2013高三数学大一轮复习推理与证明板块三数学归纳法学案

1、目僅典例分析题型一：数学归纳法基础【例1】已知n为正偶数，用数学归纳法证明1_1 -2（-）23 4 n-1 n+2n十42n时，若已假设n二k（k _2为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）A.n = k 1时等式成立B.n = k 2时等式成立C.n -2k - 2时等式成立D.n -2（k 2）时等式成立【例 2】已知 n 是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设n=k （k _ 2且为偶数）时命题为真，则还需证明（）A.n=k+1 时命题成立B. n=k+2 时命题成立C. n=2k+2 时命题成立D. n=2 （k+2）时命题成立【例 3】某个命题与正整数n 有关，如果当n二

2、k（k N ）时命题成立，那么可推得当n =k 1时命题也成立.现已知当n = 7时该命题不成立，那么可推得 （ ）A .当 n=6 时该命题不成立B .当 n=6 时该命题成立C.当 n=8 时该命题不成立D .当 n=8 时该命题成立【例 4】利用数学归纳法证明n*(n 1)( n 2)(nn)=21 3(2n -1), n N”时，从“n =k变到“n -k 1”时，左边应增乘的因式是板块三.数学归纳法A2k 12k 1k 1C(2k1)(2k2)k 12k 3k 1【例 5】 用数学归纳法证明1 a a2ann21 - a(a ,n N )，在验证 n=1 时,【例 6】用数学归纳法证

3、明(n - 1)(n - 2) (n n) =2n1 3：(2n - 1)(n N )，从“ k到 k+1 ”左端需乘的代数式是()1 1 1【例7】用数学归纳法证明：1 + + + n,( n- N”,n 1)时，在第二步证明从2 32n-1n=k 到 n=k+1 成立时，左边增加的项数是()A.2kB.2k-1C.2k JD.2k1例 8】设f(n)= nf (1) f (2f (n-1)， 用数 学归纳 法证明“n f(1) f (2) f( n -1) = nf(n)”时，第一步要证的等式是 _例 9 】用数学归纳法证明 “(n 1)( n 2厂(n，n) =2n1 22 n - 1)

4、”(N.)时，从“ n =k 到n=k +1 ”时，左边应增添的式子是 _ 。11113【例 10】用数学归纳法证明不等式 -一的过程中，由 k 推导到n+1 n+2n+n24k+1 时，不等式左边增加的式子是 _【例 11】是否存在常数a,b,c是等式1 (n2-1)亠2 (n2-22)亠亠n (n2-n2) =an4亠bn2亠c对一一 *切n N )成立？证明你的结论题型二：证明整除问题【例 12】若存在正整数m，使得f(n) =(2 n-7)3n+9( n N*)能被m整除，则m=_【例 13】证明:1 -(x 3)n,(n N )能被x 2整除【例14】已知数列：an满足at=0 ,

5、a2=1，当nN*时，an.2=anan.左边计算所得的式子是()A. 1B.1 a224C.1 a aD.1 a a aA.2k+1B.2(2k 1)2k 1k 12k 3k 1求证：数列：anj的第4mT(m二N*)项能被 3 整除.【例 15】用数学归纳法证明：7n3n_1(N*)能被 9 整除.【例 16】设n是任意正整数，求证：n35n能被 6 整除.【例 17】用数学归纳法证明：对于一切正整数n,72n42n一33能被 264 整除.【例 18】n2(n4 且 n N*)个正数排成一个 n 行 n 列的数阵：第 1 列第 2 列第 3 列.第n列第 1 行a12a13a1n第 2

6、行a21a22a23a2n第行an1an2an3ann其中aik(1 i n, 1 k 2 的自然数，证明：2n1n2心.【例 28】已知 0 :a：1，求证：对任意大于 1 的自然数 n，甘一：） n .a -1a 1 11111111 -+-=-+ -+-2 342n1 2nn 1n 22n例 21】证明：n N2tan2 fn只山和n2cot戸-cot := mn , m三Z , n三N *)HI arctan=arcta n(nN *)n +1,2小21.2.2nn(n - 1)1 33 5(2n -1)(2n 1)2(2 n 1)(n)12n-1.丄.题型四：数列中的数学归纳法【例

7、29】设a1,a2,.an均为正数，且a1a2. - a1，求证：当 2 的时候,aj a22an2丿【例 30】已知数列；鳥中，San -1,an0，求数列 佝；的通项公式2 an【例 31】在数列nN*)中，印=1,Sn是它的前n项和，当 n 2 时，an, Sn, Sn-成2等比数列，求数列的通项公式.【例 32】设整数数列an满足a1=1,a2=12,a3=20，且an,3=2an 2- 2an d- an.证明: 任意正整数n,14anan.1是一个整数的平方.【例 33】由正实数组成的数列CaJ满足：an2an-an，n =1 ,2.证明：对任意nN * ,者E有an:-.n【例3

8、4】实数数列:an/ 定义如下at, a. 1= 4(1-a.), n =1,2 R，已知a209=0证明：对任意nN * ,0wan1;问有多少个不同的t，使得a2009=0.两个实数数列xj、；w满足：x,=y1=tan匸,3亠宀厂y；2，2n 1时，2：Xnyn: 3.【例 36】在数列 咕/中，若它的前n项和Sn=1 - na.(N*).计算a1,a2,a3, d 的值；猜想an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论.【例35】证明:【例 37】已知函数f (x)=-1)，设数列满足a1,an1= f(an)，数列CbJ满X十1【例 38】设数列印,a2，an中的每一项都不为0证明：fa

9、j为等差数列的充分必要题型五：其他类型题【例 39】已知函数f( n)(nN*)，满足条件：f(2)=2 ，f(x y f (x) f (y);f (n) N；当x y时，有f (x) f (y).(1 )求f (1),f(3)的值；(2) 由f (1),f (2),f (3)的值，猜想f(n)的解析式;(3) 证明你猜想的f (n)的解析式的正确性.【例 40】数列 玄-a =1, an4=2an- n23n(n N )(I)是否存在常数，使得数列fann2inl是等比数列，若存在求、丿的值，若不存在，说明理由S=b! b2b| bn求证：n _2 时,1, n为偶数(I)求a5, a6, a7的值；(H)设bn二牛，试求数列(bU的通项公式;2足bn =an_J3,nw N用数学归纳法