数学分析第三讲：数列极限定义

1、第三讲数列极限定义1. 复习了基本的符号、集合的知识。2. 复习了函数、反函数、复合函数的定义。3. 复习了函数的几个性质：单调性、奇偶性、周期性、有界性。定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则

2、与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X一天截下的杖长为一天截下的杖长为;212122 X二天截下的杖长总和为二天截下的杖长总和为;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为nnX211 1. , 355),-408( ,先驱先驱穷竭法穷竭法公元前公元前欧多克斯欧多克斯古希腊古希腊. 212),-287(面积面积穷竭法求抛物线弓形的穷竭法求抛物线弓形的公

3、元前公元前古希腊，阿基米德古希腊，阿基米德定义1(?)：极限就是事物在无限变化之后最终表示的一种稳定的状态的值。注：极限表示的一种变化趋势，并且就是这种变化趋势最终稳定的状态。例1：证明调和数列极限为0.证：因为此数列在其变化过程中，和0的差距越来越小，可以想象在无穷的时间之后，此数列最终会稳定到0，所以其极限为0.例2：证明1，-1交替的数列极限不存在证明：自行编写。在很长的历史时期，人类对于极限的理解大致也就是如上的水平。即便在牛顿发明了微积分的一百多年之中，极限的定义(无穷小)还是存在一些问题。人类真正弄清楚这些事情是在Cauchy 、 Weierstrass完善了极限理论之后。基本理念

4、：极限是一个变化过程。1.无穷小(极限为0)就是在过程中“要多小有多小”要多小有多小：无论给出多小的数，在此变化过程中，终究会比这个给出的数小。2. 正无穷大就是在过程中“要多大有多大”无论给出多小的数，在此变化过程中，终究会比这个给出的数小。 lim0nnalimnna 0,()|nNnNa 或，( 0),nMNnNaM ，limnna ,|nMNnNaM ，|定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多不论它多么小么小),),总存在正整数总存在正整数 N, ,使得对于使得对于 Nn 时的时的一切一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就

5、称常数 a是数列是数列 nx 的极限的极限, ,或者称数列或者称数列 nx 收敛收敛于于a, ,记为记为 ,limaxnn 或或 ).( naxn 如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使注: (重要)这三种情况是极限不存在，也就是发散的特殊情

6、况。limnna limnna limnna N只要存在即可，与 有关(可以视为函数关系)lim0,( )0,( ),.nnnxaNnNxa 满足方法：由定义验证极限的存在。给定一数列，要想知道其极限是否存在，存在的话等于多少，这是做不到的。但是，由定义，可以验证一个数列的极限是不是给出的特定的数。11lnnniani由定义证明数列极限的思路：例： 取取多多大大？方方法法：倒倒推推法法；为为保保证证（构构造造出出来来）存存在在性性！是是思思路路：验验证证定定义义；关关键键分分析析：naaNn, .lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给

7、所以所以,0 1,NnN .limCxnn . 1, 0lim qqnn其中其中证明证明 000nqq，结结论论成成立立。若若 nnqq，q010欲欲使使当当 qN，qnlglglglg 取取)0(lg ,lglg qqn 只要：只要：lnln1ln| |ln| |ln,1ln |0(0)|qqnNnNqqqqq证：，证证, 0 任给任给,0 nnqx,lglg qn,lglgqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lglgqn 0)1(12lim nn证：证：n21 121)1(1022nnnan欲

8、使欲使，只要只要 21 n. 21 即可即可取取 N 0)1(12102nNnN时，有时，有，当，当，因为只需要证明存在N，不用找最小的N（否否定定所所有有找找一一个个）不不成成立立都都成成立立否否0 （否否定定一一个个找找所所有有）都都不不成成立立成成立立否否NN “所有人都没吃”“所有人都没吃”“至少一个人吃饭了”“至少一个人吃饭了”人吃了”人吃了”“甲吃了”或“至少一“甲吃了”或“至少一“所有人都没吃饭”“所有人都没吃饭”否否否否0,.nNnN aa 成立0000,.nNnNaa使否否aann lim的叙述方法的叙述方法即便证明一个数列的极限不等于某数。不代表此数列极限不存在。由定义可知，若要证明一个数列的极限不存在，必须证明任意的实数都不是此数列的极限。( 1)nna 例：121212,0.5,0,| 0.5,| 0.5| | 1,NNNNNNbRNababaaabab 总有下两式至少一个成立否则：矛盾所以原数列发散。1.本节课只需掌握2. 具体到每一个数列极限的习题，请动笔按照定义练习练习。(书上的例题，课后的习题)lim0,0,.nnnxaNnNxa 满足