(三管齐下)贵州省2014届高三数学复习试题69正态分布理(含解析)新人教A版

1、5.69 正态分布导学目标： 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.回扣教材夯实基础自主梳理1. 正态分布密度曲线及性质(1) 正态曲线的定义函数0X)=_ (其中实数 和b(T0)为参数)的图象为正态分布密度曲线.(2) 正态分布密度曲线的特点1曲线位于X轴_，与X轴不相交；2曲线是单峰的，它关于直线 _对称；3曲线在_处达到峰值_ ;4曲线与X轴之间的面积为_;5当b一定时，曲线随着 _ 的变化而沿X轴移动；6当卩一定时，曲线的形状由b确定.b_，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；b_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.2. 正态分布(1) 正态分布的定义

2、及表示如果对于任何实数a,b(ab),随机变量X满足P(aXwb)= ， 则称随机变量X服从正态分布，记作 _.(2) 正态分布的三个常用数据1F( 一bXW口+ b) =_；2F(i 2bX i +2b) =_；3F(i 3bX i +3b) =_.自我检测1. (2011 大连模拟)下列说法不 正确的是()A.若XN(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴B. 正态分布N(1,b2 3)的图象位于X轴上方C. 所有的随机现象都服从或近似服从正态分布2已知随机变量E服从正态分布 N3 ,11B.；C.T433 (2011 湖北)已知随机变量E服从正态分布N(2 ,b2)，且P(E4) = 0.

3、8 ,则P(0E2) 等于()y轴对称的曲2.1A2b），则 RE3）等于（）1D.21 二函数0(X)=灵=e2(X R)的图象是一条两头低、中间高、关于D.A. 0.64.某随机变量期望和标准差分别是A. 0 和 8C. 0 和、2B.0.4C. 0.3E服从正态分布，其正态分D. 0 和 2D. 0.210（X）= 8ne-X8变式迁移 1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数, _1_4 .2n.(1) 求该正态分布的概率密度函数的解析式；(2) 求正态总体在(4,4的概率.探究点二服从正态分布的概率计算 例 2 设XN(5,1)，求 R6VXW7).探究点一正态曲线的性质例

4、1y10-510l52E5303540如图所示， 是一个正态曲线， 试根据图象写出其止态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差.课室潘动屢哭確考点研析热点(2011 辽宁十校联考)设两个正态分布密度函数图象如图所示，则有()A.31V32, (T1(X 2B31X2C3132, T132, T1X22 2N 31, T1)(T10)和N 32, T2) (T20)的且该函数的最大值为y-LO 0.5O051.0 x变式迁移 2设XN(1,22)，试求：(1)P(1XW3);(2)P(3X5).探究点三正态分布的应用例 3(2011 青岛期末)在某次数学考试中，考生的成绩E服从

5、一个正态分布，即EN90,100).(1) 试求考试成绩E位于区间(70,110)上的概率是多少？(2) 若这次考试共有 2 000 名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？变式迁移 3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N80,52)，现已知该同学中成绩在 80 分85 分的有 17 人.试计算该班成绩在 90 分以上的同学有多少人？B.分数在 120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同1 正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为:（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的，它关1于直线x=卩对称.（3）曲线在x=卩时达到峰值 - .（

6、4）曲线与x轴之间的面积为,2 n 71.（5）当7一定时，曲线随着 卩的变化而沿x轴平移.（6）当卩一定时，曲线的形状 由7确定.7越大，曲线越矮胖”，表示总体的分布越分散；7越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中.3. 37原则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量E的取值范围是 R,但实际上E取区间（卩37,卩+ 37）外的数值的可能性微乎其微（只有 0.26%），在实际问题中常 常认为它是不会发生的.因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间（卩一 37,卩+ 37），这就是实用中的三倍标准差规则，也叫37原则.在企业管理中， 经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制.Ak

7、 AA%、*4cr*21-(x-u)12s2e,x（8,+）.2.正态曲线的特点:、选择题（每小题 5 分,1.A.B.C.D.2.1)，则A.3.如图是正态分布N卩,7117273007172172173007172=1c+ 1) =P(Ec某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为21-e200（x R），则下列命题中不正确的是（）2n 10（满分：75 分）2）相应的曲线，则有（）B.分数在 120 分以上的人数与分数在60 分以下的人数相同精题稱练规范苔题A.该市这次考试的数学平均成绩为80 分C.分数在 110 分以上的人数与分数在50 分以下的人数相同

8、D.该市这次考试的数学成绩标准差为104.(2010 广东)已知随机变量X服从正态分布 N3,1)，且 R2 4)等于()A. 0.158 8B. 0.158 7C. 0.158 6D. 0.158 55.已知一次考试共有60 名同学参加，考生的成绩XN(110, 51 2)，据此估计，大约应有 57 人的分数在下列哪个区间内？()A. (90,110B. (95,125C. (100,120D. (105,115二、填空题(每小题 4 分，共 12 分)6.设三个正态分布N卩1,61) (T10) ,N(卩2,(T2)(T20) ,N(卩3,(T2) (T30)的密度函数图象如图所示，则11

9、、12、13按从小到大的顺序排列是 _；T1、T2、T3按从小到大的顺序排列是 _.6._ 在某项测量中，测量结果E服从正态分布N1 ,62)(T0).若E在(0,1)内取值 的概率为 0.4，贝U E在(0,2)内取值的概率为.& (2011 青岛模拟)已知随机变量E服从正态分布N(2 ,62) ,PEW4) = 0.84，则 RE w0) =_ .三、解答题(共 38 分)9.(12 分)设XN(10,1).(1) 证明：P(1X2) = R18X19);(2) 设RXW2) =a,求P(10X18).10. (12 分)已知某种零件的尺寸X(单位：mm 服从正态分布，其正态曲线在

10、(0,80)上是增函数，在(80 ,+)上是减函数，且0(80)=18 .2n11.(14 分)在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布 N(60,100)，已知成绩在 90 分以上(含 90 分)的学生有 13 人.(1) 求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2) 若计划奖励竞赛成绩排在前228 名的学生，问受奖学生的分数线是多少?69 正态分布自主梳理11-(1)-e寸 2n d11越小越大,x(g, +上方X=1x=1-(x-80)22. (1)气1, d(x)dxXN(1,d2)e128J a(2) 0.682 6 0.954 4自我检测1.2. 0.997 43

11、.CD 由正态分布图象知,1E3)=亍= 3 为该图象的对称轴，yyOyr4J P(E4)=x= 2,O30 60：90I解由已知1= 5,T= 1./ R4XW6)=0.682 6,F(3XC7)=0.954 4,P(3X4)+R6XW7)=0.954 4 0.682 6 = 0.271 8.如图，由正态曲线的对称性可得R3X4)=P(6XW7)、，0.271 8 R6Xw7)= =0.135 9.变式迁移 2 解/XN(1,2 了 , 1= 1,T= 2.(1)P( 1X 3) =P(1 2X 1+ 2) R0E4)=1F(E4)=06 1F(0E2)=2 只 0E4)=0314.D由 (

12、X)2 冗1一 8nex28对照得T= 2,1=0, E(E)=1=0,T= “jD E =2.5. A 由正态分布N(1,1112；又T越小，图象越高瘦，故课堂活动区2)性质知，x=(T1(T2.卩为正态分布密度函数图象的对称轴，故例 1 解题导引要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数1,T的值，其中1决定曲线的对称轴的位置，T则与曲线的形状和最大 值有关.解从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线1x= 20 对称，最大值为，所以27n1= 20.11，解得T=2.,2 n 2 于是正态分布密度曲线的解析式是1-旦-。(x)= e4,x(8,+).2 斗n

13、均值和方差分别是 20 和 2.变式迁移 1 解(1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象1 1关于y轴对称，即1= 0.由.=2nT：2n4得T= 4, 故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是21 -1，T(x)=-e32,x(m,+m).4p2n(2)F(4XW4)=F(04XW0+4)=F(i TXw i +T)=0.6826.例 2 解题导引求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率,曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上.只需借助于正* aili |i ho3 4 5 6 7=R 卩一cXw +c)=0.682 6.(2)TF(3X5)=P(3XW1

14、),1 F(3X 5) =2F( 3X 5) F( 1X 3)1=2【F(14XW1+4)F(12X 1+2)1=2【R 卩2cX 卩+ 2c) P(ic 5) =F(X 5)=尹F( 3X 5)1=尹F(1 4X 1 + 4)1=口F(i 2cXw i +2c)1=2(1 0.954 4) = 0.022 8.例 3 解题导引正态分布已经确定，则总体的期望i和标准差c就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解.解T EN(90,100), i =90, c =100=10.(1) 由于正态变量在区间(i 2c,i+ 2c)内取值的概率是 0.954 4，而该正态分

15、布 中，i 2c= 90 2X10= 70 ,i+ 2c= 90 + 2X10= 110,于是考试成绩E位于区间 (70,110)内的概率就是 0.954 4.(2) 由i =90, c =10,得i c =80, i + c =100.由于正态变量在区间(ic,i+c)内取值的概率是 0.682 6 ,所以考试成绩E位于区间(80,100)内的概率是 0.682 6.一共有 2 000 名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000X0.682 6疋1365(人).变式迁移 3 解T成绩服从正态分布N(80,52),- i =80, c =5, i c =75, i + c

16、=85.于是成绩在(75,85内的同学占全班同学的 68.26%.这样成绩在(80,85内的同学占全班同学的 34.13%.设该班有x名同学，贝UXX34.13%= 17,解得x50.又i 2c= 80 10 = 70,i+ 2c= 80 + 10= 90,成绩在(70,90内的同学占全班同学的95.44%.成绩在 90 分以上的同学占全班同学的 2.28%.即有 50X2.28% 1(人).即成绩在 90 分以上的仅有 1 人.课后练习区1 . D i= 0，且c2= 1 ,c11.2.B N2,9) , F(Ec+ 1) =F(Ec+1)=F(E110)=F(Xi +3c),F(X50)=

17、F(Xi 3c),F(冷 110) =F(X4) =F(X2),“1 P2WXW4故P(冷 4) =-= 0.158 7.25. C 由于XN(110,5 ) ,卩=110,d= 5.因此考试成绩在区间(105,115,(100,120,(95,125上的概率分别应是 0.682 6,0.954 4,0.9974.由于一共有 60 人参加考试，成绩位于上述三个区间的人数分别是：60X0.682 641(人),60X0.954 457(人),60X0.997 460(人),故大约应有 57 人的分数在(100,120区间内.6. 323133d1d34)=1RE 4)=10.84=0.16.9. (1)证明 因为XN10,1)，所以，正态曲线 ，d(x)关于直线x= 10 对称，而区 间1,2和18,19关于直线x= 10 对称，所以? $(x)dx= ?厂，,x)dx,2(6 分)解 R10X18)