第五部分利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分教学ppt课件

1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回第五节第五节 利用柱面坐标和球面坐标利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分计算三重积分 一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分 二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分 三、小结三、小结 思索题思索题 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,0 r,20 . z一、利用柱面坐标计算三重积分在为空间内一点，并设点设MzyxM),(，则这样的三的极坐标为面上的投影, rPxoy规定：规定：xyzo),(zyxM),(rPr的柱面坐标就叫点个数Mzr,上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 .,sin,

2、coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为为常常数数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例1 1 计算计算 zdxdydzI，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与

3、抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 23242030rrzdzrdrdI.413 面面上上，如如图图，投投影影到到把把闭闭区区域域xoy .20, 3043:22 rrzr，上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例计算计算 dxdydzyxI)(22， 其中其中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体.解解由由 022xzy 绕绕 oz 轴旋

4、转得，轴旋转得，旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回:2D, 422 yx.222020:22 zrr:1D,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2D1D上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxIII 12821DrfdzrdrdI,345 22222DrfdzrdrdI,625 原原式式 I 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrr

5、drd上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回二、利用球面坐标计算三重积分可用为空间内一点，则点设MzyxM),(为原来确定，其中，三个有次序的数rrzOMMO与为有向线段间的距离，与点点轴按轴来看自为从正轴正向所夹的角，xz为的角，这里段逆时针方向转到有向线POP，个数面上的投影，这样的三在点rxoyM的球面坐标就叫做点M上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回,r 0.20 ,0 规定：规定：为为常常数数r为为常常数数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 .cos,

6、sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，Pxyzo),(zyxMr zyxA，轴轴上上的的投投影影为为在在点点，面面上上的的投投影影为为在在设设点点AxPPxoyM.,zPMyAPxOA 则则上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 3

7、3 计算计算 dxdydzyxI)(22，其中，其中 是是锥面锥面222zyx ， 与与平面平面az )0( a所围的立体所围的立体.解解 1 采采用用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 ,:222ayxD dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254

8、aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 4 4 求求曲曲面面22222azyx 与与22yxz 所所围围 成成的的立立体体体体积积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV, adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回补充：

9、利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算运用对称性时应留意：运用对称性时应留意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的奇偶性奇偶性平面对称，且被关于一般地，当积分区域xoyD 的奇函数，则三重积分）是关于（积函数zzyxf,的偶函数，则三重）是关于（为零，若被积函数zzyxf,的三重积分的平面上方的半个闭区域在积分为xoy两倍。上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例利利用用对对称称性性简简化化计计算算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其其中中积

10、积分分区区域域1| ),(222 zyxzyx.解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的奇函数的奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 计算计算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由抛物是由抛物面面 22yxz 和球面和球面2222 zyx所围成的空所围成的空间闭区域间闭区域.其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy,上页上页下页下页返回返回上页

11、上页下页下页返回返回同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxI2)(,)2(22 dxdydzzx上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回在在柱柱面面坐坐标标下下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投投影影区区域域 xyD： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI).89290(60 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回1 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz 2 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元

12、素 ddrdrdxdydzsin2 3 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思索题思索题则则上的连续函数上的连续函数为为面对称的有界闭区域，面对称的有界闭区域，中关于中关于为为若若,),(3 zyxfxyR ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为偶函数时为偶函数时关于关于当当.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy zz2上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、 填

13、空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面和和)(3222yxz 16222 zyx所所围围, ,则三重积分则三重积分 dvzyxf),(表示成直角坐标下表示成直角坐标下的三次积分是的三次积分是_; ;在柱面坐标下在柱面坐标下的三次积分是的三次积分是_; ;在球面坐标下在球面坐标下的三次积分是的三次积分是_. .2 2、 若若 由曲面由曲面及及222yxz 22yxz 所围所围, ,将将 zdv表为柱面坐标下的三次积分表为柱面坐标下的三次积分_, ,其值为其值为_. .练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 3 3、若空间区域、若空间区域 为二曲面为二曲面azyx

14、22及及 222yxaz 所围所围, ,则其体积可表为三重积分则其体积可表为三重积分_; ;或二重积分或二重积分_; ;或柱面坐标下的三次积分或柱面坐标下的三次积分_. . 4 4、若由不等式、若由不等式2222)(aazyx , ,222zyx 所确定所确定, ,将将 zdv表为球面坐标下的三次积分为表为球面坐标下的三次积分为_；其值为；其值为_. .二、计算下列三重积分二、计算下列三重积分: : 1 1、 dvyx)(22, ,其中其中 是由曲面是由曲面 24z)(2522yx 及平面及平面5 z所围成的闭区域所围成的闭区域. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 2 2、

15、dvyx)(22, ,其中其中 由不等式由不等式 0,0222 zAzyxa所确定所确定. . 3 3、 dxdydzczbyax)(222222, , 其中其中 1),(222222czbyaxzyx. .三、求曲面三、求曲面225yxz 及及zyx422 所围成的立所围成的立体的体积体的体积. .四、曲面四、曲面2224aazyx 将球体将球体azzyx4222 分分成两部分成两部分, ,试求两部分的体积之比试求两部分的体积之比. .五五、求求由由曲曲面面, 0,22 xayxyxz0, 0 zy 所所围围成成立立体体的的重重心心( (设设密密度度1 ) ). .上页上页下页下页返回返回上

16、页上页下页下页返回返回六、求半径为六、求半径为a, ,高为高为h的均匀圆柱体对于过中心而垂的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量直于母线的轴的转动惯量 ( (设密度设密度)1 . .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、1 1、 22222216)(34422),(yxyxxxdzzyxfdydx )(3164422222222),(yxyxxxdzzyxfdydx, , 21632020),sin,cos(rrdzzrrfrdrd rrdzzrrfrdrd31620202),sin,cos(, , 406020,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2 406520,cossin(rfdd drrrr sin)cos,sinsin2；练习题答案练习题答案上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 2 2、 2221020rrzdzrdrd, ,127 ；