二次函数的图像和性质

1、二次函数的图像和性质一. 本周教学内容：二次函数的图像和性质 二、本周学习目标掌握二次函数的图像和性质，能够确定二次函数的表达式，并能够对图像进行分析  1. 与之间关系，（）  2. 顶点坐标                               &#

2、160;   对称轴                              （0，0）                 

3、60;                 y轴                        （0，k）          

4、;                         y轴                      （h，0）    &

5、#160;                              直线xh               （h，k）     &

6、#160;                             直线xh。  3. 二次函数顶点坐标（，），对称轴是直线。  4. 二次函数图象的画法。       （1）通过配方法，将一般式化为形式；   

7、;    （2）确定抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标；       （3）在对称轴两侧，以顶点为中心，左右两侧对称描点。  5. 求二次函数解析式。       （1）一般式：       （2）顶点式：       （3）交点式：，其中（，0），（，0）分别为抛物线与x轴的两个交点。  

8、0;    （4）对称点式：，其中（），（）为抛物线上关于对称轴对称的两个点。6. 抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：，抛物线经过原点; ，与轴交于正半轴；，与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 三、考点分析二次函数的图像和性质、确定二次函数的表达式、

9、确定二次函数图像特征，这三点在中考考点中均是要求学生能够熟练掌握的内容。 【典型例题】例1. 已知抛物线。       （1）求抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标；       （2）求抛物线与轴、轴的交点坐标；       （3）画出函数图象（草图）；       （4）根据图象说出：x为何值时，y随x增大而增大？x为何值时y随x增大而减小？函数

10、y有最大值还是最小值？最值是多少？       分析：通过配方或利用顶点坐标公式求出顶点坐标和对称轴，再利用五点作图，并根据图象回答增减性及最值。       解：（1）配方：得               抛物线开口向下       对称轴：    

11、;      顶点坐标是（，2）       （2）令即，得，。它与x轴的交点坐标为（，0），（，0）再令即它与y轴交点坐标为（0，）（3）顶点A（，2），对称轴，与x轴交点为B（，0），C（，0）与y轴交点D（0，）。D关于对称轴的对称点E（，），将E、B、A、C、D这5点连接成光滑曲线，即得抛物线图象。（4）从图象可知，当时，随x增大而增大。当时，随x增大而减小。抛物线开口向下，顶点A为最高点，函数有最大值即当时，2。点拨：（1）五点作图法是画二次函数图象的简易作图法，这五点是抛物

12、线的五个特征点：即顶点，与x轴的两个交点，与y轴的交点及该交点关于抛物线对称轴的对称点。（2）有时候函数与x轴没有交点，则选取作图点的时候要考虑抛物线的对称性，以对称轴为中心对称取点。 例2. 已知抛物线yax+bx+c的顶点是A(1，4)且经过点(1，2)求其解析式。分析：此类题型可设顶点坐标为(m，k)，故解析式为ya(xm)+k.在本题中可设ya(x+1)+4，再将点(1，2)代入求得ay即y由于题中只有一个待定的系数a，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 例3. 如图所示，二次函数的图像经过A、B、C三点。（1）观察图像，写出A、B、C三点的坐标，并求出函

13、数的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标和对称轴。分析：求函数解析式时，我们要注意考虑函数表达式的三种一般形式，并能够根据题目条件来选取合适的表达式来求解。顶点坐标和对称轴则可以用相应的公式来求解。解：（1）A（，0），B（3，0），C（0，），将三点坐标代入，得      解得二次函数的解析式为。（2），顶点坐标为，对称轴为直线。点拨：当给出抛物线yax+bx+c上的三点时，可采取列方程组，求出a、b、c的值，即可求出函数的解析式。对于本题来说，我们还可以发现A、B两点是图像与x轴的交点，本题也可以采用交点式来求解，而且解法要比一般式要简单。&

14、#160;【模拟试题】（答题时间：30分钟）1. 二次函数yx2的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（  ）A. yx2+3                   B. yx23                  C. y（x+

15、3）2            D. y（x3）22. 二次函数y（x1）2+3图像的顶点坐标是（  ）A. （1，3）                    B. （1，3）         

16、0;      C. （1，3）                D. （1，3）3. 二次函数yx2+x6的图象与x轴交点的横坐标是（  ）A. 2和3                   B. 2和3  &#

17、160;               C. 2和3                      D. 2和34. 二次函数yax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：a>0；c>0；b24ac>0，其中正确的个数是（  ）A

18、. 0个                         B. 1个                        C. 2个 &

19、#160;                       D. 3个5. （2006年常德市）根据下列表格中二次函数yax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（  ）    x6.176.186.196.20yax2+bx+c0.030.010.020.04A. 6

20、<x<6.17                                                

21、;    B. 6.17<x<6.18    C. 6.18<x<6.19                                     

22、;           D. 6.19<x<6.206. （2006年南充市）二次函数yax2+bx+c，b2ac，且x0时y4则（  ）A. y最大4                      B. y最小4     

23、0;          C. y最大3                D. y最小37. （2006年苏州市）抛物线y2x2+4x+5的对称轴是x_。8. （2006年宿迁市）将抛物线yx2向左平移4个单位后，再向下平移2个单位，则此时抛物线的解析式是_。9. （2006年锦州市）已知二次函数的图象开口向上，且顶点在y轴的负半轴上，请你写出一个满足条件的二次

24、函数的表达式_。10. （2006年长春市）函数yx2+bxc的图象经过点（1，2），则bc的值为_。11. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+c（a0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A，B，C，则ac的值是_。12. 观察下面的表格：    x012   ax2 2 ax2+bx+c4 6（1）求a，b，c的值，并在表格内的空格中填上正确的数；（2）求二次函数yax2+bx+c图象的顶点坐标与对称轴。13. （2006年南通市）已知抛物线yax2+bx+c经过A，B，C三点，当x0时，其图象如图所示。

25、（1）求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；（2）画出抛物线yax2+bx+c当x<0时的图象；（3）利用抛物线yax2+bx+c，写出x为何值时，y>0。14. （2006年长春市）如图，P为抛物线yx2x+上对称轴右侧的一点，且点P在x轴上方，过点P作PA垂直x轴于点A，PB垂直y轴于点B，得到矩形PAOB. 若AP1，求矩形PAOB的面积。15. （2006年莆田市）枇杷是莆田名果之一。某果园有100棵枇杷树，每棵平均产量为40千克。现准备多种一些枇杷树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树接受的阳光就会减少。根据实践经验，每多种一棵树，投产后果园中所有的枇杷树平均每棵就会减少产量0.25千克。问：增种多少棵枇杷树，投产后可以使果园枇杷的总产量最多？最多总产量是多少千克？注：抛物线yax2+bx+c的顶点坐标是（，）16. （2006年常州市）在平面直角坐标系中，已知二次函数ya（x1）2+k的图像与x轴相交于点A、B，顶点为C，点D在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD是一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式。【试题答案】1. D           2. B