浙江省杭州市2020-2021学年高三上学期期末数学试题

1、2020学年第一学期杭州市高三数学质量检测数学试题卷考生须知:1.本试卷分试题卷和答题卷两部分.满分150分，考试时间120分钟.2 .请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效!3 .考试结束，只需上交答题卡.选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1 .若集合 A = 即4x43 , B = x|(x-l)(x-2)>0,则 4U8=()A. x|l<x<2B. 1x|2<x<3D. R1 / 92 .已知neH,若（2 + a）

2、（a 2/） = -4i （i为虚数单位），则。A.-1B.0C. 1D. 23 .某几何体的三视图如图所示，则该儿何体的体积为（侧视图B-1C.-24 .若a0, b>0,则是 “ In。一''的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.函数/。）= + ex-1 COSX （其中“为自然对数的底数）图象的可能是（）A.yO xB.kyoC. 一D.yo6.已知随机变量满足P（J = x）=©+b（x = T0,l）,其中若E（1） = l,则D（/ =A.B- i7.已知(x2 + 1)(2jv-1)7 =ay+ax(x

3、-1) + a2(x-l)2 hF«9(x-l)9(xe 7?).则q =()A. -30B.30C.-40D. 404/98.已知实数，满足网42-，且之-1 ,则2a+Z;的最小值为（A.-7B.-5C.-3D.-19.设函数/（x） = lnx-£-2?x +,若不等式/（%）40对工£（0,+<>3）恒成立, .X则！的最大值为 mA- JC. eD. 2e10.设数列风满足的=3,%=6,kS）,（）A.存在 £ N. , an 年 QB.存在 >0,使得,./（是等差数列D.存在 >0,使得6xp6是等比数列非选择题部

4、分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11 .计算怆2_怆! =： 4啕3=.12 .在ZVIBC中，A = -9 b = 4, a = 2小,则8=，AA3C的面积等于. 3l-sina sin a13 .若>0, b>0,且4+。= 1,则/+的最小值等于, &+后的最大值等于三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.已知函数/。)=sin cox + cos! cox + 6j (?卜刃>0)的最小正周期为(I)求函数/(x)的单调递增区间;(II )在锐角ABC 中，若

5、sinAsinC-sii/Cusii/A-sin",求/(8)的值.19 .已知函数/(x) = W 以一心/一2|(>0).（I ）若。=2,解不等式/（x）vO；（n）设2,，k，5是函数y = /。）+1的四个不同的零点，且为与 入4 问是否存 在实数%使得.，£，S成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由.20 .在三棱锥4-BCQ中，为等腰直角三角形，点E, G分别是线段80, CQ的中 点，点尸在线段46上，且8f = 2£4.若AO = 1, AB = 6 CB = CD = y/2.（I ）求证：AG平面CEF：（II ）求直线A

6、O与平面C£F所成的角.21 .在数列4中，q=l, /5,3，出=（攵£.）成等比数列，公比为%0.（I ）若%=2,求 +“3 +%+；（II）若小成等差数列，公差为4,设% 一1求证：色为等差数列；若4 =2,求数列4的前k项和2.22 .已知函数/（x） = xln.v-lf/（x + l）2, asR恰好有两个极值点X,.q（N 9） 2（I）求证：存在实数机使。团；（II）求证：（/（内）：.2020学年第一学期杭州市高三年级教学质量检测数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

7、1-5： DBBCD6-10： BBBDD二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11. h 914.1, 115.44三、解答题:本大题共5小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18. ( I )因为/(幻=/1cos cox +22 乂22 J7 / 9=cos cox sin-5 = xX243 . ,1 1 + cos2cox 3 1-cos2Gx1 0 1=cos2ox -因为/(x)的最小正周期为乃, 所以/(%) = 因为乃+2A/rW2x«2/r+2Qr,+k7r<x<7r + k7r , k eZ , 2所以

8、/(X)的单调递增区间为!攵江+，,攵江+乃，keZ.(II )由 sin Asin Csin2 C = sin2 Asin2 B ,得 acc2 =a2 b2 ，即 a1 +C1 -b2 =ac ,ul t IcC + c* CIC所以cos3 =2ac2ac 2又 Bw 0,- ， AB = -2)19. ( I )当a = 2时., |x-1|2-2|x-1|-1<0, 所以0邛-1|<1 +亿 所以-6<x<2 +壶.)2x2 -2ax + 3,x> cix2-l,x<-因为/（乃+ 1=0有4个不同零点，所以 = 4<J 一 12>0且

9、二>1,解得 a不妨设 X <x2 < x3 > x4 ,则 X =-1 ,工2 = 1，若公, X3， %成等差数列，则,/、2代入得2" +1 -2.心t1 + 3 = 0 ,解得"=二或 =-2 （舍去）,13；347综上可知，存在=符合题意. 420. （ I ）连接8G交EC于“，连接厂”.则点”为友？。的重心,上BH 有近因为籍BHHG所以 FH/AG,且"/u 平面 CEF, AG(z 平面 CEF,所以AG/平面CEF.(II)因为"=¥，BEWD = 3。,所以 EF2 = BF1 + BE2 - 2B

10、E BF cos ZABD =3故E尸=3尸+ BE?,所以EF工BD,且所以8。_L平面CEE过户作AO的平行线尸尸，交BD于P.则尸K_L平面CEF.所以直线FP与平面CEF所成角为ZPFE.21且尸产=*, EP = -9 NFEP = 90。, 33所以 sinNPEE = 1,得 NPFE = . 26所以直线fP与平面C£F所成的角为三，6即直线AD与平面C£尸所成的角为三. 621. ( I )由已知，&±L = q；=4,所以4=4i,.4a -i月f以q + % +-Z (II)对任意的keM, “ a2k+l, 4+2成等差数列，所以

11、2 旬川=4+".2,即 2 = %+&，即 2 = + %, 仁川外所以=qr- = - + 1» 即 4句-4=1，-1 1-1 %T%所以也成等差数列，其公差为1.）右 4=2'则。2 = % ' 。3 = q） 3 。2 = 2 '所以。：一5 - 2 =。，乂%>0,所以=2, 从而- = - + k-1 = k ' B|1 q = 1 + .4-1 1Tk所以&±L = j 口 ，可得%i =%&.=心, Cl2k- ' 卜）% %”2 人-342A =%女-1 =k(k + ),

12、4 =%川一=(% + 1了一%( + 1) = " + 1，所以A =A(4 + 4) k(k + 3)9/922. ( I ) fx) = nx + -a(x + )9 x>0.根据题意，lnx + l-(x + l) = O,即lnx + 1 = a(x+l)存在两个不同正根.先考虑)，= (x + l)与y = lnx + l相切，记切点横坐标为公,如图.«(x0 + l) = lnx0 + l fL I- I则 1=>.，ci = I a0 In x0 = 1X。设g(x) = xlnx-l，x>0 ,则 g'(x) = l + lnx，

13、令 g'(x) =。，得x = L e故y = g(x)在(0,；)上单调递减，在(j+s)上单调递增.且g(l) = -l<0，8(2) = 1。4一1>。，故存在唯一与£(1,2),使X0 1114=1成立.取 7 =则0<<加时，f(x)恰存在两个极值点，得证.(H )由(I )知，/'(玉)=比玉+14(% + 1),且</<2.e所以“ =!l'l,代入/(%),得/(%)=，(3111玉_玉_111玉_1),X +12设力(x) = -(xlnx-x-lnx-1), - < x < 2 .2e小/、 1 J1)1ch (x) = - Inx- , -<x<2 921X) e则容易判断, hx) <0； xe(,“,2), h'(x) >0.故xe -,x0 J, /?(x)单调递减；工£(瓦,2), (x)单调递增.所以 /? (x0) < /?(x) < max hln2-325 - 4>X) 7 1%+%/ I 1 - 2由玉/11=1,且/e(l,2),得A。)二月T以V h(x) < ,从而二 < / (X)4e414.已知 tan a = cos a ,则