信号与系统王明泉第八章习题解答

1、第8章 系统分析的状态变量法8.1 学习要求（1）了解状态变量、状态、初始状态、状态空间、状态方程、输出方程、系统方程等概念及内涵；（2）能根据系统结构图、微分方程、差分方程、转移函数、系统框图，正确的选择状态变量，列出系统的状态方程和输出方程，并写成标准矩阵形式；（3）能采用时域方程和变换域方法求解系统状态方程和输出方程； （4）能根据状态方程和输出方程画出系统的框图。8.2 本章重点（1）连续系统状态方程和输出方程的建立与求解； （2）离散系统状态方程和输出方程的建立与求解。8.3 本章的知识结构 8.4 本章的内容摘要8.4.1状态方程的建立状态方程是描述系统的状态变量之间及其与激励之间

2、关系的一阶微分方程，而输出方程是用状态变量和激励(有时还可能有激励的某些导数 表示的函数关系式。 （1）连续时间系统状态方程的建立通常，标准形式的状态方程为 ( ( (t t t f x x B A +=系统输出方程的标准形式为 ( ( (t t t f x D C y +=式中 (t x 表示状态变量的一阶导数， (t f 是与外加信号有关的项，A 、B 、C 和D 为常数矩阵。直接法：利用系统实际结构及系统所遵循的物理规律直接列出方程的方法。 间接法：根据已知的输入输出方程、系统框图或系统函数列写状态方程的方法。 （2）离散时间系统状态方程的建立对于一个有p 个输入和q 个输出的离散系统，

3、如有k 个状态变量，其状态方程的一般形式为+=+ ( ( ( ( ( ( 1( 1( 1(212122221112112121222211121121n f n f n f b b b b b b b b b n x n x n x a a a a a a a a a n x n x n x p kp k k p p k kk k k k k k输出方程的一般形式为+= ( ( ( ( ( ( ( ( (212122221112112121222211121121n f n f n f d d d d d d d d d n x n x n x c c c c c c c c c n y n

4、y n y p qp q q p p k qk q q k k q可简写为( ( 1(n n n f x x B A +=+ ( ( n n n f x D C y(+=式中C B A 、和D 是常数矩阵。8.4.2状态方程的求解（1）连续时间系统状态方程的求解连续时间系统状态方程的求解方法有两种，即时域解法和复频域解法。 1时域解法( ( _0( ( (t t t t f x x *+=B ( ( _0( ( (t t t t t f f x D B C y +*+=( ( ( _0( ( t t t t f f x D B C C +*+=式中， (t =teA 表示状态转移矩阵函数（ 矩

5、阵指数函数）系统的输出由两部分组成，即第一项是零输入响应，第二项是零状态响应。 2复频域解法( (_0( ( (11s s s s BF I x I X -+-=A A( (_0( ( (11s s s s F B I x I D A C A C Y +-+-=-式中1 _(0(-A C I x s 是系统的零输入响应 (s zi Y ， ( (1s s F B I D A C +-是系统的零状态响应 (s zs Y 。在零状态条件下，系统输出的拉普拉斯变换与输入的拉普拉斯变换之比定义为系统传递函数，故矩阵D A C +-B I 1 (s 称为系统的传输函数矩阵 (s H 。因此，系统零输入响

6、应也可以用 ( ( (s s s zs X H Y =来求解。对式(8-13、(8-15取拉普拉斯逆变换得( (_0( ( (1111s s L s L t BF I x I x -+-=A A( ( ( _(0( (1111s s s L s L t F BF I I x y D A C A C +-+-=-比较式(8-16和(8-7得-=-=*-A I A A A s s L s L et t( ( ( 111I I式中*- (A I s 是 (A -I s 的伴随矩阵，A I -s 是 (A -I s 的特征多项式。 （2）离散系统状态方程的求解离散系统状态方程的求解方法有两种，即时域解

7、法和z 域解法。 1时域解法-=-+=1( 1( 0( ( (n i i i n n n f x x B ( 1( 0( (n n n f x *-+=B 式中，nn A = (， 0( (x n 是状态向量 (n x 的零输入解 (n zi x ， ( 1(n n f *-B 是状态向量 (n x 的零状态解 (n zs x 。( ( n n n f x D C y(+= ( (1 ( 0( (n n n n f x *+-+=D B C C 式中 0( (x n C 是系统的零输入响应 (n zi y ， ( (1 (n n n f *+-D B C 是系统的零状态响应 (n zs y 。

8、 (n 的求解可以利用成分矩阵来求。2 z 域解法( 0( (11z z z z BF I x I X -+-=A A z( 0( (1111z z z n BF I x I x -Z+-Z=A A z( 0(1111n z z f B I x I *-Z+-Z=-A A z ( ( 0( (11z z z z z z F BF I x I D A C A C Y +-+-=- ( 0( (1111n z z n f D B I C x I C y *+-Z+-Z=-A A z式中 0(11x I C z -ZA z 是系统的零输入响应 (n y zi ，(11n z f D B I C *+

9、-Z-A 是系统的零状态响应 (n y zs 。8.5典型题型解析题1、已知某系统的状态方程为1122340( 651xx f t x x =+则下列选项中不可能是该系统的零输入响应的是（ ）(a( t e u t - (b 0 (c 9( t e u t (d9( te u t - 答案：(d分析：系统特征多项式为=-A I ，得34065-=-，计算可得特征值为 19=, 12-=，所以9( t e u t -是不可能为零输入响应题2、写出下图所示电路的状态方程。 解：选12(, ( x t x t 为状态变量，则有1111212222( ( ( ( ( ( ( 0R x t L xt M

10、x t f t Mx t R x t L x t +=+=即12222221121211221122222121212( ( ( ( ( R L MR L x t L L M L L M x t L L M f t xt MR L R x t M L L M L L M L L M -=+-题3、如下图所示系统，以 (1t x 、 (2t x 和 (3t x 为状态变量，以 (t y 为响应，写出系统的状态方程和输出方程。 解：根据系统框图，可得12233115( ( 101( ( ( 21( ( 1( (X s X s s X s F s X s s X s X s s Y s X s =+

11、=-+=+= 整理得1212323131( 5( 10( ( ( 2( ( ( ( ( (sX s X s X s sX s F s X s X s sX s X s X s Y s X s =-=-=-= 做拉氏反变换得1212323131( 5( 10( ( ( ( 2( ( ( ( (x t x t x t xt f t x t x t x t x t x t y t x t =-=-=-= 所以得系统的状态方程112233( ( 10500( 021( 1( 1010( ( x t x t x t x t f t x t x t -=-+-系统输出方程123( ( 100( ( x t

12、 y t x t x t =题4、已知系统的状态方程和输出方程分别为(0110( (1021 ( (2121t f t x t x t x t x +-= -= ( (1011 ( (2121t x t x t y t y初始状态和输入信号分别为=11_0(_0(21x x 和= ( ( (t t u t f 求系统的输出响应。解：121121211( 01101s s s s sI A s s -+-=-=+-故得状态向量的s 域零输入解2121221(0 11111( (0 111011x s s s s s x s s -+-+-=-状态向量的s 域零状态解21221101111( (

13、110111011s s s s s BF s s s s s -+-=-所以可得状态向量时域零输入解2( t t t e e u t e -=状态向量时域零状态解2( 1t t e u t e -=-所以状态变量12( 222( ( 21t t tx t e e u t x t e -+=+=-零输入解零状态解 所以1122( ( 111122212( ( ( 01( 012112t tt t t y t x t e e e u t u t y t x t e e -+=-题5、试计算下列矩阵的矩阵函数te A（1）2003-=-A （2）2102-=-A 解： （1）2(2(3 003+-

14、=+=+A I 得 122, 3=-=-则有20130123t te e -=-=- 解得系数为23023132t t t te ee e-=-=- 于是(01232323102032010300t t t t tt t e e e e e e e -=+-=-+-=A AI （2）221(2 002+-=+=+A I 得 122=-则有0101( t t e d de d d =+=+ 解得系数为2021(12 ttt ete-=+= 于是01222221021(12 01020t t t t t t e t e te e te e -=+-=+-=A AI8.6本章习题全解8.1 如题图8

15、.1所示电路图，输出量取 ( (2t u t y c =，状态变量取1c 、2c 的电压 ( (11t u t c =和 ( (22t u t c =，F c c 121=，=1210R R R 。要求写出系统的状态方程和输出方程。 题图8.1解：设回路电流为( i t ，则11221212( ( ( ( ( c c c c du t u t du t u t i t C C dt R dt R =+=+ （式1） 列出回路电压方程，012( ( ( ( c c R i t u t u t e t += （式2）由（式1、2）得1001112120022212( ( ( ( ( ( ( ( (

16、 ( c c c c c c c c du t R R C u t u t u t e t dt R du t R R C u t u t u t e t dt R +=+= 将状态变量及个参数代入，可得1122212( 2( aa a e t a a a e t =-+=-+ 输出量22( ( c r t u t a =所以系统的状态方程为1122211( 121aa e t a a -=+- 输出方程为12( 01a r t a =82已知系统框图如下所示 题图8.2试写出其状态方程和输出方程。 解：根据图中的积分器列出状态方程：1122( 3( 2( ( 2( 2( at a t x t

17、 a t a t x t =-+=-+ 输出方程：12( ( ( y t a t a t =-8.3已知一系统连续时间系统函数为(6116423+=s s s s s H用流图的串联结构形式建立状态方程和输出方程。 解：系统函数因式分解得：(141123s H s s s s +=+ 所以流图为：郑君理，信号与系统 图12-13选择积分器输出为状态变量的状态方程：112222333( 3( 4( ( ( 2( ( ( (t t t t t t t t t e t =-+=-+=-+整理得112322333( 3( 2( ( ( 2( ( ( (t t t t t t t t t e t =-+

18、=-+=-+输出方程为：1( ( r t t =8.4 已知系统在零输入条件下的状态方程为( (t t A =当=12 0(1时， (2 (t u e e t t t =-；当=11 0(1时， (2 (t u te e te e t t tt t +=- 求Ate 和A 。解：（1）在零输入条件下，( (0At a t e a = 代入已知条件得，221121t At t ttAt t t e e e e te e e te -=+=+所以有212211tt t At t t t e e te e ee te -+=+ 解得：1212211112212242t t t Attt t t t

19、t t t t t t tt t t e e te e e e te e e te ee te e te te tee te -+=+-+=-+-=+ （2）求矩阵A024324422t t tt tt t At t t t ttt t t t e te te e te e te de A dtte e te e te e te -=-+-=+-8.5 设一连续系统如题图8.5所示。(1 试求该系统的状态方程；(2 根据状态方程求系统的微分方程；(3 系统在 ( (t u t x =作用下，输出响应为 ( 652131( (3t u e e t y tt -+=，求系统的初始状态。 题图8.5

20、解：（1）以积分器输出端作为状态变量，得状态方程11221( 4( ( ( ( 3( (at a t a t x t a t a t x t =-+=-+ 输出方程为：1( ( y t a t = （2）由状态方程得4130A -=-，11B =，10C =，0D =； 所以11214134( 343s s s s sI A s s s -+-+=-=+系统函数2211341( ( 1014343ss s H s C s B D B s s s s -+=+=+所以微分方程为：''( 4'( 3( '( ( y t y t y t x t x t +=+ （3）

21、对系统微分方程两边求拉式变换得：2( (0 '(0 4( 4(0 3( ( ( s Y s sy y sY s y Y s sX s X s -+-+=+整理得2222(0 '(0 4(0 (1 ( 43(0 '(0 4(0 (1 /43(0 '(0 4(0 1(43sy y y s X s Y s s s sy y y s s s s s y sy sy s s s s -+=+=+=+由已知条件211/25/62121( ( 313(1(3 (43s s Y s L y t s s s s s s s s s +=+=+ 对比上两式可得：(0 0'(

22、0 4(0 12y y y -=+=即(0 0'(0 1y y -=根据输出方程1( ( y t a t =和112'( ' ( 4( ( ( y t a t a t a t x t =-+ 可得11(0 (0 0'(0 4(0 (0 (0 1x y y a a x -=-+=，即12(0 0(0 1x x -=8.6已知系统的状态方程与输出方程为( ( (t t t Bx A += ( ( (t t t Dx C y +=其中-=1363212A ，=131B ，13=C ，0=D ，=12_0(_0(21x x输入激励为单位阶跃函数，求系统的零输入响应、零状

23、态响应和全输出响应。解：采用复频域法求解11122/312/31( 3613612(12(1 24t s s L e s s s s s -+-+=-=+-+A A I系统的零输入响应 (s zi Y 为12( ( (0_12/3213136121(12(1 247521336231694zi s s x s s s s s s s s s -=-+=-+-=+=-+Y C A I所以94( (2316 ( tt zi y t ee u t -=-系统的零状态响应 (s zs Y 为1( ( (112/3113133612(12(1 241231134(4(9 1249zs s s s s s

24、 s s ss s s s s s s -=-+=-+=+-+Y C A D X I B 所以491( (134 ( 12t t zs y t e e u t -=+- 系统的完全响应为941( ( ( (1272189 ( 12t t zi zs y t y t y t e e u t -=+=+-8.7 已知某连续系统状态方程和输出方程中的各矩阵分别为-=1021A ，=0110B ，-=1011C ，=0101D 起始状态和输入信号分别为=01_0(_0(21和= ( ( ( (21t t u t x t x 求系统的输出响应。解：采用时域法求解系统的特征多项式为0=-A I 得0021

25、=+-特征值是11=, 12-=所以有：-=+=-1010t t e e解得系数为-=+=-t t t t e e e e 2121212110得 A A 10+=I t e- -+ +=-1021212110012121t t t t e e e e-=-t t t t e e e e 0将B A 、_0(t e 和 (t x 代入系统的状态方程( (0_( t t t e e t =+*A A B x得12( 101( ( 010( 00t t t t t tt tt e e e e e e u t t t e e -=+* (*( *( 0*( t t t t t e e u t e t

26、 e e u t -+=+ 32( 1t t t e e u t e -+-=-系统的输出方程为 ( ( (t t t Dx C y += 代入得，1122( ( 1110( ( 01( 10( y t t u t y t t t =+-3( t t e u t e -=8.8已知系统的微分方程为(4 (6 (5 (4 (' ' ' ' ' ' t x t y t y t y t y =+ 0 0( 0( 0(' ' ' =-y y y ， ( (t t x =求系统函数和输出响应。 解：输入输出方程是三阶微分方程，该系统

27、必须有三个状态变量。可选择输出变量和其一阶、二阶导数作为状态变量，即12132' ' ' '' (ty(t(t(ty (t(t(ty (t= 将状态变量代入系统的输出方程，并与1' (t、2' (t两式联立，可得状态方程12233123' ' ' 6544(t(t(t(t(t(t(t(tx t =-+ 矩阵形式为112233' ( ( 0100' ( 001( 0(6544' ( ( t t t t x t t t =+-输出方程可以写成( (1t t y =所以得010001654A =-

28、，004B =，1C =，0D =1132( ( 10001065444456H s s s s s s s s -=-+-=-+=+C A D I B132121324( 4561113211 0222142t t h t L s s s s L s s s e e t t -=+-+=+ =+-+>8.9 描述二阶连续系统的动态方程为(01 (2120 (t t t x +-= (11 (t t y =求描述该系统输入输出的微分方程。 解：根据已知条件，0212A -=-，10B =，11C =，0D = 112( ( 2111120322H s s ss s s s -=-+=-+

29、=+C A DI B所以微分方程为：'' ' ( 2( 2( '( 3( y t y t y t x t x t +=+8.10已知某离散系统状态方程和输出方程中的各矩阵分别为-=3210A ，=10B ，12=C ，0=D ，初始状态和输入信号分别为=-11 0( 0(21和 ( (n n x = 求系统状态方程和输出方程的解。 解：采用z 域法求解1121311( 23232z z z z z z z -=-+A I 112222222( ( (0( (31131011212132322112323221132112z z z z z z z z z z z

30、 z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -=-+-=+-+-+-=+-+-+-+=-+-=-A A X I I B 所以112( 2( 2(1 ( 2( n n n n u n u n n u n -=( ( (11322122z z z z z z z z =+-=-Y C DX所以1( 32( 2(1 3( 2(1 nn n y n u n u n n u n -=-=-8.11已知某离散系统状态方程和输出方程中的各矩阵分别为=4141021A ，=01B ，-=1011C ，=00D 初始状态和输入信号分别为=-21 0( 0(21x x 和 (

31、 (n u n f =求系统状态方程的解、零输入响应和零状态响应。 解：采用z 域法求解 （1）系统状态方程的解111100124( 1111( 244442z z z z z z z -=-A I 11( ( (0( (11001114411111121101( ( 24244242114431( (1 2242444z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z -=-+-=+-=+-=A x A BF I I 2221453(1 22424(1 23(2 (1 4z z z z z z z z z z z z z z z -+-=-

32、所以系统状态方程的解为1212( 2( ( 241334n n x n u n x n -=+ （2）系统零输入响应1( (010111401112( 2442313112( 424z z z zz z z z z z z z -=-=-=-+-zi Y C A x I所以系统零输入响应为12112( 24( ( 1124n n zi n n zi y n u n y n + =- （4）系统零状态响应1( ( ( 1011114011101( 2442120(1 2z z z z zz z z z zz z -=-+-=-=-zs Y C A BF DF I 所以系统零状态响应为121( 4

33、4( 2( 0nzs zs y n u n y n -=8.12已知一离散系统的状态方程和输出方程分别为=+ ( (10 1( 1(2121n n b a n n 12( ( 31( n y n n =当0n 时，输入0 (=n f ，输出 (33 ( 1( (n u n u n y nn +-=。求 （1）系数a 和b 的值； （2）状态方程解。 解：（1）根据条件，01a b =A ，00=B ，31=C ，=00D 111112122( ( (0( ( (131(0(0131(0(0(33 5(0z z z z z z z z a z b a z z a a z b a zz b a a

34、 z bz a -=-+-+-=-=-=-+-+Y C A C A X DX I I B122(33 (05(0zz b a a a z bz a=-+-+ （式1）根据 (33 ( 1( (n u n u n y n n +-=得，2234( 1323z z z Y z z z z z =+=+- （式2） 结合式1、2得，3a =-，2b =，14(03a =，212(05a = （2）状态方程的解111212( ( (0(01(04133212544315122345z z z a z z a a z b z z z z zzz z -=-=-=-=-+-A I 所以状态方程的解：(1214231( 155( ( 1683155n n n n a n u n a n +-=+-8.13 已知某离散系统的状态方程与输出方程为(01 ( (21141211( 1(2121n x n n n n +=+(11 ( (1001 ( (2121n x n n n