代数式与函数的初步认识

1、代数式与函数的初步认识复习指导基础盘点：1、 用字母表示数用字母表示数，能简明地把数和数量关系_表达出来，从而为叙述和研究问题带来方便温馨提示：1、字母与字母相乘时应写成省略乘号的形式；2、数字与字母相乘时 数字因数写在前面，并写成 省略乘号的形式; 3、表示两者相除时应把除号写成分数线形式；4、带单位的题目，列出的式子如果是加减关系，要用括号括起来，比如（2a+3b)元。 2、 代数式（1）代数式是用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子。单独的一个数字或一个字母也是代数式。（2）列代数式的关键是弄清运算顺序，正确理解数量关系（3）用数字代替代数式里的字母，按照代数式规定的运算顺序运算，计

2、算出的结果，叫做代数式的值。温馨提示：求代数式的值时，一般先化简、再求值。注意整体思想的运用。3、 常量、变量与函数（1）在某一变化过程中，_的量做常量，_的量叫做变量.（2）在同一个变化的中，有两个变量x与y，变量y的取值是由变量x的取值_确定的，我们把y叫做x的函数，其中x叫做_温馨提示：函数：对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应；函数不是一个数，而是一个变量，它随着另一个变量的变化而变化。考点呈现一、 代数式有关概念的理解例1.（2011，乐山）体育委员带了500元钱去买体育用品，已知一个足球a元，一个篮球b 元，则代数式500-3a-2b表示的意义是 。分析：一个足球a元，

3、3a表示买3个足球花的钱数；一个篮球b 元，2b表示买两个篮球花的钱数，带去500元，则500-3a-2b表示买3个足球，两个篮球后剩余（500-3a-2b）元。解：买3个足球，两个篮球后剩余（500-3a-2b）元。点评：此题考查用字母表示数的意义，关键是读懂题意，弄清题目中的数量关系。例2.（2011，金华）“x与y的差”用代数式表示为 。解：x-y点评：此题考查列代数式，关键是审好题意，弄清运算顺序，把文字语言转化为数学语言。例3.（2011年枣庄）如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长 为3，则另一边

4、长是Am+3Bm+6C2m+3 D2m+6分析：由于边长为（m+3）的正方形纸片剪出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），那么根据正方形的面积公式，可以求出剩余部分的面积，而矩形一边长为3，利用矩形的面积公式即可求出另一边长解：依题意得剩余部分为（m+3）2-m2=m2+6m+9-m2=6m+9，而拼成的矩形一边长为3，另一边长是（6m+9）÷3=2m+3故答案为：2m+3点评：本题主要考查了根据图形，列代数式及多项式除以单项式，解题关键是弄懂拼接前后面积之间的关系，熟悉除法法则二、求代数式的值1、单值代入求值例4、当x=2时,求x3+x2-x+3的值.

5、分析：当x=2时,原式=23+22-2+3=13.解：13点评：用单一的字母数值代替代数式中的字母，按代数式指明的运算，计算出结果2多值代入求值例5.（2009，吉林）若a的绝对值是5，b=-2，ab0，则a+b= 。分析：由a的绝对值是5知，a可以是±5，由因为b=-2，ab0，可知a,b同号，所以a=-5,所以a+b=-7.解：-7点评：用多个的字母数值代替代数式中的相应字母，应先求出字母的值，按代数式指明的运算，计算出结果3、整体代入求值例6.（2010，大兴安岭）代数式的值为7，则的值是 。分析:根据所给的条件,解一元二次方程求x的值比较麻烦，可考虑采用整体代入的方法。 解：

6、-1点评：此题考查整体思想的应用。根据条件,不是直接把字母的值代入代数式,而是根据代数式的特点,将整体代入以求得代数式的值，会使计算简便。4、特值代入求值例7.已知1b0, 0a1,那么在代数式ab、a+b、a+b2、a2+b中，对任意的a、b，对应的代数式的值最大的是 (A) a+b (B) ab (C) a+b2 (D) a2+b分析：:取 ， ,分别代入四个选择支计算得:(A)的值为0;(B)的值1；(C) 的值为 ;(D)的值为 ,所以选(B)解：B点评：在选择题与填空题中,由于不用计算过程,也可以用特殊值法来计算,即选取符合条件的字母的值,直接代入代数式得出答案.5、阅读模仿求值例8

7、在数的原有法则中我们补充定义新运算“ ”如下：当a>b时，a b=b2;当a<b时,a b=a.则当x=2时,(1 x) x-(3 x)的值为 。（“ ”和“-”仍为原运算中的乘号和减号）。分析：解决此题的关键是读懂新运算的规定：因为当x=2时，1x，所以1 x=1；3x，所以3 x=x2=22=4.故(1 x) x-(3 x)=1×2-4= -2.解:-2点评: 解决此题的关键是读懂新运算的规定，并能正确地运用规定带带入数值进行计算。6、探索规律求值例9.有一列数：第一个数为x11，第二个数为x24，第三个数开始依次记为x3，x4，xn；从第二个数开始，每个数是它相邻两

8、个数和的一半。（如 ）。（1）求第三、第四、第五个数，并写出计算过程；（2）探索这一列数的规律，猜想第k个数xk等于什么（k是大于2的整数）？并由此算出 等于什么？分析：由已知 ，可得x32x2x12×41=7，以此类推，可解决此题。解：（1）由已知 ，可得x32x2x12×41=7，同理x42x3x214410，x52x4x320713.（2）根据（1）的结果，猜想得： xk3k2.所以当 =2005时，原式=3×2005-2=6013. 点评：本题考查探索规律，并应用规律带入数值计算，关键是读懂题意，仔细分析其中的数量关系。7、程序输入求值例10. 按如图的程

9、序计算，若开始输入的值x=3，则最后输出的结果为（ ）A.6 B.21 C.156 D.231分析：本题程序运算是由某个条件来控制，通过反复计算代数式 的值来确定输出结果。解：当输入3时，由 = =6,6>100不成立，所以就要把6进一步作为输入值输入，由 =21，又有21>100不成立，再次重新输入进行计算，有 =231,得 231>100成立，故输出结果为231，选D。点评：本题是程序运算，关键是带入数值，正确计算代数式的值，并根据要求输出结果。三、.探索规律题。例11.（2011，青岛）如图，以边长为1的正方形ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为

10、对角线作第三个正方形EFBO2，如此作下去，则所作的第n个正方形的面积Sn 分析：由正方形ABCD的边长为1，根据正方形的性质，即可求得AO1，EO2的值，则可求得S2，S3，S4的值，即可求得规律所作的第n个正方形的面积Sn= 解：正方形ABCD的边长为1，AB=1，AC= ，AE=AO1= ，则：AO2= AB= ，S2= ，S3= ，S4= ，作的第n个正方形的面积Sn= 故答案为： 点评：此题考查了正方形的性质解题的关键是找到规律：所作的第n个正方形的面积Sn= 四、常量、变量与函数概念例12. 某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率µ与时间t之间的关系中，下列说法

11、正确的是（ ）.A.数100和µ，都是变量 B.数100和µ都是常量 C.µ和t 是变量 D.数100和t都是常量分析：题目中100是固定不变的量，u和t可以随取值的变化而变化，故选C.解：C.点评：此题考查常量、变量的概念，关键理解概念的内涵。例13. 下列关于x、y 的关系式中：其中表示y是x的函数的是 。分析：此题考查函数的定义：对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之相对应。所以应选解：点评：此题考查函数的定义，关键是掌握定义的内涵.五、函数的简单应用。例14某移动通讯公司开设了两种通讯业务：“全球通”使用者缴50元月租费，然后每通话1分钟再付费0.4元

12、；“快捷通”不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元（本题均指市内通话）.若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别表示M元和N元. (1)用含x的代数式分别表示M和N，则M= ,N= . (2)某人估计一个月内通话300分钟，请你帮他计算一下选择哪种移动通讯合算？分析：本题主要考查阅读理解能力和根据条件列代数式的能力，仔细审题，认真分析是解决关键。解：(1).M=50+0.4x,N=0.6x(2)当x=300时，M=50+0.4*300=170元，N=0.6*300=180元，所以选择快捷通合算。 剖析：这类题目并不困难，认真审题，理解题意是解题的关键。误区点拨：1. 用含字母的式子表示数量关

13、系时无从下手。例1.如图中的每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个顶点)有n(n>1)盆花,每个图案花盆的总数是s, 按此推断s 与 n的关系是 错解：找不到思路，无从下手。剖析：单纯只看数字，无法推断s与n的关系，要结合图形进行分析。正解：3n-3.2.列代数式时运算顺序出错。例2.列代数式：a与b的平方差。错解：(a-b)2剖析：错误出现的原因是审错题意，没能弄清运算顺序。本题应先算平方，再计算差。正解：a2-b2方法指导：1. 巧用整体思想，求代数式的值。例1. 若x2+x+1=0，试求x4+2003x2+2002x+2004的值。分析： x2+x+1=0 x不

14、是实数，那么通过求出x的值，再求代数式x4+2003x2+2002x+2004之值，显然枉然无望。对求值的代数式进行适当的变形，将已知条件整体代入到求值的代数式中去，是解决本题的方法又是解决本题的技巧。解： x4+2003x2+2002x+2004= x4-x+2003x2+2003x+2003+1=x(x-1)(x2+x+1)+2003(x2+x+1)+1又x2+x+1=0x4+2003x2+2002x+2004=12.巧用数形结合，求代数式的值 例12 如图，数轴上表示1、 的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点为C，设点C所表示的数为x，求x+ 的值。分析：运用数形结合的思想求代数式

15、的值，关键的是要根据“图形”或“代数式”所提供的信息，揭示“数”与“形”之间的规律，架设“数”与“形”之间的桥梁，谋求“数”与“形”的辩证统一。解： 根据题意，得AB= -1，AC=AB AC= -1 则x=1-( -1)=2- 故x+ =2- + 代数式与函数的初步认识单元测试题一时间： 分钟，满分：120分一、相信你的选择（每小题3分，共30分）1.下列式子中符合代数式的书写格式的是（ ）A. x B. C. D. 2. 根据下列条件列出的代数式，错误的是（ ）A. a、b两数的平方差为a2b2 B. a与b两数差的平方为(ab)2C. a与b的平方的差为a2b2 D. a与b的差的平方为

16、(ab)23.下列说法正确的是（）A.x的系数是0 B.5是单项式C.多项式8x1的常数项是1 D. 是多项式4. 如果 那么代数式(ab)2008的值为（ ）A. 2008 B. 2007 C. 1 D. 15.代数式 的值为9，则 的值为（ ）A7 B 18C12 D 96受季节影响，某种商品每年按原售价降低10后，又降价a 元，现在每件售价 b元，那么该商品每件的原售价为（ ） A、 B、 C、 D、 7.某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作效率 u与时间 t之间的关系中，下列说法正确的是（ ）. （A）数100和u ，t 都是变量 （B）数100和 u都是常量 （C）u 和 t

17、是变量 （D）数100和 t都是常量 8. 汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t 小时，则汽车离开甲站所走的路程 s（千米）与时间 t（小时）之间的关系式是（ ）. （A） （B） （C） （D） 9. 如图，若输入的值为5，则输出的结果（ ）. （A）6 （B）5 （C）5 （D）610.下列图表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高d 处落下时，弹跳高度b 与下落高度 d的关系：508010015025405075 则能反映这种关系的式子是（ ）. （A） （B） （C） （D） 二、试试你的身手(每小题4分，共32分)1. 列代数式：设某数为x，则比某数大20%的数

18、为_. （2）a、b两数的和的平方与它们差的平方和_.2. 结合生活经验作出具体解释：ab：_.3. 某机关原有工作人员m人，现精简机构，减少20%的工作人员，则剩下_人4.当x2，代数式 的值为_5.按下列程序计算x3时的结果_. 6.已知等式 ，则 y关于 x的函数关系式为_.7. 市场上一种豆子每千克售2元，即单价是2元/千克，豆子总的售价 y（元）与所售豆子的数量x kg之间的关系为_，当售出豆子5kg时，豆子总售价为_元；当售出豆子10kg时，豆子总售价为_元8.导弹飞行高度h （米）与飞行时间 t（秒）之间存在着的数量关系为 ，当 时， _.三、挑战你的技能(本大题共58分)1.

19、(每小题3分，共9分)列代数式：（1） 若一个两位数十位上的数是a，个位上的数是b，这个两位数是_.若一个三位数百位上的数为a，十位上的数是b，个位上的数c，这个三位数是_.（2）电影院第一排有a个座位，后面每排比前一排多2个座位，则第x排的座位有_个.2求代数式的值（8分）若、互为相反数，、互为倒数，求代数式的值。3. (8分)人在运动时的心跳速率通常和人的年龄有关.如果用a表示一个人的年龄，用b表示正常情况下这个人在运动时所能承受的每分钟心跳的最高次数，那么b0.8(220a). 正常情况下，在运动时一个14岁的少年所能承受的每分钟心跳的最高次数是多少？ 一个45岁的人运动时10秒心跳的次

20、数为22次，请问他有危险吗？为什么？4. (8分)某市出租车的收费标准为：3千米以内（含3千米）收费5元，超过3千米的部分每千米收费1.20元（不足1千米按1千米计算），另加收0.60元的返空费. （1）设行驶路程为 x千米（x 3且取整数），用 表示出应收费y 元的代数式； （2）当收费为10.40元时，该车行驶路程不超过多少千米？路程数在哪个范围内？5.（8分）长方形的周长为20cm，它的长为a cm，宽为 bcm. （1）上述的哪些是常量？哪些是变量？ （2）写出a 与b满足的关系式； （3）试求宽 b的值分别为2，3.5时，相应的长a 是多少？ （4）宽为多少时，长为8cm？6.（9分

21、）如图，表示甲骑电动自行车和乙驾驶汽车的均行驶90km的过程中，行驶的路程 与经过的时间 之间的函数关系，请根据图象填空：_出发的早，早了_小时，_先到达，先到_小时，电动自行车的速度为_km/h，汽车的速度为_km/h.7. （8分）现在上网已经成为获取信息的重要渠道，某地电话拨号上网有两种计费方式，用户可以任选其中的一种：（A）计时制：0.05元/分*时间；（B）包月制：50元/月。此外，每一种上网方式都需要每分钟加收通讯费0.02元。 如果小莹家每月上网时间为小时，请分别表示出两种计费方式计算小莹家每月应支付的上网费用是多少。 小莹家8月份上网60小时，采用哪种上网方式费用较少？代数式与

22、函数的初步认识单元测试题二时间： 分钟，满分：120分一、选择题（每题3分，共36分）1、下列各式中，不是代数式的是 _A . a(c+b)= ac+ab B. 3x1 C.1-x D.2x+12、下列各选项中的代数式，符合书写格式的是 _A.(a+b)÷c B.(a-b)×2 C.y D. a×b3、a与x的平方差的倒数，用代数式可表示为_ A B、 C、 D、4、当x=1时，代数式 5x+2和代数式13x的值分别为M、N，则M、N之间的关系是（ ）A、MN B、M=N C、MN D、不能确定5、某食品店售货员将几种糖果混在一起成为杂拌糖出售，他称出每千克a元的

23、某种奶糖x千克；每千克b元的某种奶糖y千克；每千克c元的某种奶糖z千克，进行混合，那么这样的杂拌糖每千克售价应为（ ）A、 B、 C、 D、6、按下图所示的程序运算，若开始输入的值为x=3,则最后输出的结果为（ ）输入x计算100是输出结果否A、6 B、21 C、156 D、2317、如果代数式2a+3b+8 的值为18，那么代数式 9b6a+2的值等于（ ）A、28 B、28 C、32 D、328、皮皮鲁同学从一列火车的第m节车厢数起，一直数到第n节车厢（n>m），他数过的车厢节数是（ ）Am+n Bnm1 Cnm Dnm+19、星期天，小王去朋友家借书，如图是他离家的距离y（千米）与

24、时间x（分钟）的图像，根据图像信息，下列说法正确的是（ ）- 13 -A、 小王去时的速度大于回家的速度B、 小王在朋友家停留了10分钟C、小王去时所花的时间少于回家所花的时间D、小王去时走上坡路，回家时走下坡路 10、下列变量之间的关系式中，不是函数关系的是（ ）A、长方形的宽一定，其长与面积 B、正方形的周长与面积C、等腰三角形的底边与面积 D、圆的面积与圆的半径11、某装满水的水池，按一定的速度放掉水池里的一半水后，停止放水，并立即按一定的速度注水，水池注满后，停止注水，又立即按一定的速度放完水池里的水。若水池的存水量为V（立方米），或注水的放水时间为t（秒），则V与t的关系大致图像只能

25、是（ _D_T_V_C_T_V_A_T_V_B_T_V12、设n为自然数，比2n+1大的最小偶数是（ ）A、2n B、2n+2 C、2n+3 D、n+2二、填空题（每题3分，共30分）13、a的倒数的2倍与b的差用代数式表示为（ ）14、已知a、b互为相反数，x、y互为倒数，则代数式（a+b）+（xy3）=_15、把下面数学语言转化为自然语言。(1)_(2)_16、学校图书馆购进一批图书，每册定价m元，另加10的邮费，若购n册，则需付金额为_元，当m=10.5元时，n=10册时，则需付金额为_元。17、某班共有学生48人，其中年龄为a的有21人，年龄为b的有12人，年龄为c的有15人，用代数式

26、表示这个班学生的平均年龄为（ ）18、海南向上海打长途电话，通话费3分钟以内2.4元，每超过1分钟加收1元，某人打电话分钟（且为整数），则应付话费 元。19、汽车开始行驶时，邮箱内有油升，如果每小时耗油升，则邮箱内余油量Q（升）与行驶时间（小时）的关系为 ，当时，Q= 。20、米店买米，数量x（千克）与售价c（元）之间的关系如下表：X/千克0.511.52C/元1.3+0.12.6+0.13.9+0.15.2+0.1则售价c与数量x之间的关系式是_,当x=5时，c=_21、一个数的分子为x，分母比分子的2倍少1，当x=3时，这个分数的值为_22、正n边形的内角和公式为a=180（n2），则在这

27、个关系式中，变量是_；常量是_三、解答题（共54分）23、解释下列代数式的实际意义（8分）（1）+(2)80x24、求下列代数式的值。（8分）（1）当x=5，y=3时，求代数式的值。（2）已知x+2y=1，求代数式的值。25、求下列函数的函数值。（8分）（1）当x=2时，求函数y=2x+1的函数值。（2）当x=3时，求函数y=(x+1)(3x+2)的函数值。26已知高度每增加1000米，气温下降6，如果某地面气温为32，（1）分别计算出该地1000米、2000米高空的气温。（4分）(2)若h米高空的气温为T，试写出T与h的关系，并指出关系式中的常量和变量。（6分）27、（8分）某私立中学教师数是学生数的，其中教师数为，（1）用代数式表示该学校学生数与教师数之和（2）若该校有200名教师，则学生和教师共有多少人？28、为了加强公民的节约用水意识，合理利用水资源，各地通过价格调空的手段达到节约用水的目的。某市规定了以下用水收费标准，每户每月用水不超过6立方米时，按a元/立方米收费，超过6立方米时， 超过的部分按c元每立方米收费。该市某用户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示：月份用水量（立方米）水费（元）357.54927（1） 求a、c的值（3分）