不确定多属性决策的单目标最优化模型

1、 短文不确定多属性决策的单目标最优化模型¹达庆利,徐泽水(东南大学经济管理学院,南京210096摘要:对于属性权重及决策矩阵元素均以区间数形式给出的不确定多属性决策问题,提出了一种单目标最优化模型,给出了规范决策矩阵的计算公式,并提出了一种基于可能度的决策方案排序法.通过算例说明了该模型及方法的可行性和有效性.关键词:多属性决策;可能度;排序中图分类号:C934文献标识码:A文章编号:1000-5781(200201-0050-06Singule-objective optimization model in uncertain multi-attribute decision-ma

2、kingDA Qing-li,XU Ze-shui(Institute o f Econom ics and M anag em ent,Southeast U niv ersity,Nanjing210096,ChinaAbstract:This paper presents a singule-objective optimization m odel in multi-attribute decision making pro blem,in w hich both the attribute weights and the elements in decision-m aking ma

3、trix are in the form s o f interv al numbers,and gives som e form ulas for norm alizing decision m atr ix.A possibility degree-based method for ranking alternativ es is presented,and a num er ical ex ample is also g iv en to show the feasibility and effectiveness of the developed m odel and method.K

4、ey words:multi-attribute decision-making;possibility degree;priority0引言多属性决策普遍存在于企业生产规划、工程建设项目优选、企业效益评估等实际问题中,是一个非常活跃的研究领域1-3.由于客观事物的复杂性和不确定性以及人类思维的模糊性,人们所给出的决策信息往往不是以具体数值来表达,而是以区间数的形式来表示.因此,对于这类问题的研究有着重要的理论意义和实际应用背景.有关这方面的研究已取得了一些进展,如文4给出了误差分析方法,此法只能处理决策矩阵元素为区间形式的情形.文5,6给出了每个方案均单独处理的线性规划方法,采用由该模型求出

5、的所有方案综合属性值所在的区间一般并不是使用同一个属性权重向量,这使得所有的方案评价不具有可比性.文7在文5的基础上给出了一种改进模型.但是,这种改进模型仍需求出两个在通常情况下并不相同的权重向量,而且不能确保每个方案的综合评价值所在区间的存在性.本文对于属性权重及决策矩阵元素均为区间数的不确定多属性决策问题,提出了一种单目标最优化模型,给出了规范决策矩阵的计算公式,并提出了一种基于可能度的决策方案排序法,从而系统地解决了上述问题.最后通过算例说明了该模型及方法的第17卷第1期2002年2月系统工程学报JO U RN A L OF SYST EM S EN GIN EERIN GV ol.17

6、N o.1F eb.,2002¹收稿日期:2000-02-02;修订日期:2001-10-31.基金项目:国家自然科学基金资助项目(79970093.可行性和有效性.1预备知识对于属性权重及决策矩阵元素均以区间数方式给出的不确定多属性决策问题,一般可以描述为以下这种形式:设X =x 1,x 2,x n 为方案集合,U =u 1,u 2,u m 为属性集,w =(w 1,w 2,w m 为属性的权重向量,其中,w i w L i ,w U i,mi =1w L i1,mi =1w U i1,w L i,w U i>0,mi =1w i =1对于方案x j X ,按第i 个属性u

7、i 进行测度,得到x j 关于u i 的属性值为区间数a ij (这里a ij =a L ij ,a U ij ,从而构成决策矩阵A =(a ij m ×n .由于指标量纲的不同,需把矩阵A 规范化,再运用适当的算法对方案进行排序,求出最优方案.最常见的属性类型有效益型属性、成本型属性.效益型属性是指属性值越大越好的属性;成本型属性是指属性值越小越好的属性.设I i (i =1,2分别表示效益型、成本型的下标集合,õ表示向量的欧氏范数,且令M =1,2,m ,N =1,2,n .2公式及模型为了消除不同物理量纲对决策结果的影响,下面给出了规范决策矩阵的计算公式.可将决策矩阵

8、转变为规范化矩阵R =(r ij m ×n ,其中r ij =r L ij ,r Uij ,且r ij =a ij /a i ,i I 1,j N(1r ij =(1/a ij /(1/a i ,i I 2,j N(2a i =nj =1a2 ij,1/a i =nj =1(1/aij2 ,把式(1,(2写为=a L ij/nj =1(aU ij2=a U ij/nj =1(aLij2i I 1,j N (3r L ij=(1/a U ij/nj =1(1/aL ij2r U ij=(1/a L ij/nj =1(1/aU ij2i I 2,j N (4如何去确定各方案的综合属性值?

9、针对此问题,文5给出了两个线性规划模型:LP1m in z øj=mi =1rL ijw i (j N s.t.w L i w i w Ui ,i Mm i =1wi=1LP2max z "j=mi =1rU ijw i (j N s.t.w L i w i w Ui ,i Mmi =1wi=1设由模型LP1和LP2求出的最优解分别为w øj =(w ø1j ,w ø2j ,w ømj T和w "j =(w "1j ,w "2j ,w "mj T,则方案x j 的综合属性值为区间数z j =z

10、L j ,z Uj ,其中z L j=mi =1rLijw øij ,z U j=mi =1rU ijw "ij ,j N(5求解2n 个线性规划模型,可以得到所有方案的综合属性值.由于在一般情况下由模型LP1和LP2得到的所有方案的综合属性值将分别使用不同的属性权重向量,这使得所有的方案评价不具有可比性,因而没有什么实际意义.考虑到各决策方案之间是公平竞争的,不存在任何偏好关系.文7对模型LP1和LP2进行了改进,采用等权的线性权和法给出了下面模型:LP3m in z ø0=mi =1nj =1rL ijw is.t.w L i w i w Ui ,i Mmi

11、=1wi=1LP4m ax z "0=mi =1nj =1rU ijw is.t.w L i w i w Ui ,i Mmi =1wi=1设模型LP3和LP4的最优解分别为w ø=(w ø1,512002年2月达庆利等:不确定多属性决策的单目标最优化模型w ø2,w øm T和w "=(w "1,w "2,w "m T,则方案x j 的综合属性值为区间数z j =z Lj ,z Uj ,其中z L j=mi =1r L ijw øi,z U j=mi =1r Uij w "i ,j N

12、(6虽然z L j (j N 和z Uj (j N 分别采用了同一个权重向量,且计算量有所减少.但是,在一般情况下,两个权重向量w ø和w "仍然是不相同的.因此,由模型LP3,LP4及(6式可知,有时可能会出现z L j>z U j的情形,即区间数z j =z L j,z U j可能不存在.为了解决上述问题,不妨这样思考:由于模型LP3等价于下列模型:LP5m ax z ø0=-mi =1nj =1rL ijw is.t.w L i w i w Ui ,i Mm i =1wi=1又因为模型LP4和LP5具有相同的约束条件,因此,合成模型LP4和LP5可得到

13、如下单目标优化模型:LP6m ax z =mi =1nj =1(rU ij -r L ij w is.t.w Li w i w Ui ,i M mi =1wi=1设由模型LP6求出的最优解为w =(w 1,w 2,w m T ,则方案x j 的综合属性值为区间数z j =z L j ,z U j,其中z L j=mi =1rLijw i ,z U j=mi =1rU ijw i ,j N (7由于z L j 和z Uj (j N 只采用了单一的权重向量,因此各方案之间具有可比性,并且对任意j N 均有z Lj z Uj 成立.由模型LP1LP6可以看出,从整体上来说,本文提出的模型最为简洁、合

14、理,且所需计算量比其它模型小得多,因而实用性较强.由模型LP1LP2及模型LP6易知:定理1设y j =y Lj ,y Uj 和z j =z Lj ,z Uj 分别表示求解模型LP1LP2和模型LP6所得到的方案x j 的综合属性值所在区间,则必有y L j ,y U j B z L j ,z Uj 3排序方法为了对各方案进行排序,先给出区间数两两比较的可能度概念:定义16,8设a =a L ,a U ,b =b L ,b U,且记L (a =a U-a L ,L (b =b U -b L ,则称p(a b =max (0,L (a +L (b -m ax(0,b U -a L L (a +L

15、 (b (8为a b 的可能度.在此定义下,p(a b 具有下述性质:1若p(a b =p(b a ,则p(a b =p(b a =1/2.2p(a b +p(b a = 1.3若a U b L ,则p(a b =0;若a L b U ,则p(a b = 1.4对于三个区间数a ,b ,c ,若a b ,则p(a c p(b c .利用公式(8对所有的区间数z j =z L j ,z Uj (j N 进行两两比较,建立可能度矩阵P =(p ij n ×n 其中p ij =p(z i z j .由性质2可知矩阵P 是一个互补判断矩阵.利用文9中给出的一个简洁的互补判断矩阵排序公式进行求

16、解:X i =1n (n -1nj =1pij+n2-1,i N (9得到可能度矩阵P 的排序向量X =(X 1,X 2,X n T,并按其分量大小对方案进行排序,即得到最优方案.4算例分析为了说明本文提出的模型及排序方法的有效性,采用文5,7提供的例子:例考虑一个市政图书馆的空调系统选择问题,有五个备选方案x j (j =1,2,3,4,5,而评价方案的主要依据是三个因素,即经济性、功能性和可操作性.这三个因素又可划分为八个属性,即固定成本(Q 1、管理成本(Q 2、性能(Q 3、噪音(Q 4、可维护性(Q 5、可靠性(Q 6、灵活性(Q 7和安全性(Q 8.其中,Q 3,Q 5,Q 7,Q

17、 8的属性值为打分值,其范围为1分(最差到10分(最好之间.另外,Q 1,Q 2和Q 4为成本型属性,其它五个属性为效益型属性.该问题的决策矩阵及属性的权重范围如表1所示.52系统工程学报第17卷第1期表1决策矩阵A 和属性权重向量wQ i w is 1s 2s 3s 4s 5Q 10.0419,0.04913.7,4.71.5,2.53,43.5,4.52.5,3.5Q 20.0840,0.09825.9,6.94.7,5.74.2,5.24.5,5.55,6Q 30.1211,0.13738,104,64,67,96,8Q 40.1211,0.137330,4065,7560,7035,4

18、550,60Q 50.1680,0.18183,53,57,98,105,7Q 60.2138,0.229490,10070,8080,9085,9585,95Q 70.0395,0.04573,57,97,96,84,6Q 80.1588,0.17066,84,65,77,98,10利用公式(1(2得到规范化决策矩阵(表2:表2规范化决策阵RQ i s 1s 2s 3s 4s 5Q 10.2281,0.42810.4288,0.71460.2680,0.35730.2382,0.30630.3063,0.4288Q 20.3089,0.43820.3740,0.55010.4099,0.50

19、750.3876,0.47370.3553,0.4263Q 30.4493,0.74330.2247,0.44600.2247,0.44600.3932,0.66900.3370,0.5946Q 40.4690,0.79040.2501,0.36480.2680,0.39520.4169,0.67750.3126,0.4743Q 50.1793,0.40030.1793,0.40030.4183,0.72060.4781,0.80080.2988,0.5604Q 60.4363,0.54350.3394,0.43480.3878,0.48920.4121,0.51640.4121,0.5164

20、Q 70.1771,0.39650.4132,0.71390.4132,0.71390.3542,0.63440.2361,0.4758Q 80.3303,0.58040.2202,0.43530.2752,0.50780.3853,0.65290.4404,0.72551求解模型LP1和LP2得到相应于方案x j 最优解w øj =(w ø1j ,w ø2j ,w ø8j T 和w "j =(w "1j ,w "2j ,w "8j T 及方案x j 综合属性值所在区间z j =z L j ,z Uj (j =1,

21、2,3,4,5,如表3所示.表3求解模型L P 1和L P2的结果 532002年2月达庆利等:不确定多属性决策的单目标最优化模型2求解模型LP3和LP4所得结果为w ø=(0.0491,0.0840,0.1373,0.1211,0.1818,0.2138,0.0457,0.1672Tw "=(0.0419,0.0840,0.1373,0.1249,0.1818,0.2138,0.0457,0.1706T z 1=0.3448,0.5616z 2=0.2745,0.4556z 3=0.3348,0.5230z 4=0.4044,0.6255z 5=0.3559,0.5525

22、3求解模型LP6所得结果为w =(0.0419,0.0840,0.1373,0.1249,0.1818,0.2138,0.0457,0.1706T z 1=0.3461,0.5616z 2=0.2731,0.4556z 3=0.3348,0.5230z 4=0.4055,0.6255z 5=0.3563,0.5525从上述结果可以看出,一般来说,由模型LP6所得各方案的综合属性值所在区间范围最小.为了对各方案进行排序,先利用(8式分别求出上述三种模型所得各方案的综合属性值两两比较的可能度矩阵,然后利用式(9对方案排序:(P 1=0.50.71570.56470.36740.503 20.284

23、30.50.33690.13850.27290.43530.66310.50.29200.43440.63260.86150.70800.50.64430.49680.72710.56560.35570.5X =(0.2076,0.1516,0.1912,0.2423,0.2073Tx 4>x 1>x 5>x 3>x 2(P 2=0.50.72150.56000.35900. 49760.27850.50.32710.12730.26400.44000.67290.50.28980.43440.64100.87270.71020.50.64540.50240.73600

24、.56570.35460.5X =(0.2069,0.1498,0.1919,0.2435,0.2079Tx 4>x 5>x 1>x 3>x 2(P 3=0.50.72490.56180.35840.49870.27510.50.32590.12450.26220.43820.67410.50.28780.43370.64160.87550.71220.50.64680.50130.73780.56630.35320.5X =(0.2072,0.1494,0.1917,0.2438,0.2079Tx 4>x 5>x 1>x 3>x 2因此,(和(

25、中方案排序相同,相比之下,(中方案x 1和x 5产生了逆序.但最优方案均为x 4.5结束语对于属性权重及决策矩阵元素均以区间数形式给出的不确定多属性决策问题,本文提出了一种单目标最优化模型,给出了规范决策矩阵的计算公式.与其它模型相比,该模型简洁合理;所需计算量最小.不仅保证了计算出来的每个方案综合属性值都使用唯一的一个属性权重向量,使得所有的方案评价具有可比性,而且保证了每个方案的综合属性值所在区间的存在性.数值结果表明:一般来说,由该模型所得各方案的综合属性值所在区间范围也最小.值得一提的是,文中所提出的基于可能度的决策方案排序法,解决了属性权重及决策矩阵元素均为区间数的不确定多属性决策的

26、方案排序问题.因此,本文的结果具有较高的理论意义及实用价值.参考文献:1Hwang C L ,Yo on K .M ultiple attr ibute decision making M .N ew Yo rk :Spr ing er -V er la g ,Ber lin :Heidelberg ,19812陈王廷.决策分析M .北京:科学出版社,19873徐南荣,仲伟俊.科学决策理论与方法M .南京:东南大学出版社,19964Y o on K .T he pr opag atio n of er r or s in mult iple -a ttr ibut e decision ana

27、ly sis :A pr actical appr oach J .Jo urnal of t heO perational Research So ciety ,1989,40(7:681-68654系统工程学报第17卷第1期2002 年 2 月 达庆利等: 不确 定多属性决策的单目标最优化模型 55 5 Bry so n N , M o bolur in A . An actio n lea rning ev aluation pr ocedur e fo r multiple criteria decisio n making pr oblems J . Euro pean Jo ur

28、nal o f Oper atio na l R esear ch, 1996, 96( 3 : 379386 6 徐泽水. 模糊综合评价的排 序方法研究 A . Systems Engineer ing , Sy st ems Science and Complexity Research C . Research Infor mation L td 出版社, Hemel Hem pstead Hp2 7T D, U nited K ing do m, 2000, 507511 7 樊治平, 张 权. 一种不确定性多属性决策模型的改进 J . 系统工程理论与实践, 1999, 19( 12

29、: 4247 8 达庆利, 刘新旺. 区间数线性规划及其满意解 J . 系统工 程理论与实践, 1999, 19( 4 : 37 9 徐泽水. 模糊互补判断矩阵排序的一种算法 J . 系统工程学报, 2001, 16( 4 : 311314 10 徐泽 水. 一种部分概率信息下的策略优选方法及其应用 J . 系统工程学报, 2001, 16( 3 : 228231 作者简介: 达庆利( 1945- , 男, 江苏六合人, 教授, 博士生导师, 研究方向: 虚拟企业管理, 经营过程分析与决策. 徐泽水( 1968- , 男, 安徽南陵人, 副教授, 博士生. 研 究方向: 决策分析等. 在国内外学术刊物上发表论文 80 余篇. ( 上接第 49 页 又利用 PB 启发式算法能进行局部细致的搜索的 特点弥补了遗传算法收敛速度较慢的弱点, 增加 参 考 文 献: 了得到全局最优解的概率. 实验结果表明, 这个算 法是行之有效的. 1