第五章§6 用配方法化二次型成标准形ppt课件

1、一、拉格朗日配方法的具体步骤一、拉格朗日配方法的具体步骤二、小结二、小结问题有没有其它方法，也可以把二次型化问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法效的方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法1.若二次型含有若二次型含有 的平方项，则先把含有的平方项，则先把含有 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形性变换，就得到标准形 . ixix拉格朗日配方法的步骤拉格朗

2、日配方法的步骤.,62252 323121232221并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 例例1 1解解32312123222162252xxxxxxxxxf 31212122xxxxx 322322652xxxx 的的项项配配方方含含有有x1含有平方项含有平方项 2321xxx 322322652xxxx 322322232144xxxxxxx .22322321xxxxx 3332232112xyxxyxxxy令令 3332232112yxyyxyyyx3223222xxxx 321321100210111yyyxxx323121232

3、22162252xxxxxxxxxf .2221yy 所用变换矩阵为所用变换矩阵为 .01,100210111 CC,33212211 yxyyxyyx 令令解解,622323121xxxxxxf 代代入入.842232312221yyyyyyf 得得.,622 323121并并求求所所用用的的变变换换矩矩阵阵成成标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxf 例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以 yyyxxx321321100011011即即再配方，得再配方，得 .622223232231yyyyyf 333223112yzyyzyyz 令令,233322311

4、 zyzzyzzy .622232221zzzf 得得 zzzyyy321321100210101即即所用变换矩阵为所用变换矩阵为 100210101100011011C.100111311 .02 C将一个二次型化为标准形，可以用正交变换将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法，这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用个可逆的线性变换，那么各种方法都可

5、以使用正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所比较简单需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项数必定相同，项数等于所给二次型的秩数必定相同，项数等于所给二次型的秩 .,323121321变变换换并并写写出出所所作作的的可可逆逆线线性性为为标标准准形形化化二二次次型型xxxxxxxxxf 故故令令方方项项由由于于所所给给二二次次型型不不含含平平, 解解 ,33212211 yxyyxyyx,)( 2322312yyyyf 有有 , ,3322311 332221