FIR数字滤波器设计和实现

1、2北京邮电大学信息与通信工程学院概述:IIR 和FIR 比较IIR 与FIR 性能比较IIR 数字滤波器:幅频特性较好;但相频特性较差; 有稳定性问题;FIR 数字滤波器:可以严格线性相位,又可任意幅度特性 因果稳定系统可用FFT 计算(计算两个有限长序列的线性卷积 但阶次比IIR 滤波器要高得多3北京邮电大学信息与通信工程学院概述:IIR 和FIR 比较IIR 与FIR 设计方法比较IIR DF :无限冲激响应,H(Z 是z -1的有理分式,借助于模拟滤波器设计方法,阶数低(同样性能要求。其优异的幅频特性是以非线性相位为代价的。缺点:只能设计特定类型的滤波器,不能逼近任意的频响。FIR DF

2、 :有限冲激响应,系统函数H(Z 是z -1的多项式,采用直接逼近要求的频率响应。设计灵活性强缺点:设计方法复杂;延迟大;阶数高。(运算量比较大,因而在实现上需要比较多的运算单元和存储单元FIR DF 的技术要求:通带频率p ,阻带频率s 及最大衰减p ,最小衰减s 很重要的一条是保证H(z 具有线性相位。4北京邮电大学信息与通信工程学院概述:FIR DF 设计方法FIR 数字滤波器设计FIR 滤波器的任务:给定要求的频率特性,按一定的最佳逼近准则,选定h(n 及阶数N 。三种设计方法:n 窗函数加权法o 频率采样法p FIR DF 的CAD -切比雪夫等波纹逼近法5北京邮电大学信息与通信工程

3、学院概述:FIR DF 零极点FIR 滤波器的I/O 关系:10N r y(nh(rx(n r=0121(, ,.,=h n n N FIR 滤波器的系统传递函数:1211011N N N rN r h(z h(z .h(N H(zh(rzz =+=在Z 平面上有N-1 个零点;在原点处有一个(N-1阶极点,永远稳定。FIR 系统定义:一个数字滤波器DF 的输出y(n,如果仅取决于有限个过去的输入和现在的输入x(n, x(n-1,. ., x(n-N+1,则称之为FIR DF 。FIR 滤波器的单位冲激响应:6北京邮电大学信息与通信工程学院FIR DF 的频率响应为:FIR 滤波器的最重要特点

4、是能实现线性相位。具有线性相移特性的FIR 滤波器是FIR 滤波器中应用最广泛的一种。1j (r 0(H (e N j jn n H e h n e=H r (:振幅响应,它是一个取值可正可负的实函数。( = arg H(e jw 为数字滤波器的相位响应。概述:FIR DF 频率响应7北京邮电大学信息与通信工程学院信号通过线性滤波器时,其幅度和相位可能会发生改变,滤波器幅频特性|H(|和相频特性( 可能会随频率的变化而改变。如:输入正弦信号Acos(n 0则:输出为|H(0| Acos(n 0+,其中相移=(0输出频率和输入频率相同,但幅度和相位都发生了变化输出信号比输入信号滞后的样点数n (

5、位移 可由下式求得:设:n 0+=0000(n -=-滤波器在数字频率0 处的相位延迟(位移由于相位延迟n 的不同,最终产生了相位失真。确保不产生相位失真的办法:使不同频率的信号通过滤波器时有相同的延迟n 。概述:相位失真8北京邮电大学信息与通信工程学院对不同的频率有恒定的相移,不同的相位延迟n ,会产生相位失真.如:方波y(t 可以用无数奇次谐波的正弦波的叠加来得到:41111y(tsin(tsin(3tsin(5tsin(7tsin(9t3579=+若每个正弦波相移/2 弧度:确保所有频率具有相同相位延迟的简单方法:随着频率的变化而改变相位,使滤波器具有线性相位特性,即使所有频率的相位延迟

6、保持恒定,这种方法可通过使系统的相位函数(为频率的线性函数来实现。概述:相位失真p 41111y (t=cos(tcos(3tcos(5tcos(7tcos(9t3579+ 可见相移之后正弦波之和已不再是方波。9北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF 约束条件和频率响应三个内容:n 约束条件恒延时滤波h(n 偶对称:恒相延时和恒群延时同时成立 h(n 奇对称:仅恒群延时成立o 频率响应Type I :h(n 偶对称、N 为奇数 Type II :h(n 偶对称、N 为偶数 Type III :h(n 奇对称、N 为奇数 Type IV :h(n 奇对称、N 为偶数p FIR DF

7、零极点分布10北京邮电大学信息与通信工程学院相延时:(p =群延时:(g d d =线性相移FIR DF 约束条件:恒延时滤波恒延时滤波滤波器的延时分为相延时和群延时两种1(|(|(N j jn j j j r n H e h n e H e e H e =±=令j (=arg H(e 恒延时滤波器:p ( 或g ( 是不随变化的常量,这时滤波器具有线性相位特性。11北京邮电大学信息与通信工程学院(=(负号是因为系统必有时延由于FIR 滤波器的传递函数为:1010(cos sin N j jn n N n H e h n e h n n j n =w(w1010(sin (arg(a

8、rctan (cos N j n N n h n n H e h n n =故:线性相移FIR DF 约束条件:恒延时恒相延时和恒群延时同时成立要使p 、g 都不随变化,( 必须是一条过原点直线12北京邮电大学信息与通信工程学院于是:1010(sin sin tan(cos (cos N n N n h n n h n n =110(sin cos (cos sin N N n n h n n h n n =1(in(N n h n s n =h(0sin(h(N-1sin h(nsin -n h(N-0 h(1sin h(0sin(h(N-1 h (1 1 -( h N-1(N-2s s s

9、 in in -(-nsi (n N (N-1-n -2 N-1in 0+=+=-+-线性相移FIR DF 约束条件:恒延时13北京邮电大学信息与通信工程学院可以证明,当112( (0n N-1N h n h N n =且 12(p g N =线性相移FIR DF 约束条件:上式成立,此时恒相延时和恒群延时同时成立时,线性相位滤波器的必要条件是:不管N 为偶数,还是N 为奇数,系统冲激响应h(n 都关于中心点(N-1/2 偶对称。当N 为奇数时对称中心轴位于整数样点上; 当N 为偶数时对称中心轴位于非整数样点上。h(n 为偶对称,N 为偶数12N 7nh(nh(n 为偶对称,N 为奇数12N

10、6nh(n14北京邮电大学信息与通信工程学院02(=于是有:11(sin cos(tan cot 2sin(cos N n N n h n nh n n=110j (r (H (e (cos sin N N j j n n n H e h n e h n n j n =线性相移FIR DF 约束条件: 只要求恒群延时成立若只要求群延时g ( 为一常数,则相移特性为不过原点的直线。(21010(sin (arg(arctan 2(cos N j n Nn h n n H e h n n =故15北京邮电大学信息与通信工程学院11(cos cos (sin sin N N n n h n n h

11、n n =1(cos(0N n h n n =可以证明,当112( (0n N-1N h n h N n =且 12(g N =上式成立,此时故线性相移FIR DF 约束条件:恒群延时16北京邮电大学信息与通信工程学院FIR 滤波器单独满足恒定群延时的必要条件为:冲激响应h(n 对中心点(N-1/2 成奇对称。此时,无论N 为奇数或偶数,滤波器的相频特性均为线性,并包含有/2 的固定相移:因此,信号通过此类滤波器时不仅产生(N-1/2 个取样点的延迟,还将产生90o 的相移,通常这类滤波器又被称为90o 移相器,并具有很好的应用价值。N-1(22=1111222N N N h h N h =当

12、N 为奇数时,故102N h =12N 7h(n 为奇对称,N 为偶数nh(n12N 6h(n 为奇对称,N 为奇数nh(n线性相移FIR DF 约束条件:恒群延时17北京邮电大学信息与通信工程学院00,(1 2(1N h n h N n =相时延和群时延同时成立 奇对称:( 对所有的频率成分都有一个90°相移。因此,有四种类型的FIR DF :线性相移FIR DF 约束条件线性相位约束条件对于任意给定的值N ,当FIR 滤波器的h(n 相对其中心点(N-1/2 是对称时,不管是偶对称还是奇对称,此时滤波器的相移特性是线性的,且群延时都是= (N-1/2 。偶对称:( 为过原点的,斜

13、率为-的一条直线0,(221 2(1 N h n h N n =仅群时延同时成立I N II N III N IV N 类型 : h(n偶对称,为奇数类型: h(n偶对称,为偶数类型: h(n奇对称,为奇数类型: h(n奇对称,为偶数18北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF 频率响应:Type Ih(n 偶对称,N 为奇数(恒相时延、恒群时延此时,由于h(n 序列的长度为奇数,因此滤波器的频率响应函数可进行以下拆分(前后对称部分、中心点:1111121200121(2N N N N j wjwjnwj N n nw jnw n n N H e h n eh n e h n e h

14、 e =+=+h(n 为偶对称,N 为奇数12N 6nh(n对上式的第二和式作变量替换(n=N-1-m 后得到:1111122(1201(12N N N j wjwjnwj N w jnw n n N H e h n eh N n e e h e=+由对称条件1(h n h N n =则H(e j 表示为:19北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF 频率响应:Type I1112201112211122(111221(21(21(12c s 2o 2N N jj n N N jn N N jn j N jn N N j j j j w jn n n N H e h n h eN e

15、h h n N eh h e e e e e n e e N n =+=+=+令1'2N n n =则上式为1122112(2'1011(2('cos '22(cos (N N j j N N j j rn n N N H e eh h n n ea n n e H =+=20北京邮电大学信息与通信工程学院由此可以看出其线性相位特性。由于cos(n 对于=0、2都是偶对称,所以幅度响应H r ( 对=0、2也是偶对称。线性相移FIR DF 频率响应:Type I其中1(21(2(2N a n h n 0N a n h n n 0=振幅响应:12r H (cos

16、N n a n n =相频响应:N-1(-2=0246800.20.40.60.81h(n24680.20.40.60.81a(n12123frequency Unit:pi M a g n t u d eMagnitude Response12-30-20-100frequency Unit:piP h a s ePhase ResponseN=9Hr (w21北京邮电大学信息与通信工程学院h(n 偶对称,N 为偶数(恒相时延、恒群时延由于h(n 序列的长度为偶数,因此滤波器的频率响应函数可拆分成如下两部分(前后对称部分,中心点处无值:线性相移FIR DF 频率响应:Type IIh(n 为

17、偶对称,N 为偶数12N 7nh(n对上式的第二和式作变量替换(n=N-1-m 后得到:由对称条件1(h n h N n =则H(e j 表示为:11122(N n N N N j jn jn jn n n H e h n eh n eh n e=+1122101(N N j jn j N jn n n H e h n e h N n e e =+22北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF 频率响应:Type II令'2Nn n=,则上式为:1211212122(cos(jn j N w j j n n n N NN jH e h n en e e N n h e =+=1

18、1212212122212(cos(cos(NN jw jw n NN jw j n rNH e eh n n w eb n n w e H =其中22212(,.,/Nb n h n n N =(注意n 从1 开始,即b(0=0,或没有定义23北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF 频率响应:Type II与所设计的b(n 或h(n 无关,恒为0。这种类型(即h(n 偶对称,N 为偶数不能用于高通或带阻滤波器。(2由于cos(n-1/2 对于=是奇对称,所以,H r (w 对=也是奇对称;以=0、2为偶对称。振幅响应:N 2r n 11H (b(n cos (n-2=相频响应:N

19、-1(-2=02460.20.40.60.81h(n246800.20.40.60.81b(n1200.511.52frequency Unit:pi M a g n t u d eMagnitude Response12-30-20-100frequency Unit:piP h a s ePhase ResponseN=8n 从1开始Hr (w注意:(1在= 处,有:21102(cos N r n H b n n =24北京邮电大学信息与通信工程学院111111222(1(100111111222201(22(1(11(2sin(2(sin(2212(sin 2N N N j jn j N

20、 jn jn j N jn n n n N N N N jj n n N j H e h n e h N n e e h n e e e N N eh n j n e h n n n j N eh n =+=1120N n = h(n 奇对称,N 为奇数(恒群时延h(n 长度为奇数,拆分成前后两部分:线性相移FIR DF 频率响应:Type III对上式的第二和式作变量替换,并利用对称条件h(n=-h(N-1-n,得:11112112(N N N j jn jn jn N n n n H e h n e h n e h n e =+=+12N 6h(n 为奇对称,N 为奇数nh(n25北京邮电

21、大学信息与通信工程学院Hr (w线性相移FIR DF 频率响应:Type III1'2N n n =,则上式为:111222(sin (N N j j j r n H e ec n n eH =其中1212212(,.,(/N c n h n n N =令振幅响应:121(sinN r n H c n n =(相频响应:2N-1(-2=02468-0.4-0.200.20.40.6h(n24680.20.40.60.81c(n120.511.5frequency Unit:pi M a g n i t u d eMagnitude Response12-30-20-10010frequ

22、ency Unit:piP h a s ePhase Response 0.5pin 从1开始26北京邮电大学信息与通信工程学院与c(n 或h(n 的值无关,因此,这种类型的滤波器不适用于低通、带阻或高通滤波器设计,而且,这说明jH r (w 是纯虚数,对于逼近理想数字希尔伯特变换和微分器,它是很有用的。理想的希尔伯特变换是一个全通滤波器,它对输入信号产生90 度的相移,它频繁用于通信系统中的调制。微分器广泛用于模拟和数字系统中对信号求导。(2由于sin(n 对于=0、2 都是奇对称,所以,H r (w 以=0、2为奇对称。注意:(1 在= 0 和处,有:121(sin N j r n H e

23、 c n n =线性相移FIR DF 频率响应:Type III27北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF 频率响应:Type IVh(n 奇对称,N 为偶数(恒群时延1122212(sin(n NN j w j j r H e ed n ne H =012N 7h(n 为奇对称,N 为偶数nh(n其中212322(,.,N N d n h n n =211(d(sin -2N r n H n n =122N (= 28北京邮电大学信息与通信工程学院线性相移FIR DF 频率响应:Type IV2468-0.4-0.200.20.40.6h(n024680.20.40.60.81d

24、(n120.511.5frequency Unit:pi M a g n i t u d eMagnitude Response12-30-20-10010frequency Unit:piP h a s ePhase Response 0.5piHr (w与d(n 或h(n 的取值无关,因此传输函数H(z 在z = 1 处为零点。显然,这种类型不能用于实现低通滤波器。又有,所以这类滤波器适用于设计希尔伯特变换和微分器。注意:(1 在=0 处,有:2112(sin(Nj r n H e d n n =(2由于sin(n-1/2 在=处偶对称,在0、2是奇对称,所以,H r (w 以=偶对称,0

25、、2为奇对称。29北京邮电大学信息与通信工程学院一般形式:(j j r H e eH =偶对称:12(N =奇对称:122(N =(两个恒时延条件(一个恒时延条件( H r ( 为的实函数线性相移FIR DF 频率响应:小结30北京邮电大学信息与通信工程学院一般的FIR DF 的零、极点:11111(N N nN N nN n n f z H z h n zzh n zz =n 在z=0处,有一个(N-1阶的极点,故滤波器稳定;o 其零点要求f(z=0,根据代数理论,它为N-1阶多项式,应有N-1 个根,所以有N-1 个零点。如果h(n 为实数值,其根肯定是共轭对称的。线性相移FIR DF 零

26、极点分布31北京邮电大学信息与通信工程学院1(h n h N n =±1,.,0=N n 1101(N N n nn n H z h n z h N n z =±令:m=N-1-n (11(101(101(=±=±=±=z H zzm h zzm h z H N N m mN N m m N 于是:(11(±=z H z z H N 线性相移FIR DF 零极点分布线性相移FIR DF 的零极点:9如果z i 是H(z 的零点,即H(z i = 0则H(z -1 =0,即z i -1亦为H(z 的零点。32北京邮电大学信息与通信工程学

27、院上面提到z i 肯定是共轭的,故z i * 亦必为其零点 于是零点有:11,*,*i i i i z zz z 1-1Z a1Z a21/b b5.2.3 线性相移FIR DF 零极点分布总结:(1 一般情况,i j i ie r z =,有四个零点:ij i i e r z =ij i i e r z =*i j i i e r z =11ij i i er z 11*(=(2 r=1,单位圆上的零点:ii j i j ie z e z - =(共轭对(3 位于实轴上的实数:b, 1/b (实轴上的倒数对。(4 z i =±1:单零点(11*i i i iz z z z =33北

28、京邮电大学信息与通信工程学院思路:理想数字滤波器设计的FIR 数字滤波器(j jn d dn H e h n e=1(N j jn n H e h n e =窗函数截短(d h n h n 要求:线性相位尽可能降低逼近误差FIR DF 窗口法(傅里叶级数法h d (n 无限长,且非因果h(n 有限长,且因果34北京邮电大学信息与通信工程学院设所要求的DF 的频率响应是H d (e j ,需要注意:它可能是低通、高通、带通和带阻FIR DF ,没有特指某种类型的数字滤波器。不管是何种FIR DF ,它的频率响应是频域中的周期函数,周期为2,所以它可以展开为傅氏级数形式:(j jn d d n H

29、 e h n e =12(j jn d d h n H e e d =窗口法:基本原理式中h d (n 是傅里叶系数,也是单位取样响应序列。由傅里叶级数理论可得:35北京邮电大学信息与通信工程学院因此,所要求的DF 的系统函数便可求得:显然,H d (z 是非因果的,且h d (n 的持续时间为-+,物理上不可实现。我们可以采用逼近H d (e j 的方法n 首先把h d (n 先截短为有限项,把h d (n 截为2M+1项,得:(nd d n H z h n z =窗口法:基本原理1(Mnd n MH z h n z=(nd dn H z h n z=36北京邮电大学信息与通信工程学院o 然

30、后把截短后的h d (n 右移,使之变成因果性的序列。令H(z 等于H 1(z 乘以z -M 得:p 令h(n= h d (n-M, n=0, 1, 2, ., 2M ,则210(MMM n M nd n n d Mh H z z H z h n M n z z +=20(Mnn H z h n z =20(Mj jn n H e h n e =频率响应z=e j 窗口法:基本原理显然H(z 是物理可实现的其冲激响应h(n 的持续时间也是有限的选择h d (n = ±h d (N-1-n,保证H(z 具有线性相位。37北京邮电大学信息与通信工程学院对h d (n 的截短必然产生误差,

31、即以|H(e j | 近似|H d (e j | 。定义逼近误差为均方误差:2212|(|j j d H e H e d =而H d (e j 可以展开为:1012(cos(sin(j jn d dn n n n n a H e h n ea nb n =+式中:020(; (d n d d n d d a h a h n h n b j h n h n =+=窗口法:性能分析|H(e j | 对|H d (e j | 的逼近38北京邮电大学信息与通信工程学院因为|H(e j | 是对h d (n 截短而产生的,假定:0112(cos(sin(MMj n n n n A H e A n B n

32、 =+即当|n|>M 时,A n = 0, B n =0。所以把上述两式代入逼近误差中,利用三角函数的正交性可得:(2222201112MMn n n n nn n n n M a A a A b B ab =+=+由于上式中每一项都是正的,所以,只有当0012,., n n n n A a A a B b n M =时2min=最小。窗口法:性能分析39北京邮电大学信息与通信工程学院说明:当用|H(e j |H d (e j | 时,要使2 =min ,|H(e jw | 的截短后的单位取样响应h(n 的系数必须等于所要求的幅频响应|H d (e jw |展成傅里叶级数的系数h d (

33、n。有限项傅氏级数是在最小均方意义上对原信号的最佳逼近其逼近误差为:22|(d n M h n >=截短的长度M 越大,逼近误差2愈小(因为h d (n 值愈小。窗口法:性能分析40北京邮电大学信息与通信工程学院将h d (n 截短:0(,|(,dh n n Mh n else=相当于将h d (n 与一窗函数w R (n 相乘,即(d R h n h n w n =窗口法:Gibbs 效应其中10,|(,R n Mw n else=在一定意义上来看,窗函数决定了我们能够“看到”多少个原来的冲激响应,“窗”这个用词的含义也就在此。41北京邮电大学信息与通信工程学院窗函数的频谱窗口法:Gi

34、bbs 效应jM -jM -j Mj jn jn R R -j n n -M2M+12M+1-j j-j222-jj -j 222e -e e W (e w (ne e 1-e (2M 1N e e -esin sin 22sin sinee -e 22=+=此矩形窗谱为一钟形偶函数,在=+2/N 之间为其主瓣,主瓣宽度= 4/N ,在主瓣两侧有无数幅度逐渐减小的旁瓣, 见图所示。22sin(/(sin(/j R N W e =2/N-2/N主瓣第1个旁瓣第2个旁瓣42北京邮电大学信息与通信工程学院1212(j j j d R j j dR H e H e W e H e W e d = 截短

35、,根据时域相乘映射为频域卷积,得:窗口法:Gibbs 效应为便于分析,我们假定|H d (e jw | 是理想低通滤波器LPF 。式中积分等于由c 到c 区间内W N e j(w- 下的面积,随着变化,窗函数的主瓣和不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区间,使得此面积发生变化,也即|H(e jw | 的大小产生波动。-w cw c (j R W e 43北京邮电大学信息与通信工程学院2N2N W R (-c 0cH d (0.50.50.08950.08950.04680.0468卷积窗口法:Gibbs 效应-w cw c -H d (44北京邮电大学信息与通信工程学院现在分析几个特殊频率点

36、的滤波器性能n = 0 时:由于一般情况下都满足c >> 2/ N ,因此,H(0 的值近似等于窗谱函数W R (e jw 与轴围出的整个面积。窗口法:Gibbs 效应2N2NW R (-w c0w c-H d (ccj01R 1H (e W (d 2=o =c 时:此时窗谱主瓣一半在积分区间内一半在区间外,因此,窗谱曲线围出的面积,近似为=0 时所围面积的一半,即。011122(=cc cj j Rc H e H e wd 111(H (02c H -w cw c H d (w =w cW R (w-p =c -2/N 时,正肩峰此时窗谱主瓣全部处于积分区间内,而其中一个最大负瓣

37、刚好移出积分区间,这时得到最大值,形成正肩峰。之后,随着值的不断增大,H(e jw 的值迅速减小,此时进入滤波器过渡带。112121089502(.(cc c R c H wd H MaxN N =H d (W R (w-H d (W R (w-46北京邮电大学信息与通信工程学院n 理想滤波器的不连续点演化为过渡带o 通带与阻带内出现起伏过渡带:正负肩峰之间的频带。其宽度等于窗口频谱的主瓣宽度。对于矩形窗W R (e jw , 此宽度为4/N 。肩峰及波动:这是由窗函数的旁瓣引起的。旁瓣越多,波动越快、越多。相对值越大,波动越厉害,肩峰越强。肩峰和波动与所选窗函数的形状有关,要改善阻带的衰减特

38、性只能通过改变窗函数的形状。加窗处理对理想矩形频率响应的影响窗口法:Gibbs 效应47北京邮电大学信息与通信工程学院p Gibbs 现象在对h d (n 截短时,由于窗函数的频谱具有旁瓣,这些旁瓣在与H d (e jw 卷积时产生了通带内与阻带内的波动,称为吉布斯现象。长度N 的改变只能改变坐标的比例及窗函数W R (e jw 的绝对大小,但不能改变肩峰和波动的相对大小(因为不能改变窗函数主瓣和旁瓣的相对比例,波动是由旁瓣引起的,即增加N ,只能使通、阻带内振荡加快,过渡带减小,但相对振荡幅度却不减小。结论:过渡带宽度与窗的宽度N 有关,随之增减而变化。阻带最小衰减(与旁瓣的相对幅度有关只由

39、窗函数决定,与N 无关。窗口法:Gibbs 效应48北京邮电大学信息与通信工程学院Gibbs 现象;窗口法:Gibbs 效应49北京邮电大学信息与通信工程学院设计FIR DF 时,窗函数不仅可以影响过渡带宽度,还能影响肩峰和波动的大小(阻带的衰减,因此,选择窗函数应使其频谱:n 主瓣宽度尽量小,以使过渡带尽量陡。o 旁瓣相对于主瓣越小越好,这样可使肩峰和波动减小,即能量尽可能集中于主瓣内。对于窗函数,这两个要求是相互矛盾的,要根据需要进行折衷的选择,窗口法:常用窗函数w20lg|W(w/W(0|B3dBAD (dB/Oct为了定量地比较各种窗函数的性能,给出三个频域指标:n 3db 带宽B ,

40、单位为(最大可能的频率分辨力o 最大旁瓣峰值A(dB,A 越小,由旁瓣引起的谱失真越小p 旁瓣谱峰渐进衰减速度D (dB/oct 一个好的窗口,应该有最小的B 、A 及最大的D 。2N=50北京邮电大学信息与通信工程学院以下介绍的窗函数均为偶对称函数,都具有线性相位特性。设窗的宽度为N ,窗函数的对称中心点在(N-1/2处。因此,均为因果函数。矩形窗最简单的窗函数,从阻带衰减的角度看,其性能最差。它的频率响应函数为:窗口法:基本窗函数_矩形窗1010,(, n N w n else=1222sin (sin N j N W e=22sin (sin r N W =振幅响应51北京邮电大学信息与

41、通信工程学院为了对过渡带和阻带衰减进行精确分析,对窗振幅响应进行连续积分(或累积振幅响应,即矩形窗函数w(n 以及它的振幅响应、累积振幅响应如下图所示。窗口法:基本窗函数_矩形窗1121222sin (sin ccj r r N H e W d d , N +=>> 0224501Rectangular Window : N=45nw (n -1145Amplitude Responsefrequency in pi unitsW r-10140130Amplitude Response in dBfrequency in pi unitsD e c b e s-115021Acc

42、umulated Amplitude Responsefrequency in pi unitsD e c b e sWidth=(1.8*pi/N性能指标3dB 带宽B=0.89 最大旁瓣峰值A= -13dB旁瓣谱峰渐进衰减速度D=-6dB/oct 在Matlab 中,实现矩形窗的函数为w = boxcar(n。52北京邮电大学信息与通信工程学院振幅响应在= 1处具有第一个零点:因而主瓣的宽度为2,所以过渡带宽也近似为2。大约在= 3/N 处,出现第一个旁瓣(即主旁瓣,其幅度为:将它与主瓣振幅N 比较,则最大旁瓣峰值A(dB 为A= -13db 。累积振幅响应第一个旁瓣为21dB ,这个21

43、dB 的阻带衰减与窗长度N 无关。 根据最小阻带衰减,可以精确地计算出过渡带宽为: 它大约是近似带宽的一半。1122NN=或33221332sin( ,sin(r N W M N N=时18.s p N=窗口法:基本窗函数_矩形窗53北京邮电大学信息与通信工程学院三角窗(或巴特利特Bartlett 窗由于矩形窗从0 到1 (或1 到0 有一个突变的过渡带,这造成了吉布斯现象。Bartlett 提出了一种逐渐过渡的三角窗形式,它是两个矩形窗的卷积。B=1.28, A=-27dB, D= -12dB/oct ,近似过渡带宽8/N ,精确过渡带宽6.1/N ,最小阻带衰减25dB 。与矩形窗来比较,

44、阻带衰减性能有所改善,但代价是过渡带的加宽。窗口法:基本窗函数_三角窗201212,.,(,.,nN n N w n N w N nn N =212242(sin (sin N j N W e N =54北京邮电大学信息与通信工程学院22451Triangular Window : N=45nw (n -11022Amplitude Responsefrequency in pi unitsW r-1016027Amplitude Response in dBfrequency in pi unitsD e c i b e l s-116025Accumulated Amplitude Res

45、ponsefrequency in pi unitsD e c i b e l sWidth=(6.1*pi/N在Matlab 中,函数bartlett(n和triang(n用来计算相似的三角窗,但它们有两个重要的区别:bartlett 函数返回的序列两端总是0,因此,对于奇数n ,语句bartlett(n+2 的中间部分等于triang(n;对于偶数n ,bartlett 仍然是两个矩形序列的卷积,但n 为偶数时的三角窗没有标准定义。5.3.3 窗口法:基本窗函数_三角窗55北京邮电大学信息与通信工程学院余弦窗B=1.2, A=-23dB, D=-12dB/oct 。近似过渡带宽8/N ,精确过渡带宽6.5/N ,最小阻带衰减34dB 。窗口法:基本窗函数_余弦窗01211(sin ,.,n w n n N N =10122(cos ,.,.,n N N w n n N =21211(Nj W eu u N N =+222sin (sin jN u e=或其中频率响应56北京邮电大学信息与通信工程学院窗口法:基本窗函数_余弦窗224501Triangular Window : N=45nw (n -11027.9994Amplitude Responsefrequency in pi unitsW r-10160230Amplitude Response in dBf