第二章测量误差分析与处理ppt课件

1、第二章第二章 丈量误差分析与处置丈量误差分析与处置u当对同一量进展多次等精度反复丈量，得到一当对同一量进展多次等精度反复丈量，得到一系列不同的丈量值，称为丈量列。系列不同的丈量值，称为丈量列。u利用统计学的方法，从实际上来估计随机误差利用统计学的方法，从实际上来估计随机误差对丈量结果的影响，也就是首先从丈量列中求对丈量结果的影响，也就是首先从丈量列中求得一个最优概值，然后对最优概值的丈量误差得一个最优概值，然后对最优概值的丈量误差作出估计，得出丈量值，这就是数据处置。作出估计，得出丈量值，这就是数据处置。 第一节第一节 随机误差的分布规律随机误差的分布规律 一、随机误差的正态分布性质一、随机误

2、差的正态分布性质测定值的随机性阐明了丈量误差的随机性测定值的随机性阐明了丈量误差的随机性质。质。随机误差就其个体来说变化是无规律的，随机误差就其个体来说变化是无规律的，但在总体上却遵照一定的统计规律。但在总体上却遵照一定的统计规律。u丈量列中的随机误差：丈量列中的随机误差：u i = xiX0u式中式中,i 丈量列的随机误差，丈量列的随机误差，i = 1，2，3，n；u xi 丈量列的丈量值；丈量列的丈量值；u X0 被丈量的真值。被丈量的真值。 u随机误差分布的性质随机误差分布的性质u有界性：在一定的丈量条件下，丈量的有界性：在一定的丈量条件下，丈量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围随机误

3、差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。接近于零。u单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小，绝对值绝对值大的误差出现的概率小，绝对值为零的误差出现的概率比任何其它数值为零的误差出现的概率比任何其它数值的误差出现的概率都大。的误差出现的概率都大。u对称性：绝对值相等而符号相反的随机对称性：绝对值相等而符号相反的随机误差出现的概率一样，其分布呈对称性。误差出现的概率一样，其分布呈对称性。u抵偿性：在等精度丈量条件下，当丈量抵偿性：在等精度丈量条件下，当丈量次数不断添加而趋于

4、无穷时，全部随机次数不断添加而趋于无穷时，全部随机误差的算术平均值趋于零。误差的算术平均值趋于零。u正态分布的分布密度函数为正态分布的分布密度函数为u u式中，式中， 规范误差均方根误规范误差均方根误差；差；u e e 自然对数的底。自然对数的底。u如用测定值如用测定值x x本身来表示，那么本身来表示，那么22212fe202(xX)21fxe2n0ini 11Xlimxnn2ini 11limn二、正态分布密度函数与概率积分二、正态分布密度函数与概率积分u对于一定的被丈量，在静态情况下，对于一定的被丈量，在静态情况下，X0X0是一定的，是一定的，的大小表征着诸测定值的的大小表征着诸测定值的弥

5、散程度。弥散程度。u值越小，正态分布密度曲线越锋利，值越小，正态分布密度曲线越锋利，幅值越大；幅值越大；值越大，正态分布密度曲值越大，正态分布密度曲线越平坦，幅值越小。线越平坦，幅值越小。u可用参数可用参数来表征丈量的精细度，来表征丈量的精细度，越越小，阐明丈量的精细度越高。小，阐明丈量的精细度越高。u并不是一个详细的误差，它的数值大小只并不是一个详细的误差，它的数值大小只阐明了在一定条件下进展一列等精度丈量时，阐明了在一定条件下进展一列等精度丈量时，随机误差出现的概率密度分布情况。随机误差出现的概率密度分布情况。u在一定条件下进展等精度丈量时，任何单次在一定条件下进展等精度丈量时，任何单次测

6、定值的误差测定值的误差ii能够都不等于能够都不等于，但我们以，但我们以为这列测定值具有同样的均方根误差为这列测定值具有同样的均方根误差；而；而不同条件下进展的两列等精度丈量，普通来不同条件下进展的两列等精度丈量，普通来说具有不同的说具有不同的值。值。u随机误差出现的性质决议了人们不能够随机误差出现的性质决议了人们不能够正确地获得单个测定值的真误差正确地获得单个测定值的真误差ii的数的数值，而只能在一定的概率意义之下估计值，而只能在一定的概率意义之下估计丈量随机误差数值的范围，或者求得误丈量随机误差数值的范围，或者求得误差出现于某个区间得概率。差出现于某个区间得概率。u将正态分布密度函数积分将正

7、态分布密度函数积分u概率积分概率积分 202(x X )x21F xedx222b2a1P(ab)ed222a201P( aa)P(a)2ed2 2zz202P(a)P(z )edz(z)2假设令假设令a=z，那么，那么第二节第二节 直接丈量误差分析与处置直接丈量误差分析与处置u子样平均值：代表由子样平均值：代表由n个测定值个测定值x1, x2, , xn组成的子样的分布中心组成的子样的分布中心u子样方差：描画子样在其平均值附近分布子样方差：描画子样在其平均值附近分布程度程度n22ii 11s(xx)nnii 11xxn一、算术平均值原理一、算术平均值原理 u测定值子样的算术平均值是被丈量真值

8、的最测定值子样的算术平均值是被丈量真值的最正确估计值。正确估计值。u算术平均值的意义算术平均值的意义u 设设x1x1、x2x2、，xnxn为为n n次丈量所得的值，次丈量所得的值，那么算术平均值那么算术平均值 为为 xni12ni 1xxxxxnnu算术平均值的性质算术平均值的性质u 用算术平均值替代被丈量的真值，那么有用算术平均值替代被丈量的真值，那么有u 式中式中 vi xi的剩余误差；的剩余误差；u xi 第第i个丈量值，个丈量值，i=1，2，n。 iivxx 1剩余误差的代数和等于零，即 2剩余误差的平方和为最小，即01niiv最小niiv12u测定值子样平均值的均方根误差是测定值测定

9、值子样平均值的均方根误差是测定值母体均方根误差的母体均方根误差的 倍。倍。u在等精度丈量条件下对某一被丈量进展多在等精度丈量条件下对某一被丈量进展多次丈量，用测定值子样平均值估计被丈量次丈量，用测定值子样平均值估计被丈量真值比用单次丈量测定值估计具有更高的真值比用单次丈量测定值估计具有更高的精细度。精细度。n/1xn二、贝塞尔公式二、贝塞尔公式 由于真值X0为未知，所以必需用残差vi来表示，即 此式称贝塞尔公式。2222201211nniiniixXnnnnn22iii1i1vxxn1n1三、丈量结果的置信度三、丈量结果的置信度 假设用假设用 对对进展估计的误差为进展估计的误差为 ，那，那么么

10、 。对于某一指定的区间。对于某一指定的区间 , , ， 落在该区间内的概率落在该区间内的概率为为 。 同样地，可以求得测定值子样平均值同样地，可以求得测定值子样平均值 落落在区间在区间, , 的概率为的概率为xxxx xP() P(x) xxu 表示表示“测定值子样平均值测定值子样平均值这一随机变量出现于一个固定区间内这一随机变量出现于一个固定区间内 这一事件的概率；这一事件的概率；u 表示表示“在宽度一定作随机变动在宽度一定作随机变动的随机区间的随机区间 内包含被丈量真值内包含被丈量真值这这一事件的概率。一事件的概率。P(x) P(xx) , x,xu定义区间定义区间 为丈量结果的置信区为丈

11、量结果的置信区间，也称为置信限间，也称为置信限u为置信区间半长，也称为误差限为置信区间半长，也称为误差限u概率概率 为丈量经过在置信为丈量经过在置信区间区间 内的置信概率。内的置信概率。u危险率：危险率：x,xP(xx) x,xP(xx)1 u置信区间与置信概率共同阐明了丈量结置信区间与置信概率共同阐明了丈量结果的置信度，即丈量结果的可信程度。果的置信度，即丈量结果的可信程度。u对于同一丈量结果，置信区间不同，其对于同一丈量结果，置信区间不同，其置信概率是不同的。置信概率是不同的。u置信区间越宽，置信概率越大；反之亦置信区间越宽，置信概率越大；反之亦然。然。u一列等精度丈量的结果可以表达为在一

12、定一列等精度丈量的结果可以表达为在一定的置信概率之下，以测定值子样平均值为的置信概率之下，以测定值子样平均值为中心，以置信区间半长为误差限的量中心，以置信区间半长为误差限的量u 丈量结果子样平均值丈量结果子样平均值置信区间半长置信区间半长置信概率置信概率P？例题例题1： 在等精度丈量条件下对某透平机械的在等精度丈量条件下对某透平机械的转速进展了转速进展了20次丈量，获得如下的一列测次丈量，获得如下的一列测定值单位：定值单位：r/min 4753.1 4757.5 4752.7 4752.8 4752.1 4749.2 4750.6 4751.0 4753.9 4751.2 4750.3 475

13、3.3 4752.1 4751.2 4752.3 4748.4 4752.5 4754.7 4650.0 4751.0 试求该透平机转速设丈量结果的置信概试求该透平机转速设丈量结果的置信概率率P95。0 .4752x0 . 2447. 0nx9 . 0876. 096. 1%95zP4752.00.9(r/min)(P95%)速度u在实践丈量任务中，并非任何场所下都能在实践丈量任务中，并非任何场所下都能对被丈量进展多次丈量，而多为单次丈量。对被丈量进展多次丈量，而多为单次丈量。假设知道了在某种丈量条件下丈量的精细假设知道了在某种丈量条件下丈量的精细度参数，而且在同样的丈量条件下获得单度参数，而

14、且在同样的丈量条件下获得单次丈量的测定值，那么单次丈量情况下丈次丈量的测定值，那么单次丈量情况下丈量结果的表达式为：量结果的表达式为：u丈量结果单次测定值丈量结果单次测定值置信区间半长置信区间半长u置信概率置信概率P P？例题例题2 2： 对例对例1 1所述的透平机转速丈量，设丈所述的透平机转速丈量，设丈量条件不变，单次丈量的测定值为量条件不变，单次丈量的测定值为4753.1 4753.1 r/minr/min，求该透平机转速丈量结果的置，求该透平机转速丈量结果的置信概率信概率P P9595。9 . 396. 1950 . 21zzP可知从例4753.1 3.9 r/min (P95%)速度（

15、） 在同样的置信概率下，用单次测定值在同样的置信概率下，用单次测定值表示丈量结果比用多次丈量所获得的测定表示丈量结果比用多次丈量所获得的测定值子样平均值表示的误差大。值子样平均值表示的误差大。四、丈量结果的误差评价四、丈量结果的误差评价u规范误差规范误差u假设丈量结果用单次测定值表示，误差假设丈量结果用单次测定值表示，误差限采用规范误差，那么限采用规范误差，那么u 丈量结果单次测定值丈量结果单次测定值x规范误规范误差差 u P=68.3%u假设丈量结果用测定值子样平均值表示，假设丈量结果用测定值子样平均值表示，误差限采用规范误差，那么误差限采用规范误差，那么u 丈量结果子样平均值丈量结果子样平

16、均值x规范误规范误差差u P=68.3%u极限误差极限误差u丈量列规范误差的三倍，定义为丈量列丈量列规范误差的三倍，定义为丈量列的极限误差的极限误差u子样平均值的极限误差与丈量列极限误子样平均值的极限误差与丈量列极限误差的关系是差的关系是3 xn五、小子样误差分析与五、小子样误差分析与t分布分布 当丈量次数很少时，子样平均值的规范误当丈量次数很少时，子样平均值的规范误差很不准确，并且子样容量愈小，这种情况就差很不准确，并且子样容量愈小，这种情况就愈严重。愈严重。 为了在为了在未知的情况下，根据子样平均值未知的情况下，根据子样平均值估计被丈量真值，就须思索一个统计量。它的估计被丈量真值，就须思索

17、一个统计量。它的分布只取决于子样容量分布只取决于子样容量n n，而与，而与无关。这时无关。这时需引入统计量需引入统计量t t。 u定义定义t为为ut不服从正态分布，而服从不服从正态分布，而服从t分布，其概率密度分布，其概率密度函数为函数为u式中，式中， 是特殊函数，是特殊函数，v是正整数，称为是正整数，称为t分分布的自在度。布的自在度。 xxxtn ( v1) / 22v1()2f (t;)vtv() 12vu当进展当进展n n次独立丈量时，由于次独立丈量时，由于t t受平均值受平均值的约束，服从自在度为的约束，服从自在度为n n1 1的的t t分布，所分布，所以以 n n1 1。ut t分布

18、与母体均方根误差分布与母体均方根误差无关，只与子无关，只与子样容量样容量n n有关。有关。 u表中列有在各种自在度和置信概率下，满足式表中列有在各种自在度和置信概率下，满足式 u 的的tp值。它阐明自在度值。它阐明自在度为为v的的t分布在区间分布在区间tp，tp内的概率为内的概率为P。u假设一列等精度独立测定值假设一列等精度独立测定值x1，x2，xn服服从正态分布，真值和均方根误差均未知。根据从正态分布，真值和均方根误差均未知。根据这一列测定值可求得算术平均值及其均方根误这一列测定值可求得算术平均值及其均方根误差的估计值：差的估计值： ppttpdtvtfttP),()(nii11xxnn2i

19、xi 11(xx)n(n1)u由于由于 服从自在度服从自在度v = n1的的t分布，所分布，所以可用上式做以下的概率描画以可用上式做以下的概率描画u或或u丈量结果可表示为：丈量结果可表示为：u 丈量结果丈量结果xx/ )(pppxxP( tt )P( tt )PppxxP(xtxt)P pxxtP?（置信概率）例例3 3 用光学高温计丈量某金属铸液的温用光学高温计丈量某金属铸液的温度，得到如下度，得到如下5 5个丈量数据个丈量数据：975975，10051005，988988，993993，987987 设金属铸液温度稳定，测温随机误差属设金属铸液温度稳定，测温随机误差属于正态分布。试求铸液的

20、实践温度取于正态分布。试求铸液的实践温度取P P9595。解：解： 根据根据P P9595和和v v4 4，查表得，查表得tptp2.782.78，那么，那么丈量结果为丈量结果为989.8x52ixi 11(x989.8)4.75 4 pxxt989.8 13.2(P95%) u假设上例用正态分布求取给定置信概率假设上例用正态分布求取给定置信概率下得置信温度区间是下得置信温度区间是980.6,999.0，这要，这要比由比由t分布求得得区间小。分布求得得区间小。u这阐明，在丈量次数较少的情况下，用这阐明，在丈量次数较少的情况下，用正态分布计算误差限，往往会得到正态分布计算误差限，往往会得到“太太

21、好好的结果，夸张了丈量结果的精细度。的结果，夸张了丈量结果的精细度。因此，对小子样的误差分析，应采用因此，对小子样的误差分析，应采用t分分布处置。布处置。第三节第三节 间接丈量误差分析与处置间接丈量误差分析与处置u在间接丈量中，丈量误差是各个丈量值在间接丈量中，丈量误差是各个丈量值误差的函数。因此，研讨间接丈量的误误差的函数。因此，研讨间接丈量的误差也就是研讨函数误差。差也就是研讨函数误差。 u研讨函数误差有以下三个根本内容：研讨函数误差有以下三个根本内容：u知函数关系和各个丈量值的误差，求函知函数关系和各个丈量值的误差，求函数即间接丈量值的误差。数即间接丈量值的误差。u知函数关系和规定的函数

22、总误差，要求知函数关系和规定的函数总误差，要求分配各个丈量值的误差。分配各个丈量值的误差。u确定最正确的丈量条件，即使函数误差确定最正确的丈量条件，即使函数误差到达最小值时的丈量条件。到达最小值时的丈量条件。 一、误差传布原理一、误差传布原理u设间接丈量值设间接丈量值y是直接丈量值是直接丈量值x1，x2，xm的函数，其函数关系的普通的函数，其函数关系的普通方式可表示为方式可表示为uy = fx1，x2，xmu假定对假定对x1，x2，xm各进展了各进展了n次丈次丈量，那么每个量，那么每个xi都有本人的一列测定值都有本人的一列测定值xi1，xi2，xin，其相应的随机误差，其相应的随机误差为为 ，

23、 ， ， 。1 i2iinu假设将丈量假设将丈量x1，x2，xm时所获得的第一个时所获得的第一个测定值代入函数关系式，可求得间接丈量值的第测定值代入函数关系式，可求得间接丈量值的第一个测定值一个测定值y1，即，即uy1 = fx11，x21，xm1u由于测定值由于测定值x11，x21，xm1与真值之间存在与真值之间存在随机误差，所以随机误差，所以y1与真值之间也必定有误差，记与真值之间也必定有误差，记为为y1。由误差的定义，上式可写为。由误差的定义，上式可写为u Y+y1=fX1+11 , X2 +21 , Xm+m1 假设 较小，且诸Xi是彼此独立的量，将上式按泰勒公式展开，并取其误差的一阶

24、项作为一次近似，略去一切高阶误差项，那么上式可近似写成1 iy112m1121m112mfffYf X ,X ,Xxxx 同样地，将丈量x1，x2，xn时所获得的第二、第三，直至第n个测定值分别代入函数关系式，可得 y212m1222m212mfffYf X ,X ,Xxxxyn12m1n2nmn12mfffYf X ,X ,Xxxx 将上述各式相加并除以n，可求得间接丈量值的算术平均值 ，也就是Y的最优概值 ynyjj 112mnnn1j2jmjj 1j 1j 112m1yYnf XXXf1f1f1xnxnxn 式中， 正好是丈量xm时所得一列测定值的算术平均值 的随机误差，记为 ，所以 n

25、mjj 11nmx12mx1x2xm12mfffyf XXXxxxmx 另一方面，将直接丈量x1，x2，xm所获得的测定值的算术平均值 ， , 代入函数关系式，并将其在x1，x2，xm的邻域内用泰勒公式展开，可有 1x1x2xmx12m12mx1x2xm12mx1x2xm12mf x ,x ,xf X,X,Xffff XXXxxx 将上两式进展比较，可得 由此可得出结论：间接丈量值的最正确估计值可以由与其有关的各直接丈量值的算术平均值代入函数关系式求得。 12myf x ,x ,x 并且可以知道，直接丈量值x1，x2，xm第j次丈量获得的测定值的误差 ， ， 与其相应的间接丈量值Y的误差 之间

26、关系应为 j1j2mjyj1j2jmj12mfffxxx yj 假定 的分布服从正态分布只需当y与x1，x2，xn之间存在线性关系时，这种假设才成立，否那么只是近似成立，那么可求得y的规范误差 yjn2yyjj 11n 其中其中2nn2yj1j2jmjj 1j 112m222nnn2221j2jmjj 1j 1j 112mnnn1j2j1j 3jmjm 1 jj 1j 1j 11213mm 1fffxxxfffxxxffffff2xxxxxx 根据随机误差的性质，假设直接丈量值xi彼此独立，那么当丈量次数无限添加时，必有 ik 所以nijkjj 10 222nnnn2222yj1j2 jmjj

27、 1j 1j 1j 112mfffxxx 那么 而 正好是第i个直接丈量值xi的规范误差的平方 ，因此可得出间接丈量值的规范误差 与诸直接丈量值的规范误差之间如下的关系： 222nnn222y1j2jmjj 1j 1j 112m1f1f1fnxnxnx n2ijj 11n2i 式中， 称为误差传送系数， 称为自变量xi的部分误差，记为Di。 由此可得出结论：间接丈量值的规范误差是各独立直接丈量值的规范误差和函数对该直接丈量值偏导数乘积的平方和的平方根。 12m222222yxxx12mm222212mii 1fffxxxDDDDixfxiixf 以上两个结论是误差传布原理的根本内容，是处理间接

28、丈量误差分析与处置问题的根本根据。它们还可以推行到描画间接丈量值算术平均值的规范误差和各直接丈量值算术平均值的规范误差之间的关系 12m222222yxxx12mfffxxx 有时，丈量结果的误差用相对误差的方式描画更适宜。假设以间接丈量值的算术平均值作为商定值，那么间接丈量值y的实践相对误差 为 式中， 是直接丈量值xi的实践相对误差 y22222212n222y12m12mxfxfxfxxxyyy iiiix 最后，应指出以下两点： 1上述各公式是建立在对每一独立的直接丈量值xi进展多次等精度独立丈量的根底上的，否那么，上述公式严厉地说将不成立。 2对于间接丈量值与各直接丈量值之间呈非线性

29、函数关系的情况，上述公式只是近似的，只需当计算y的误差允许作线性近似时才干运用。 二、函数误差的分配二、函数误差的分配 在间接丈量中，当给定了函数y的误差 ，再反过来求各个自变量的部分部分误差的允许值，以保证到达对知函数的误差要求，这就是函数误差的分配。误差分配是再保证函数误差再要求的范围内，根据各个自变量的误差来选择相应的适当仪表。 y 1按等作用原那么分配误差 等作用原那么以为各个部分误差对函数误差的影响相等，即 由此可得 假设各个丈量值误差满足上式，那么所得的函数误差不会超越允许的给定值。y12mDDDmyxii1fmx 2按能够性调整 由于计算得到的各个部分误差都相等，这对于其中有的丈

30、量值，要保证其误差不超出允许范围较为容易实现，而对有的丈量值就难以满足要求，因此按等作用原那么分配误差能够会出现不合理的情况。 同时当各个部分误差一定时，相应丈量值的误差与其传送函数成反比。所以虽然各个部分误差相等，但相应的丈量值并不相等，有时能够相差很大。 由于存在以上情况，对等作用原那么分配的误差，必需根据详细情况进展调整，对难以实现的误差项适当扩展，对容易实现的误差项尽能够减少，而对其他项不予调整。 3验算调整后的总误差 误差调整后，应按误差分配公式计算总误差，假设超出给定的允许误差范围，应选择能够减少的误差项进展补偿。假设发现实践总误差较小，还可以适当扩展难以实现的误差项。 例例4 4

31、 知铜电阻阻值与温度的关系为知铜电阻阻值与温度的关系为Rt=R201+a20(t-20)，20时铜电阻阻值时铜电阻阻值R2060.018，a200.0040.000041，求铜电阻在，求铜电阻在30时的电阻值及其误差。时的电阻值及其误差。第五节第五节 粗大误差粗大误差u粗大误差是指不能用丈量客观条件解释粗大误差是指不能用丈量客观条件解释为合理的那些突出误差，它明显地歪曲为合理的那些突出误差，它明显地歪曲了丈量结果。了丈量结果。u含有粗大误差的测定值称为坏值，应予含有粗大误差的测定值称为坏值，应予以剔除。以剔除。u产生粗大误差的缘由：产生粗大误差的缘由：u丈量者的客观缘由丈量者的客观缘由u客观外

32、界条件的缘由客观外界条件的缘由一、拉伊特准那么u拉伊特准那么拉伊特准那么(3(3准那么准那么) )：假设丈量列：假设丈量列中某一测定值残差中某一测定值残差vivi的绝对值大于该丈的绝对值大于该丈量列规范误差的量列规范误差的3 3倍，那么可以为该丈量倍，那么可以为该丈量列中有粗大误差存在，且该测定值为坏列中有粗大误差存在，且该测定值为坏值。值。u坏值剔除后，应重新计算新丈量列的算坏值剔除后，应重新计算新丈量列的算术平均值及规范误差，并再次进展检验术平均值及规范误差，并再次进展检验看余下的数据中能否还含有坏值。看余下的数据中能否还含有坏值。u拉伊特准那么是断定粗大误差存在的一种拉伊特准那么是断定粗

33、大误差存在的一种最简单的方法。最简单的方法。u拉伊特准那么是在反复丈量次数拉伊特准那么是在反复丈量次数n n趋于无穷趋于无穷大的前提下建立的，当大的前提下建立的，当n n有限时，尤其是当有限时，尤其是当n n很小时如很小时如n10n10，此准那么就不可靠。，此准那么就不可靠。二、格拉布斯准那么二、格拉布斯准那么 对某一被丈量进展多次等精度独立丈量，对某一被丈量进展多次等精度独立丈量，获得一列测定值获得一列测定值x1，x2，xn。 为了检查测定值中能否含有粗大误差，为了检查测定值中能否含有粗大误差，将将xi由小到大按顺序陈列为由小到大按顺序陈列为)()2()1(nxxx nn2iii 1i 11

34、1xx ,xxnn 1格拉布斯按照数理统计实际导出了统计量格拉布斯按照数理统计实际导出了统计量的分布，取定危险率的分布，取定危险率a a，可求得临界值，可求得临界值g0(n,a)g0(n,a)，而而(n)(1)(n)(1)xxxxg,g(n)0(1)0 xxPgn,xxPgn, 这样，得到了断定粗大误差的格拉布斯准这样，得到了断定粗大误差的格拉布斯准那么：假设丈量列中最大测定值或最小测定值那么：假设丈量列中最大测定值或最小测定值的残差有满足的残差有满足 者，那么可以为含有残差者，那么可以为含有残差vivi的测定值是坏值，的测定值是坏值，因此该测定值按危险率因此该测定值按危险率a a应该剔除。应

35、该剔除。(1)0vg (n,a) (i1n) 或u用格拉布斯准那么断定丈量列中能否含有用格拉布斯准那么断定丈量列中能否含有粗大误差的坏值时，选择不同的危险率能粗大误差的坏值时，选择不同的危险率能够得到不同的结果。够得到不同的结果。u危险率的含义是按本准那么断定为异常数危险率的含义是按本准那么断定为异常数据，而实践上并不是，从而犯错误的概率。据，而实践上并不是，从而犯错误的概率。u危险率就是误剔除的概率。危险率就是误剔除的概率。例例5 5 测某一介质温度测某一介质温度15次，得到以下一次，得到以下一列测定值数据列测定值数据： 20.42，20.43，20.40，20.43，20.42， 20.4

36、3，20.39，20.30，20.40，20.43， 20.42，20.41，20.39，20.39，20.40 试判别其中有无含有粗大误差的坏值。试判别其中有无含有粗大误差的坏值。解：解：(1)按大小顺序将测定值重新陈列按大小顺序将测定值重新陈列20.30，20.39，20.39，20.39，20.40，20.40，20.40，20.41，20.42，20.42，20.42，20.43，20.43，20.43，20.43(2)计算子样平均值和丈量列规范误差计算子样平均值和丈量列规范误差15152iii 1i 111xx20.404,xx0.0331515 1(3)(3)选取选取a a5 5，

37、查表得，查表得g0(15,5g0(15,5) )2.412.41(4) (4) 计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布计算最大与最小测定值的残差，并用格拉布斯准那么断定斯准那么断定因因故故x(1)x(1)20.3020.30在在a a5 5下被断定为坏值而剔除。下被断定为坏值而剔除。026. 0,104. 0)15()1(vv080. 0%)5 ,15(0)1(gv(5)(5)剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下测剔除含有粗大误差的坏值后，重新计算余下测定值的算术平均值和规范误差，查表求新的临定值的算术平均值和规范误差，查表求新的临界值，再进展断定。界值，再进展断定。 故余下的测定值中已无粗

38、大误差的坏值。故余下的测定值中已无粗大误差的坏值。0(1)(14)0 x20.411,0.016g (14,5%)2.37v0.021,v0.019g (14,5%)0.038 系统误差与随机误差在性质上是不系统误差与随机误差在性质上是不同的，它的出现具有一定的规律性，不同的，它的出现具有一定的规律性，不能像随机误差那样依托统计的方法来处能像随机误差那样依托统计的方法来处置，只能采取详细问题详细分析的方法，置，只能采取详细问题详细分析的方法，经过仔细的校验和精心的实验才干发现经过仔细的校验和精心的实验才干发现与消除。与消除。第六节第六节 系统误差的分析与处置系统误差的分析与处置 设有一列测定值

39、x1，x2，xn，假设测定值xi中含有系统误差i，消除系统误差之后其值为xi，那么xi = xi +i，其算术平均值为 式中， 是消除系统误差之后的一列测定值的算术平均值。 nnnnniiiiiii 1i 1i 1i 1i 111111xx(x)xxnnnnn x一、系统误差的性质一、系统误差的性质 测定值xi的残差 式中，vi是消除系统误差之后的测定值的残差。nniiiiiiiii 1i 1niiii 111vxx(x)xxxnn1vn由此，可以得到系统误差的两点性质：由此，可以得到系统误差的两点性质：1 1对恒值系统误差，由于对恒值系统误差，由于 ，所以，所以vi = vi = vivi。

40、由残差计算出的丈量列的均方根误差。由残差计算出的丈量列的均方根误差 式中，式中， 是消除系统误差后丈量列的均方根误差。是消除系统误差后丈量列的均方根误差。nn22iii 1i 111vv n1n1niiin11 因此，得到系统误差的性质之一：恒值系统误差的存在，只影响丈量结果的准确度，不影响丈量的精细度参数。假设测定值子样容量足够大，含有恒值系统误差的测定值仍服从正态分布。 (2)对变值系统误差，普通有 ，所以vi vi，。 因此，得到系统误差的第二个性质：变值系统误差的存在，不仅影响丈量结果的准确度，而且会影响丈量的精细度参数。 n1iiin1二、系统误差处置的普通原那么二、系统误差处置的普

41、通原那么 1在丈量之前，应该尽能够预见到产生系统误差的来源，设法消除之。或者使其影响减少到可以接纳的程度。 系统误差的来源普通可以归纳为以下几个方面：由于丈量设备、实验安装不完善，或安装、调整，运用不得当而引起的误差。由于外界环境要素的影响而引起的误差。由于丈量方法不正确，或者丈量方法所赖以存在的实际本身不完善而引起的误差。 2在实践丈量时，尽能够地采用有效的丈量方法，消除或减弱系统误差对丈量结果的影响。 1对置法：消除恒值系统误差常用的方法。 这种方法的本质是交换某些丈量条件，使得引起恒值系统误差的缘由以相反的方向影响丈量结果，从而中和其影响。 例如，在两臂为例如，在两臂为l1,l2l1,l

42、2的天平上称重，的天平上称重，先将被测分量先将被测分量x x放在左边，规范砝码放在左边，规范砝码P P放放在右边，调平衡后，有在右边，调平衡后，有Pllx12 假设假设l1l1与与l2l2不严厉相等，那么取不严厉相等，那么取x xP P必引必引入恒值系统误差，此时，假设将入恒值系统误差，此时，假设将x x、P P交换位置，交换位置，由于由于l1l2l1l2，P P需换为需换为PP才干与才干与x x平衡，即平衡，即 于是可取于是可取 这样可消除因天平臂长不等而引入的恒值这样可消除因天平臂长不等而引入的恒值系统误差。系统误差。xllP21PPxPP2 2对称观测法：消除线性变化的累进系统误差最有效

43、的方法。 假设在丈量过程中存在某种随时间呈线性变化的系统误差，那么可以经过对称观测法来消除。它就是将丈量以某一时辰为中心对称地安排，取各对称点两次测定值的算术平均值作为丈量结果，即可到达消除线性变化的累进系统误差的目的。 u由于许多系统误差都随时间变化，而且由于许多系统误差都随时间变化，而且在短时间内可以为是线性变化。因此，在短时间内可以为是线性变化。因此，假设条件答应均宜采用对称观测法。假设条件答应均宜采用对称观测法。3半周期偶数观测法：可以很好地消除周期性变化的系统误差。 周期性系统误差可表示为 其中为常数，t 为决议周期性误差的量，T为周期性系统误差的变化周期。tT2sina 当t =

44、t0时，周期性误差0为当 时， 而 。 可见，测得一个数据后，相隔t的半个周期再测一个数据，取二者的平均值，即可消去周期性系统误差。00tT2sina2Ttt0 T2sina2TtT2sina010210 3在丈量之后，经过对测定值进展数据处置，检查能否存在尚未被留意到的变值系统误差。 4最后，要设法估计出未被消除而残留下来的系统误差对最终丈量结果的影响。 三、系统误差存在与否的检验三、系统误差存在与否的检验u普通情况下，人们不能直接经过对等精度丈普通情况下，人们不能直接经过对等精度丈量数据的统计处置来判别恒值系统误差的存量数据的统计处置来判别恒值系统误差的存在，除非改动恒值系统误差产生的丈量

45、条件；在，除非改动恒值系统误差产生的丈量条件；但对于变值系统误差，有能够经过对等精度但对于变值系统误差，有能够经过对等精度丈量数据的统计处置来断定变值系统误差的丈量数据的统计处置来断定变值系统误差的存在。存在。u在容量相当大的丈量列中，假设存在着非在容量相当大的丈量列中，假设存在着非正态分布的变值系统误差，那么测定值的正态分布的变值系统误差，那么测定值的分布将偏离正态，检验测定值分布的正态分布将偏离正态，检验测定值分布的正态性，将揭显露变值系统误差的存在。性，将揭显露变值系统误差的存在。u在实践丈量中，往往不用作烦冗细致的正在实践丈量中，往往不用作烦冗细致的正态分布检验，可以借助于调查测定值残

46、差态分布检验，可以借助于调查测定值残差的变化情况和利用某些较为简捷的判据来的变化情况和利用某些较为简捷的判据来检验变值系统误差的存在。检验变值系统误差的存在。 1根据测定值残差的变化断定变值系统误差的存在 假设对某一被丈量进展多次等精度丈量，获得一系列测定值x1，x2，xn，各测定值的残差表示为 niiiii 11vvn 假设测定值中系统误差比随机误差大，那么，残差vi的符号将主要由 项的符号来决议。因此，假设将残差按照丈量的先后顺序陈列起来。这些残差的符号变化将反映出 的符号变化，进而反映出i的符号变化。由于变值系统误差i的变化具有某种规律，因此残差vi的变化也具有大致一样的规律性。 n1i

47、iin1n1iiin1由此可得：由此可得： 准那么准那么：将丈量列中诸测定值按丈量的：将丈量列中诸测定值按丈量的先后顺序排定，假设残差的大小有规律地向一先后顺序排定，假设残差的大小有规律地向一个方向变化，由正到负或者相反，那么丈量列个方向变化，由正到负或者相反，那么丈量列中会有累进的系统误差。中会有累进的系统误差。 准那么准那么：将丈量列中诸测定值按丈量的：将丈量列中诸测定值按丈量的先后顺序排定，假设残差的符号呈有规律的交先后顺序排定，假设残差的符号呈有规律的交替变化，那么丈量列中含有周期性的系统误差。替变化，那么丈量列中含有周期性的系统误差。 例例6 对某恒温箱内的温度进展了10次丈量，一次

48、获得如下测定值： 20.06，20.07，20.06，20.08，20.10 20.12，20.14，20.18，20.18，20.21 试断定该丈量列中能否存在变值系统误差。解：解：计算各测定值的残差，并按先后顺序陈列计算各测定值的残差，并按先后顺序陈列如下：如下：-0.06-0.06，-0.05-0.05，-0.06-0.06，-0.04-0.04，-0.02-0.02，0 0，0.020.02，0.060.06，0.060.06，0.090.09 可见，残差由负变正，其数值逐渐增可见，残差由负变正，其数值逐渐增大，故丈量列中存在累进系统误差。大，故丈量列中存在累进系统误差。12.20 x

49、 2利用判据来断定变值系统误差的存在 根据残差变化情况来断定变值系统误差的存在，只需在测定值所含系统误差比随机误差大的情况下才是有效的。否那么，残差的变化情况并不能作为变值系统误差存在与否的根据。为此，还需求进一步依托统计的方法来判别。下面给出几个变值系统误差存在与否的判据。这些判据的本质是以检验分布能否偏离正态为根底的。 判据判据1：对某一被丈量进展多次等精度丈量，获得一列测：对某一被丈量进展多次等精度丈量，获得一列测定值定值x1，x2，xn，各测定值的残差依次为，各测定值的残差依次为v1，v2，vn。把前面。把前面k个残差和后面个残差和后面nk个残差分个残差分别求和当别求和当n为偶数时，取

50、为偶数时，取k = n/2；当；当n为奇数时，取为奇数时，取k = (n + 1)/2，并取其差值，并取其差值 假设差值假设差值D显著地异于零，那么丈量列中含有累进的系统显著地异于零，那么丈量列中含有累进的系统误差。误差。 nkiik1iin1kiik1iivvDnvvD为奇数时， 判据判据2：对某一被丈量进展多次等精度丈量，获：对某一被丈量进展多次等精度丈量，获得一列测定值得一列测定值x1，x2，xn，各测定值的，各测定值的真误差依次为真误差依次为1，2，n。 设设 ，假设，假设 ，那么可，那么可以为该丈量列中含有周期性系统误差。其中以为该丈量列中含有周期性系统误差。其中是是该丈量列的均方根

51、误差。该丈量列的均方根误差。 判据判据2是以独立真误差的正态分布为根底是以独立真误差的正态分布为根底的。在实践计算中，可以用残差的。在实践计算中，可以用残差vi来替代来替代i。1n1i1iiC2Cn1例例7 试用判据试用判据1 1、2 2来断定例来断定例6 6中的丈量列中的丈量列能否含有系统误差。能否含有系统误差。解：计算得到各测定值的残差：解：计算得到各测定值的残差：-0.06，-0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0，0.02，0.06，0.06，0.09用判据用判据1检验检验由于由于可见，可见，D显著地异于零，故可以为丈量显著地异于零，故可以为丈量列中含有累进系统误差。这与准那

52、么列中含有累进系统误差。这与准那么1断定的结论一样。断定的结论一样。46. 023. 023. 010651iiiivvD09. 0max vDu当丈量次数无穷大时，只需当丈量次数无穷大时，只需D0，普通就，普通就可以为丈量列中含有累进系统误差。可以为丈量列中含有累进系统误差。u当丈量次数当丈量次数n有限时，有限时， D0不能阐明累进不能阐明累进误差的存在，普通采用误差的存在，普通采用D vmax作作为断定丈量列中累进系统误差存在的根据。为断定丈量列中累进系统误差存在的根据。用判据用判据2 2检验检验由于由于 故可断定丈量列内含有周期性系统误差。故可断定丈量列内含有周期性系统误差。这一结果在例这一结果在例6