数学物理方法第1章

1、第一篇第一篇 复变函数论复变函数论Theory of Complex Variable Functions第一章第一章 复变函数复变函数Complex Variable Functions 第一节 复数与复数运算第二节 复变函数第三节 复变函数的导数第四节 解析函数第五节 平面场第一节第一节 复数与复数运算复数与复数运算一一、复数的基本概念：、复数的基本概念：1、复数：、复数：)Re(zx )Im(zy 为虚数单位， 为实数，称为复数的实部与虚 部，并记做：iyxz形如的数称为复数复数，其中，1iyx,2、复平面：、复平面：复数z=x+iy虚轴实轴复数 22|zxy模模2argArg0,1,2

2、kzzk ，主幅角主幅角复数本身不复数本身不能比较大小能比较大小但模可以比但模可以比较大小较大小点幅角幅角arctan( / )y xArgzarg0,2 )zArgz若把 作为矢量的直角坐标分量yx,iyxz平面矢量二、复数的表示：二、复数的表示：1、代数表示代数表示： 2、三角表示、三角表示：极坐标下：cos( )sin( )xy(cossin )zxiyi3、指数表示：、指数表示： 欧拉（Euler）公式:cossinieiizeRxyiyxz三、复数的运算：三、复数的运算：1、加减运算、加减运算z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 )交换率结合律2、乘法运算、乘法运算1111

3、1111(cossin)izxiyie22222222cossin)izxiyie（)( iexp )sin(i)cos( )( i)(21212121211221212121yxyxyyxxzz交换率结合率分配率两个复数相乘，模等于模之积，幅角等于幅角之和复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则3、除法运算、除法运算)( iexp )sin(i)cos( i2121212121222212212222212121yxyxyxyxyyxxzz两个复数相除，模等于模之商，幅角等于幅角之差4、共轭运算、共轭运算复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点*)s

4、in(cosiz)sin(cosiie5、乘方运算、乘方运算(cossin)innnnznine6、开方运算、开方运算2 i+2kinn2 2 cos()isin(), e(0,1,2,1)knnnnkkzennkn故故k取不同值，取不同值， 取不同值，取不同值，共有共有n个根个根nz7、复数相等、复数相等2121212121,yyxxzzNSzA四、无限远点四、无限远点模为有限大的复数模为无限大的复数复平面上有限远点复平面上无限远点测地投影复数球五、说明五、说明1、两个特殊的复数、两个特殊的复数0模为0，幅角无意义模为无限大，幅角无意义2、2*222zz zxy复数z的模的平方2222zz

5、zxixyy复数z的自乘3、复数可以用实部和虚部来表示，则对复数的研究往往归复数可以用实部和虚部来表示，则对复数的研究往往归结为对一对实数（即实部和虚部）的研究，关于实变数的和、结为对一对实数（即实部和虚部）的研究，关于实变数的和、差、积、商的极限的定理，极限存在与否的判据，都使用于差、积、商的极限的定理，极限存在与否的判据，都使用于复变数复变数zzzRe)(21*zzziIm)(21*)(21)(21*2*1*21zzzz4100i1) i1 (和求六、举例六、举例例：求例：求 之值之值38例：讨论式子例：讨论式子 在复平面上的意义在复平面上的意义2)/1Re(z解：解：2)/1Re(zyi

6、xzyixz1122yxyix22)/1Re(yxxz2222xyx222)41()41(yx为为圆上各点圆上各点第二节第二节 复变函数复变函数一、复变函数的定义一、复变函数的定义若在复数平面（复数球复数平面（复数球）上存在一个点集点集E（复数集合），（复数集合），对对于于E的每一个点（每一个的每一个点（每一个z），按照一定的规律，有一个或多），按照一定的规律，有一个或多个复数个复数w与之相对应，则称与之相对应，则称w为为z的函数的函数-复变函数，复变函数，z称为称为w的宗量，定义域为的宗量，定义域为E,记作：记作：( ),wf z zE二、区域二、区域1 1、邻域、邻域由由0zz确定的平面点

7、集，称为定点确定的平面点集，称为定点z0的的 邻域邻域2 2、内点、内点定点定点z0的的 邻域全含于点集邻域全含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的内点的内点3 3、外点、外点定点定点z0及其及其 邻域不包含于点集邻域不包含于点集E内，称内，称z0为点集为点集E的外点的外点4 4、边界点、边界点定点定点z0的的 邻域既有含于邻域既有含于E内，内，又有不含于又有不含于E内的点，称内的点，称z0为为点集点集E的边界点。的边界点。0z内点内点点外点外边界点边界点5 5、区域、区域A）全由内点组成）全由内点组成B）具连通性：点集中任何两）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且点都可以用一

8、条折线连接，且折线上的点属于该点集折线上的点属于该点集。0z内点内点边界点边界点外点外点6 6、闭区域、闭区域区域连同它的边界称为闭区域，如区域连同它的边界称为闭区域，如1z表示以原点为圆心半径为表示以原点为圆心半径为1 1的闭区域的闭区域| | 1z x yO7 7、单连通与复连通区域、单连通与复连通区域单连通区域：区域内任意闭单连通区域：区域内任意闭曲线，其内点都属于该区域，曲线，其内点都属于该区域，否则为复连通区域否则为复连通区域BB三、复变函数举例三、复变函数举例230123( )f zaa za za z1、多项式、多项式2、有理式、有理式230123230123( )aa za z

9、a zf zbb zb zb z3、根式、根式4、指数函数、指数函数( )f z )sin(cosyiyeeeeexiyxiyxz2012( )nnfzaa za za zyeeezxzArg ,isinycosy,0 ;,0iyxzexeey时时1212()e ezzzze(i2 )eezz性质：5、三角函数、三角函数ieezeeziziziziz2sin,2cos6、双曲函数、双曲函数2sinh,2coshzzzzeezeez7、对数函数、对数函数8、幂函数、幂函数isssez 性质周期性非有界函数2Ti, 2, 1, 0,2argilnLnkkzzz的主幅角是其中zzarg的主值被称为z

10、zzzLniarglnln在复数范围内，负数的对数依然有意义lnesz四、极限与连续性四、极限与连续性( )( , )( , )wf zu x yiv x y复变函数1、复变函数的极限、复变函数的极限设复变函数可归结为两个二元实变函数。( )( , )( , ),f zu x yiv x y在000zxiy的极限为00Auiv即Azfzz)(lim000),(lim),(lim0000vyxvuyxuyyxxyyxx2、复变函数的连续性、复变函数的连续性( )( , )( , ),f zu x yiv x y在000zxiy连续，z在全平面，在全平面，z - z0须以任意方式须以任意方式)()

11、(lim00zfzfzz0zz ),(),(),(),(0000yxvyxvyxuyxu1.3 1.3 导数导数一、导数的定义一、导数的定义设函数w=f(z) 是区域B上定义的单值函数，即对B上的每一个z值，有且仅有一个 w 值与之相对应，若在 B上的某点z,极限zzfzzfzwzz)()(limlim00存在，并且与0yixz的方式无关，则称函数w=f(z)在z点可导可导此（有限的）极限称为f(z)在z点的导数导数（微商微商）记作： f(z)或或df/dz，即即dzdfzzfzzfzfz)()(lim)(0二、求导法则二、求导法则aaadzdzzdzdzzdzdzzdzdeedzdnzzdz

12、dzzzznnln.1ln,sincos,cossin,1;)(,1,)(,)(,)(222121212121212121dzdwdwdFwFdzddwdzdzdwwwwwwwwdzddzdwwwdzdwwwdzddzdwdzdwwwdzd复变函数可导的条件要比实变函数严格的多zdzzdzdzzdsinhcoshcoshsinh三、可导的条件：三、可导的条件：1、必要条件：、必要条件：设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导，那么有zzfzzfzfz)()(lim)(0zyxivyxuyyxxivyyxxuz),(),(),(),(lim0),(),(),(),

13、(lim0zyxvyyxxvizyxuyyxxuz（1） 沿平行于实轴的方向趋于零 0,0yzx yixzzzfzzfzfz)()(lim)(0),(),(),(),(lim0 xyxvyxxvixyxuyxxuxxvixu),(),(),(),(lim0zyxvyyxxvizyxuyyxxuz（2） 沿平行于虚轴的方向趋于零0,i0 xzy zzfzzfzfz)()(lim)(0yuiyvyixz),(),(),(),(lim0yiyxvyyxviyiyxuyyxuyi),(),(),(),(lim0zyxvyyxxvizyxuyyxxuz iiuvvuxxyy, uuxyxy vv即即C.

14、R.C.R.条件是复变函数可导的必要条件，但不是条件是复变函数可导的必要条件，但不是可导的充分条件可导的充分条件两者应该相等，故有称为科西称为科西-黎曼条黎曼条件（件（C.R.C.R.条件）条件）2、充分条件：、充分条件：2）u,v在在z处满足处满足C.R.条件条件 1）u,v在在z处有连续的一阶偏微商处有连续的一阶偏微商证明：证明：因为因为u,v在在z处有连续的一阶偏微商，所以处有连续的一阶偏微商，所以u,v 的的微分存在微分存在dyyudxxududyyvdxxvdvidvdudf)()(dyyvdxxvidyyudxxudyyviyudxxvixu)()(dyxuiyudxyuixu)(

15、)(idvdudfdyxuiyudxyuixu)()()(idydxyuixuyuixudzdf此式此式 z无论以什么无论以什么趋于零都存在，趋于零都存在，故故f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在在z 点可导点可导充分必要条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B内一点z=x+iy可导的充分必要条件是条件点处满足在点处可微；在RiemannCauchy),(. 2),(),(),(. 1yxyxyxvyxu四、导数的计算公式四、导数的计算公式设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在处处可导，那么yuyvxvxudzzdfii)(等于何处可导在、复变函数例zzzzf,)(12

16、等于何处可导在、复变函数ziyxyzf,)(2五、极坐标下的五、极坐标下的Cauchy-RiemannCauchy-Riemann条件条件iez 00,，iieiez),(),()(ivuzfieivuivudzdf),(),(),(),(lim0lim0iievieu沿0z沿0z),(),(),(),(lim0iieivvieiuudzdfieuiv1)1(ieviu1)(vu1vu1条件极坐标系下的RC 1.4 1.4 解析函数解析函数一、解析函数的概念一、解析函数的概念设函数w=f(z)在点z0即其邻域内处处可导，则称函数f(z)在点z0处解析解析；又若f(z)在区域B内的每一点解析，则

17、称f(z)在区域B内是解析函数。解析函数。说明：（1）f(z)在z点解析，则必在z点可导，在z点可导，则不一定在z点解析。（2）f(z)在区域B上解析，则在区域B上必处处可导，（3）不解析的点称为函数的奇点可导在某一点上，解析 可导上，解析在某区域B（4）. 解析函数的充分必要条件设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，若u(x,y)和v(x,y)在B内满足条件内每一点满足在；内的偏导数存在且连续在和RiemannCauchy)2(),(),() 1 (BByxvyxu那么那么f(z)在在B内解析内解析。二、解析函数的主要性质二、解析函数的主要性质由由C.R.条件条件yvxuxvyu前

18、一式对前一式对x 求导，后式对求导，后式对y 求导，相加求导，相加02222yuxu0)(2222uyx02222yvxv0)(2222vyx前一式对前一式对y求导，后式对求导，后式对x 求导，相减求导，相减u(x,y)和和v(x,y)都满足二维都满足二维 Laplace 方程，即方程，即他们都是他们都是调和函数调和函数。uv同属一个复变函数的同属一个复变函数的实部和虚部，因此又称为实部和虚部，因此又称为共轭调和函数共轭调和函数性质性质1、f(z)在在区域区域 B 解析，解析，u(x,y)和和v(x,y)为为共轭调和函数共轭调和函数kzjyix称为梯度称为梯度(gradient)矢量矢量kzf

19、jyfixff)()(kzjyixkzjyix222222zyx222222yx二维二维表示表示三维表示三维表示2222223zyxLaplace 方方程表示为：程表示为：02 u02 v由由C.R.条件条件yvxuxvyu0yuyvxvxu两式相乘两式相乘0)()(jyvixvjyuixu0vu即：或正交与vu而而u 和和v 的梯度分别是的梯度分别是u(x,y)=常数常数 v(x,y)=常数常数的法向向量的法向向量性质性质 2、u(x,y)=常数与常数与 v(x,y)=常数曲线正交常数曲线正交三、给定实部或虚部，求解析函数三、给定实部或虚部，求解析函数若给定一个二元调和函数，可利用若给定一个

20、二元调和函数，可利用C.R.条件，求另一条件，求另一共轭调和函数，方法如下：共轭调和函数，方法如下：设已知设已知 u(x,y)， 求求v(x,y)dyyvdxxvdvC.R.条件条件yvxuxvyudyxudxyudv dvyxv),(方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法一、曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法方法三、不定积分法方法三、不定积分法例：已知解析函数实部例：已知

21、解析函数实部 u(x,y)=x2-y2,求求 v(x,y)解：解：故故u为调和函数为调和函数222yu222xuu(x,y)=x2-y2xxu2yxv2dyyvdxxvdv方法一、曲线积分法方法一、曲线积分法yyu2xyv2xdyydx22)0 ,(x),(yxxy),()0 , 0()22(yxxdyydxvCxy 2)0 ,(x),(yxxyCxdyydxvyx),()0 , 0()22(Cxdyydxxdyydxyxxx),()0 ,()0 ,()0 , 0()22()22(方法二、凑全微分显式法方法二、凑全微分显式法Cxyv 2xdyydxdv22)2(yxdCxyv 2)2()(22

22、CxyiyxzfiCz 2u(x,y)=x2-y2方法三、不定积分法方法三、不定积分法yxv2xyv2把把x视为参数视为参数有：有：)(2xxdyv)(2xxy)( 2xyxv0)( xCx )(Cxyv 2例：例：已知解析函数已知解析函数f(z)实部实部 求求 v(x,y)解：解：化为极坐标求解化为极坐标求解uv10)(,)(22222fyxyxu),(),()(ivuzf42222sincosu2)2cos(3)2sin(2uv2)2cos(2dvdvdvdddv23)2cos(2)2sin(2)2sin(2dCv2)2sin(),(),()(ivuzf2)2cos(uiCizf)2sin()2cos(1)(2iCezfi221)(iCz210)(f0C21)(zzf四、解析函数的应用四、解析函数的应用-平面场平面场在物理及工程中常常要研究各种各样的场，如电磁场、声场等，这些场均依赖于时间和空间变量。若场与时间无关，则称为恒定场，如静电场、流体中的定常流速等。若所研究的场在空间的某方向上是均匀的，从而只需要研究垂直于该方向的平面上的场，这样的场称为平面场。平面向量场并不意味着所有的向量都定义在这个平面上，而是说所有的向量都平行于这个平面，这样，这个向量场就可用这个平面上的向量来表示yyxx