断或预测，以便为采取决策和行动提供依据和建议或预测，以便为采取决策和行动提供依据和建议的一门科学的一门科学. 概率论是在随机变量的分布已知条件下概率论是在随机变量的分布已知条件下,研

2、究随机研究随机变量的各种性质变量的各种性质.例如求某个随机变量的分布函数、例如求某个随机变量的分布函数、数字特征等等数字特征等等. 而数理统计是在随机变量的分布而数理统计是在随机变量的分布未知未知,或不完全已知的情况下或不完全已知的情况下,通过对收集整理的数据通过对收集整理的数据进行分析进行分析,研究随机变量的分布并做出各种统计推断研究随机变量的分布并做出各种统计推断.总体总体：在统计学中：在统计学中, , 把研究对象的全体称为总体。把研究对象的全体称为总体。个体个体：总体中的每个研究对象称为个体：总体中的每个研究对象称为个体.(P114).(P114) 定义定义在实际应用中人们关心的是研究对

3、象在实际应用中人们关心的是研究对象( (即总体即总体) )的某项数量指标的某项数量指标, ,而这个数量指标常常是事先而这个数量指标常常是事先无法预知的，所以它是一个随机变量无法预知的，所以它是一个随机变量. .从本质上讲，总体就是所研究的随机变量从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布或随机变量的分布.1 总体与样本总体与样本从总体从总体 中抽取中抽取n n个个体个个体, , 得到得到n n个随机变量个随机变量 ，若：，若：(1) (1) 与总体与总体 同分布；同分布；(2)(2) 相互独立相互独立. .则称则称 为从总体为从总体( (或从或从F)F)得到的得到的容量为容量为n n

4、的简单随机样本的简单随机样本, ,简称样本。简称样本。它们的观察值它们的观察值 称为样本观察值称为样本观察值. . 抽取样本的过程称为抽样抽取样本的过程称为抽样. . (P115)为了研究总体的分布以及其它统计特性为了研究总体的分布以及其它统计特性, , 必须按照必须按照一定的规则从总体中抽取一部分个体一定的规则从总体中抽取一部分个体, , 根据获得根据获得的个体数据来对总体的分布和统计特性做出推断的个体数据来对总体的分布和统计特性做出推断. .定义定义1( )XF x12,nXXX12,nXXXX12,nXXX12,nXXX12,nx xx也可将样本看成维随机变量也可将样本看成维随机变量 样

5、本观察值相应地记为样本观察值相应地记为 .12(,)nXXX12( ,)nx xx设设 是来自总体是来自总体 的一个样本的一个样本, ,则则 的分布函数为的分布函数为 ( )XF x12,nXXX12(,)nXXX121( ,)( )nniiFx xxF x若总体具有概率密度若总体具有概率密度 , ,则样本的概率密度为则样本的概率密度为若总体具有分布律若总体具有分布律 , ,则样本的分布律为则样本的分布律为)(xfP Xx121( ,)( )nniifx xxf x111,nnniiP XxXxP Xx来自总体的样本含有总体的信息，来自总体的样本含有总体的信息，是总体的代表是总体的代表.我们作

6、统计推断的依据就是样本我们作统计推断的依据就是样本. . 但样本中包含的但样本中包含的信息比较分散，一般不能直接用于统计推断信息比较分散，一般不能直接用于统计推断. . 为了为了把分散在样本中的信息集中起来，我们针对不同的把分散在样本中的信息集中起来，我们针对不同的问题构造各种适当的样本函数问题构造各种适当的样本函数. .设设 是来自总体的一个样本，是来自总体的一个样本，若样本的函数若样本的函数 中不含未知参数，中不含未知参数，则称则称 是一统计量是一统计量. . (P116) 定义定义2 212,nXXX),(21nXXXg),(21nXXXg若若 是样本的观察值是样本的观察值, ,则则 是

7、是 观察值观察值.12,nx xx),(21nxxxg),(21nXXXg常用的统计量常用的统计量: :(1)(1)样本均值样本均值(2)(2)样本方差样本方差 (3)(3)样本标准差样本标准差(4)(4)样本阶样本阶( (原点原点) )矩矩(5) (5) 样本阶中心矩样本阶中心矩niiXnX11niiXXnS122)(11niiXXnSS122)(1111nkkiiAXn11()nkkiiBXXn1,2,k 2,3,k 设为相互独立且均服从的随机变量，称设为相互独立且均服从的随机变量，称服从自由度为服从自由度为n n的的 分布，记为分布，记为 . . (P118) 定义定义1 1统计量的分布

8、称为抽样分布统计量的分布称为抽样分布. .下面介绍三种由下面介绍三种由正态总体演化而来的统计量的分布：正态总体演化而来的统计量的分布： 2 2分布、分布、 t t 分布和分布和F F分布分布2 2 常用统计量的分布常用统计量的分布 222212nXXX2)(22nnXXX,210,1N 分布的概率密度为分布的概率密度为 及其曲线及其曲线2122210( )2( )200nxnxexnf xx 分布具有如下性质分布具有如下性质 性质性质1 1 设设 则则 , ., .性质性质2 2 设设 , , ,并且两者相互并且两者相互 独立独立, ,则则 . . 222( ),n2()En2()2Dn221

9、1()n2222()n2221212()nn设设X 2(n)，对于给定的对于给定的 ：0 1，称满足条件称满足条件 的点 为分布的上为分布的上 分位点分位点.(P120) 定义定义2 2222( )( )( )nPnf x dx)(2nXN(0,1),Y 2(n),X与与Y相互独立，称随机变量相互独立，称随机变量服从自由度为服从自由度为n n的的t t分布分布,记为记为.(P120) 定义定义3 3nYXt )(ntt分布的概率密度为分布的概率密度为)(nt1221()2( )(1)( )2nnxf xnnnx f xfx性质性质 (1)分布的概率密度具有对称性分布的概率密度具有对称性, ,

10、即即. .(2) (2) 分布的概率密度的极限是标准正态分布分布的概率密度的极限是标准正态分布的概率密度的概率密度, , 即即)(nt)(nt 221lim( )2xnf xxe分布的概率密度曲线为分布的概率密度曲线为)(nt设设，对于给定的对于给定的 ：0 1，称满足条件称满足条件 的点 为分布的上为分布的上 分位点分位点 (P120) 定义定义( )( )( )tnP ttnf x dx)(ntt nt)()(1ntnt注注设设,，X与与Y相互独立，称随机变量相互独立，称随机变量服从第一自由度为服从第一自由度为 ，第二自由度为，第二自由度为 的的F F分布分布记为记为 (P121) 定义定义 分布的概率密度为分布的概率密度为21()Xn22()Yn12X nFY n1n2n12( ,)FF n n12( ,)F n n1112112221212122()()20( )() ()(1)2200nnnnnnnxnxnn