第五节函数的图象

1、考纲要求考情分析1.掌握基本初等函数的图象的特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题2.掌握图象的作法：描点法和图象变换法3.会运用函数图象理解和研究函数性质.函数的图象是高考中的常考内容，主要针对图象的作图、识图、用图三个方面展开，各种题型都可能出现其中用图是数形结合的具体体现，可增强直观性、简化运算，从而降低解决问题的难度，易于理解尤其是导数引入后，对函数图象的研究也更加精细.知识能否忆起知识能否忆起一、利用描点法作函数图象一、利用描点法作函数图象其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质的定义域；化简

2、函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、奇偶性、单调性、周期性单调性、周期性)；其次：列表；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；最后：描点，连；最后：描点，连线线二、利用基本函数的图象作图二、利用基本函数的图象作图1平移变换平移变换(1)水平平移：水平平移：yf(xa)(a0)的图象，可由的图象，可由yf(x)的图象向的图象向 ()或向或向 ()平移平移 单位而得到单位而得到(2)竖直平移：竖直平移：yf(x)b(b0)的图象，可由的图象，可由yf(x)的图象向的图象向 ()或向或向 ()平移平移 单位而得

3、到单位而得到2对称变换对称变换(1)yf(x)与与yf(x)的图象关于的图象关于 对称对称(2)yf(x)与与yf(x)的图象关于的图象关于 对称对称左左右右a个个上上下下b个个y轴轴x轴轴(3)yf(x)与与yf(x)的图象关于的图象关于 对称对称(4)要得到要得到y|f(x)|的图象，可将的图象，可将yf(x)的图象在的图象在x轴轴下方的部分以下方的部分以 为对称轴翻折到为对称轴翻折到x轴上方，其余部分轴上方，其余部分不变不变(5)要得到要得到yf(|x|)的图象，可将的图象，可将yf(x)，x0的部分的部分作出，再利用偶函数的图象关于作出，再利用偶函数的图象关于 的对称性，作出的对称性，

4、作出x0时的图象时的图象x轴轴原点原点y轴轴 3伸缩变换伸缩变换(1)yAf(x)(A0)的图象，可将的图象，可将yf(x)图象上所有图象上所有点的纵坐标变为点的纵坐标变为 ， 不变而得到不变而得到(2)yf(ax)(a0)的图象，可将的图象，可将yf(x)图象上所有图象上所有点的横坐标变为点的横坐标变为， 不变而得到不变而得到纵坐标纵坐标原来的原来的A倍倍横坐标横坐标三、函数图象的对称性1证明证明函数图象的对称性，即证明函数图象上任意一点关于对称中心(或对称轴)对称2常用结论(1)若函数yf(x)定义域内任一x的值都满足f(ax)f(bx)，则yf(x)的图象关于直线 成轴对称图形；特别地，

5、yf(x)满足f(ax)f(ax)(或f(2ax)f(x)恒成立，则yf(x)的图象关于直线 成轴对称图形(2)函数yf(x)的图象关于直线xa及xb对称，则yf(x)是周期函数，且 是它的一个周期xa2|ba|1一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称相同吗？提示：一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不是一回事函数yf(x)的图象关于原点对称是自身对称自身对称，说明该函数为奇函数；而函数yf(x)与函数yf(x)图象关于原点对称，是两个函数的图象对称2一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称相同吗？提示：一个函数的图象关于y轴对称与两个函数的图象

6、关于y轴对称不是一回事函数yf(x)的图象关于y轴对称是自身对称，说明该函数为偶函数；而函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于y轴对称，是两个函数的图象对称小题能否全取小题能否全取1一次函数一次函数f(x)的图象过点的图象过点A(0,1)和和B(1,2)，则下列各点，则下列各点在函数在函数f(x)的图象上的是的图象上的是 ()A(2,2)B(1,1)C(3,2) D(2,3)解析：一次函数解析：一次函数f(x)的图象过点的图象过点A(0,1)，B(1,2)，则，则f(x)x1，代入验证，代入验证D满足条件满足条件答案：答案：D2函数函数yx|x|的图象大致是的图象大致是()解析：函数解析：函

7、数yx|x|为奇函数，图象关于原点对称为奇函数，图象关于原点对称答案：答案：A3(教材习题改编教材习题改编)在同一平面直角坐标系中，函数在同一平面直角坐标系中，函数f(x)ax与与g(x)ax的图象可能是下列四个图象中的的图象可能是下列四个图象中的()解析：因解析：因a0且且a1，再对，再对a分类讨论分类讨论答案：答案：B4(教材习题改编教材习题改编)为了得到函数为了得到函数y2x3的图的图象，只需把函数象，只需把函数y2x的图象上所有的点向的图象上所有的点向_平移平移_个单位长度个单位长度答案：右答案：右35若关于若关于x的方程的方程|x|ax只有一个解，则实数只有一个解，则实数a的取的取值

8、范围是值范围是_答案：答案：(0，)1.作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法作图一般有两种方法：直接作图法、图象变换法其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变其中图象变换法，包括平移变换、伸缩变换和对称变换，要记住它们的变换规律换，要记住它们的变换规律注意注意对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右对于左、右平移变换，可熟记口诀：左加右减但要注意加、减指的是自变量，否则不成立减但要注意加、减指的是自变量，否则不成立2一个函数的图象关于原点一个函数的图象关于原点(y轴轴)对称与两个函数的对称与两个函数的图象关于原点图象关于原点(y轴轴)对称不同，前者是自身对称，且为奇对称不同，前者是自

9、身对称，且为奇(偶偶)函数，后者是两个不同的函数对称函数，后者是两个不同的函数对称例例1分别画出下列函数的图象：分别画出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)y2x2；(3)yx22|x|1.(2)将将y2x的图象向左平移的图象向左平移2个单位图象如图个单位图象如图2.画函数图象的一般方法画函数图象的一般方法(1)直接法：当函数表达式直接法：当函数表达式(或变形后的表达式或变形后的表达式)是熟是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出(2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、

10、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响单位及解析式的影响1作出下列函数的图象：作出下列函数的图象：其图象如图其图象如图1所示所示(实线部分实线部分) 例例2(2012湖北高考湖北高考)已知定义在已知定义在区间区间0,2上的函数上的函数yf(x)的图象如图所的图象如图所示，则示，则yf(2x)的图象为的图象为 () 法二：法二：当当x0时，时，

11、f(2x)f(2)1；当；当x1时，时，f(2x)f(1)1.观察各选项，可知应选观察各选项，可知应选B.答案答案B“看图说话看图说话”常用的方法常用的方法(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升得出图象的上升(或下降或下降)的趋势，利用这一特征分析解决的趋势，利用这一特征分析解决问题问题(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题(3)函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题数模型，利用这一函数模型来分析解

12、决问题(2)(2012东城模拟东城模拟)已知函数对任意的已知函数对任意的xR有有f(x)f(x)0，且当，且当x0时，时，f(x)ln(x1)，则函数，则函数f(x)的图象大的图象大致为致为()答案：答案：(1)2(2)D【考向探寻】1利用函数的图象求参数值、解析式2利用函数图象获取相关的信息，如对称性、单调性等(1)先判断函数的奇偶性，然后根据当x趋向0和，时y的变化趋势判定(2)根据待定系数法分别求两线段及抛物线的解析式，最后写成分段函数的形式寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法(1)知图求式由所提供的图象的特征，联想相关的函数模型利用待定系数法求出图象所对应的解析式(2)知式选图从函

13、数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；从函数的单调性，判断图象的变化趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；从函数的周期性，判断图象的循环往复利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口例例3 (2011新课标全国卷新课标全国卷)已知函数已知函数yf(x)的周的周期为期为2，当，当x1,1时时f(x)x2，那么函数，那么函数yf(x)的图的图象与函数象与函数y|lg x|的图象的交点共有的图象的交点共有 ()A10个个 B9个个C8个个 D1个个自主解答自主解答根据根据f(x)的性质及的性

14、质及f(x)在在1,1上的解析上的解析式可作图如下：式可作图如下：可验证当可验证当x10时，时，y|lg 10|1；0 x10时，时，|lg x|10时时|lg x|1.结合图象知结合图象知yf(x)与与y|lg x|的图象交点共有的图象交点共有10个个答案答案A若本例中若本例中f(x)变为变为f(x)|x|，其他条件不变，试，其他条件不变，试确定交点个数确定交点个数解：根据解：根据f(x)的性质及的性质及f(x)在在1,1上的解析式可上的解析式可作图如下：作图如下：由图象知共由图象知共10个交点个交点1利用函数的图象研究函数的性质利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象

15、的函数，其性对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质质(单调性、奇偶性、周期性、最值单调性、奇偶性、周期性、最值(值域值域)、零点、零点)常借助于常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系2利用函数的图象研究方程根的个数利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程方程的根，方程f(x)0的根就是函数的根就是函数f(x)图象与图象与x轴的交点轴的交点的横坐标，方程的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数的根就是函数f(x)与与g(x)图象

16、的交图象的交点的横坐标点的横坐标3 (2012天津河西模拟天津河西模拟)设方程设方程3x|lg(x)|的两个的两个根为根为x1，x2，则，则 ()Ax1x21 D0 x1x20的解集；(5)求集合Mm|使方程f(x)m有三个不相等的实根审题视点求解本题先由f(4)0，求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解(3)(4)(5)三个小题解析(1)f(4)0，4|m4|0，即m4；(5)由图象可知若yf(x)与ym的图象有三个不同的交点，则0m4，集合Mm|0m4，由图象知，函数在1,5上的值域为0,5利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、

17、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题，但其关键是作出准确的函数图象，数形结合求解，否则若图象出现失误，将得到错误的结果 已知yf(x)的图象如图，则yf(1x)的图象为下列四图中的 对平移及对称掌握有误认为yf(x)关于y轴对称变换为：yf(x)，再向左平移1个单位，即得yf(x1)f(1x)的图象，错选B.也有同学先平移变换，向右平移1个单位，得到yf(x1)，再关于y轴对称得yf(x1)的图象，错选B.解：将yf(1x)变形为yf(x1)作yf(x)图象，将yf(x)关于y轴对称即可；将f(x)的图象沿x轴正方向平移1个单位，得yf(x1)f(1x)的图象故选A.思考题.已知函数

18、f(2x1)是奇函数，则函数 yf(2x)的图像关于下列哪个点成中心对称()A(1,0)B(1,0)C(12，0)D(12，0)答案答案(0,1)(1,4)1(2013长春第二次调研长春第二次调研)设函数设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的，对于任意的xR，不等式，不等式f(x)g(x)恒成立，则恒成立，则实数实数a的取值范围是的取值范围是_解析：如图作出函数解析：如图作出函数f(x)|xa|与与g(x)x1的图象，观察图象可的图象，观察图象可知：当且仅当知：当且仅当a1，即，即a1时，时，不等式不等式f(x)g(x)恒成立，因此恒成立，因此a的取值范围是的取值范围是1，)答案：答案：1，)A(1,3)B(0,3)C(0,2) D(0,1)答案