第一节中值定理ppt课件

1、机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束第一节第一节 微分中值定理微分中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理四、小结四、小结 思索题思索题机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理1.【费玛引理】【费玛引理】内内有有定定义义，的的某某邻邻域域在在点点设设函函数数 )( )( 00 xUxxf )( 00有有，如如果果对对处处可可导导，并并且且在在

2、xUxx )()( ( )()(00 xfxfxfxf 或或0)( 0 xf则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束亦有亦有)()(00 xfxxf 时时当当 0 x0)()(00 xxfxxf时时当当 0 x0)()(00 xxfxxf由极限的保号性及可导的充要条件立得由极限的保号性及可导的充要条件立得0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx0)()(lim)()(00000 xxfxxfxfxfx所以所以0)(0 xf证完证完【证】【证】 )()( 0的情形的情形仅证仅证xfxf )(0时时xUx 那那么么)( 00 xUxx 对对于于机动机动 目录

3、目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【几何意义】【几何意义】x0 xyo)(xfy 程度切线程度切线假设曲线在获得极大假设曲线在获得极大值或极小值的点值或极小值的点处具有切线，那么该处具有切线，那么该切线必是程度的切线必是程度的. .【定义】【定义】通常称导数等于零的点为函数的驻点通常称导数等于零的点为函数的驻点或稳定点、临界点或稳定点、临界点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束2. 【罗尔【罗尔Rolle定理】定理】 假设假设 f (x)f (x)满足满足1在闭区间在闭区间a , b上延续；上延续；2在开区间在开区间a , b内可导；内可导；3f (a) = f

4、 (b)那么那么 至少存在至少存在(a , b)，使得，使得 f ()=0【几何解释】【几何解释】ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【证】【证】.)1(mM 若若,)(连连续续在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 则则. 0)( xf由由此此得得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),()(bfaf . 取取得得最最值值不不可可能能同同时时在在端端点点),(afM 设设.)(),(Mfba 使使内内

5、至至少少存存在在一一点点则则在在即即 ,bax 有有Mfxf )()( 由费玛引理立得由费玛引理立得. 0)( f证完证完机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【留意】【留意】(1)(1)罗尔定理的条件是充分的，不用要罗尔定理的条件是充分的，不用要. .反例反例1 1;2 , 2, xxy, ,)0(2 , 2的的一一切切条条件件满满足足罗罗尔尔定定理理不不存存在在外外上上除除在在f . 0)( 2-2 xf使使内内找找不不到到一一点点能能，但但在在区区间间(2)(2)假设罗尔定理的三个条件中有一个不满假设罗尔定理的三个条件中有一个不满足足, ,其结论能够成立，也能够不成立

6、其结论能够成立，也能够不成立. .故假设不满足第故假设不满足第2 2条：条：xyo2 xy 2有不可导点有不可导点无程度切线无程度切线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束;0, 01 , 0(,1)( xxxxy .1 , 0, xxy反例反例2 2不满足第不满足第1 1条：条：不满足第不满足第3 3条：条：xyo11)(xy 有不延续点有不延续点两端点值不相等两端点值不相等xyo11xy 反例反例3 3无程度切线无程度切线无程度切线无程度切线机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【补例【补例1 1】.1 0155的的正正实实根根于于有有且且仅仅有有一

7、一个个小小证证明明方方程程 xx【证】【证】, 15)(5 xxxf设设,1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零点定理由零点定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即为方程的小于即为方程的小于1 1的正实根的正实根. .,),1 , 0(011xxx 设设另另有有. 0)(1 xf使使 ,)(10件件之之间间满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾, ,.为唯一实根为唯一实根【分析】【分析】1有有 存在性存在性2仅一

8、个仅一个独一性独一性机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【补例【补例2】 设函数设函数f (x)=(xf (x)=(x1)(x1)(x2)(x2)(x3), 3), 试判别方程试判别方程ffx x法法 f(1)=f(2)=f(3), f(1)=f(2)=f(3), 且且f (x)f (x)在在1, 21, 2上延续上延续, ,在在(1,2)(1,2)内可导内可导, , 由罗尔定理由罗尔定理, , 1 1(1, 2),(1, 2),使使 f f( (1 1; ;同理同理, , 2 2 ( ( , , ), ), 使使 f(f( 2 2 ; ;又因又因f(xf(x 是二次方程

9、是二次方程, , 至多两个实根至多两个实根, ,故故f(xf(x 有两个实根有两个实根, , 分别位于分别位于(1,2) (1,2) 和和(2,3)(2,3)内内. .(1)(1)修正修正:f (x)=(x:f (x)=(x1)(x1)(x2)(x2)(x3)(x3)(x4), 4), 结论如何结论如何? ?法法利用零点定理求之。利用零点定理求之。有几个实根有几个实根, 分别在何区间分别在何区间?)2)(1( )3)(1()3)(2()()( xxxxxxxfxf导导数数得得求求机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束此条件太苛刻此条件太苛刻二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagr

10、ange)(Lagrange)中值定中值定理理).()(bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中).()()( fabafbf 结结论论亦亦可可写写成成弦弦ABAB斜率斜率切线斜率切线斜率【留意】【留意】假设假设 f (x)f (x)满足满足1在闭区间在闭区间a , b上延续；上延续；2在开区间在开区间a , b内可导；内可导；【拉氏定理】【拉氏定理】那么那么 至少存在至少存在(a , b)，使得，使得f(b) f(a)= f ()(ba)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM【几何解释】【几何解释】.,AB

11、CAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧【分析】【分析】).()( bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差弦弦ABAB方程为方程为).()()()(axabafbfafy , )(yABxf的纵标的纵标减去弦减去弦曲线曲线 ., 两两端端点点的的函函数数值值相相等等所所得得曲曲线线在在ba机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束作辅助函数作辅助函数).()()()()()(axabafbfafxfxF , )(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件xF. 0)(,),( Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在

12、则在0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式【留意】拉氏公式准确地表达了函数在一个区间上【留意】拉氏公式准确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. .【证】【证】要验证要验证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束,),(,)(内内可可导导在在上上连连续续，在在设设babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf则则有有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可写写成成.的精确表达式的精确表达式增量增量 y

13、在区间在区间 上上,00 xxx ),(00 xxx 显有显有10 xx xx 0 yf (x0) x0 xxx 0 x增量增量y y的近似表达式的近似表达式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束拉格朗日中值定理又称有限增量定理拉格朗日中值定理又称有限增量定理. .拉格朗日中值公式又称有限增量公式拉格朗日中值公式又称有限增量公式. .微分中值定理微分中值定理.)(,)(上是一个常数上是一个常数在区间在区间那末那末上的导数恒为零上的导数恒为零在区间在区间如果函数如果函数IxfIxf【推论】【推论】【证】【证】Ixx 21,21xx )()()(1212xxfxfxf )(21

14、xx 由假定由假定0)( f)( )( 21xfxf )(常数常数 xf证完证完在在 上运用拉氏定理得上运用拉氏定理得,21xx由由 的恣意性立知的恣意性立知 21,xx机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【补例【补例3 3】).11(2arccosarcsin xxx 证明证明【证明】【证明】1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf设设)11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx推论的运用推论的运用证明函数为常函数证明函数为常函数)1 ,

15、1(0 x机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束拉氏定理运用拉氏定理运用证明不等式证明不等式【例【例3 3】.)1ln(1,0 xxxxx 时时证证明明当当【分析】【分析】据拉氏定理据拉氏定理)()()( fabafbf )(ba 由由 的范围，确定的范围，确定 的范围的范围 )( f 从而得到从而得到 的范围，变形可的范围，变形可得所求不等式得所求不等式 . . abafbf )()(【关键】【关键】 将结论写成将结论写成 的方式，以找出的方式，以找出abafbf )()(, )(baxf及及机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【证】【证】),1ln

16、()(xxf 观察可设观察可设, , 0)(上上满满足足拉拉氏氏定定理理的的条条件件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例3 3变形为：变形为：10)01ln()1ln(11 xxx【注】【注】教材教材P134习题第习题第9、10、11题均属此类型题均属此类型.要验证要验证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理【柯西【柯西Cauchy中值定理】中值

17、定理】 假设假设 f (x)f (x)及及F(x)F(x)满足满足1在闭区间在闭区间a , b上延续；上延续；2在开区间在开区间a , b内可导；内可导；那么那么 至少存在至少存在(a , b)，使得，使得3对任一对任一x(a , b),F (x)0)()()()()()( FfaFbFafbf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束【几何解释】【几何解释】)(1 F)(2 FXOY )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD)(xFNM. )(),(ABfFC处的切线平行于弦处的切线平行于弦点点 【证】【证】作辅助函数作辅助函数).()()()()()()()()(aF

18、xFaFbFafbfafxfx , )(件件满足罗尔定理的条满足罗尔定理的条x )(af)(bf xxFxfdXdY)()(切线斜率切线斜率弦弦ABAB斜率斜率)()()()(aFbFafbf 曲线曲线 )()(为参数为参数xxfYxFX 即即要验证要验证机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束, 0)()()()()()( FaFbFafbff即即.)()()()()()( FfaFbFafbf. 0)(,),( 使使得得内内至至少少存存在在一一点点则则在在ba,)(xxF 当当, 1)(,)()( xFabaFbF)()()()()()( FfaFbFafbf).()()

19、( fabafbf证完证完【留意】【留意】(1)(1)即为拉氏中值定理即为拉氏中值定理机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束(2)(2)柯西中值定理即可看作拉氏中值定理的推柯西中值定理即可看作拉氏中值定理的推行，又可看作拉氏中值定理的参数方式行，又可看作拉氏中值定理的参数方式. .(3)(3)三个中值定理的条件都是充分的，不用要三个中值定理的条件都是充分的，不用要. .机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束).0()1(2)(),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至至少少存存在在一一点点证证明明内内可可导导在在上上连连续续在在设设函函数数【例【例4 4】【证【证】【分析】【分析】结论可变形为结论可变形为 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxF 设设, 1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xFxf有有内内至至少少存存在在一一点点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(f