2019高数11章习题课ppt课件

1、 第十一章 二二 、习题选讲、习题选讲 一、知识点复习一、知识点复习 第十一章第十一章机动 目录 上页 下页 返回 完毕 习题课习题课无穷级数 无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数第十一章数项级数一、数项级数的概念一、数项级数的概念 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 *四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第一节 第十一章 定义：定义： 给定一个数列,321nuuuu将各项依,1nnu即

2、1nnunuuuu321称上式为无穷级数， 其中第 n 项nu叫做级数的一般项,级数的前 n 项和nkknuS1称为级数的部分和.nuuuu321次相加, 简记为,lim存在若SSnn收敛收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和, 记作机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1nnuS当级数收敛时, 称差值21nnnnuuSSr为级数的余项.,lim不存在若nnS则称无穷级数发散 .显然0limnnr机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质 性质性质1. 若级数若级数1nnu收敛于 S ,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数1nnuc也收敛 ,说明说明:

3、级数各项乘以非零常数后其敛散性不变级数各项乘以非零常数后其敛散性不变 .即其和为 c S .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 性质性质2. 设有两个收敛级数设有两个收敛级数,1nnuS1nnv则级数)(1nnnvu 也收敛, 其和为.S机动 目录 上页 下页 返回 完毕 性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项, 不会影响级数的敛散性.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 性质性质4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.推论推论: 若加括弧后的级数发散若加括弧后的级数发散, 则原级数必发散则原级数必发散.注意注意: 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定

4、收敛.机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件 设收敛级数,1nnuS则必有.0limnnu 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 的充要条件是:*四、柯西审敛原理四、柯西审敛原理 定理定理.收敛级数1nnu, 0,ZNpnnnuuu21时，当Nn ,Zp对任意有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第二节第二节正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法正项级数正项级数机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第十一章 正项级数及其审敛法正项级数及其审敛法假设,0nu1nnu定理定理 1. 正项级数正项级数1nnu收敛部分和序

5、列nS),2, 1(n有界 .则称为正项级数 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理2 (比较审敛法比较审敛法)设,1nnu1nnv且存在,ZN对一切,Nn 有(1) 若强级数1nnv则弱级数1nnu(2) 若弱级数1nnu则强级数1nnv则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .nnvku 是两个正项级数, (常数 k 0 ),机动 目录 上页 下页 返回 完毕 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在,ZN对一切,Nn,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理3. (比较审敛法的极限形式比较审敛

6、法的极限形式),1nnu1nnv,limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ,1收敛时且nnv;1也收敛nnu(3) 当 l = ,1发散时且nnv.1也发散nnu设两正项级数满足(1) 当 0 l 时,机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理4 . 比值审敛法比值审敛法 ( Dalembert 判别法判别法)设 nu为正项级数, 且,lim1nnnuu那么(1) 当1(2) 当1时, 级数收敛 ;或时, 级数发散 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理5. 根值审敛法根值审敛法 ( Cauchy判别判别法法)设 1nnu为正项级,limnnnu那么;

7、,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 数, 且机动 目录 上页 下页 返回 完毕 积分判别法积分判别法 由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数，由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数，局限性较大局限性较大, 所以还需要建立一些更有效的判别法所以还需要建立一些更有效的判别法定理定理 6 6 设设 f f 为为 1, +) 1, +) 上非负减函数，那么正上非负减函数，那么正项级数项级数 f (n) f (n) 与积分与积分 同时收敛或同时同时收敛或同时发散发散 1)(dxxf*拉贝判别法拉贝判别法 由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数，由于比式和根式判别法的比较对象是几何级

8、数，如果级数的通项收敛速度较慢，它们就失效了，如果级数的通项收敛速度较慢，它们就失效了，如如 p 级数级数. 拉贝拉贝(Raabe)判别法是以判别法是以 p 级数为比较级数为比较对象，这类级数的通项收敛于零的速度较慢，因对象，这类级数的通项收敛于零的速度较慢，因此较比式或根式法在判断级数收敛时更精细此较比式或根式法在判断级数收敛时更精细111,nnunru;nu则则级级数数收收敛敛0(ii),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式111,nnunu.nu则则级级数数发发散散0(i),nN若若对对一一切切成成立立不不等等式式定理定理7 (拉贝判别法拉贝判别法) 设设 nu为正项级数为正项级数,

9、 且存且存 0.Nr在在某某正正整整数数及及常常数数推论推论(拉贝判别法的极限形式拉贝判别法的极限形式)设设 nu为正项级数为正项级数, 且极限且极限1lim1nnnunru(i)1,;nru当当时时 级级数数收收敛敛(ii)1,.nru当当时时 级级数数发发散散存在存在, 那么那么(iii) 当当 r = 1 时，此判别法失效时，此判别法失效一、交错级数及其审敛法一、交错级数及其审敛法 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 第三节第三节一般项级数一般项级数机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第十一章 一一 、交错级数及其审敛法、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数nnuuuu

10、1321) 1(称为交错级数 .定理定理1 . ( Leibnitz 判别法判别法 ) 若交错级数满足条件:则级数; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnunnnu11) 1(收敛 , 且其和 ,1uS 其余项满足.1nnur,2, 1,0nun设机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、绝对收敛与条件收敛二、绝对收敛与条件收敛 定义定义: 对任意项级数对任意项级数,1nnu假设若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级1nnu收敛 ,1nnu数1nnu绝对收敛 ；则称原级数条件收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理2. 绝对收敛的级数一定收敛绝对收敛的级数

11、一定收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 绝对收敛级数的两个重要性质绝对收敛级数的两个重要性质1. 1. 级数的重排级数的重排 定义定义: :把正整数列把正整数列 1, 2, 1, 2, , n, , n, 到它自身的到它自身的一一映射一一映射 f : n f : n k(n) k(n) 称为正整数列的重排称为正整数列的重排, ,相应地对相应地对于数列于数列 un un 按映射按映射 F : un F : un uk(n) uk(n) 所得到的数列所得到的数列 uk(n) uk(n) 称为原数列的重排称为原数列的重排, ,相应也称级数相应也称级数 uk(n) uk(n) 是级数是级数 u

12、n un 的重排的重排 定理定理3 3 设级数设级数unun绝对收敛绝对收敛, ,且其和等于且其和等于 S S 那么那么任意重排得到的级数也绝对收敛任意重排得到的级数也绝对收敛, ,且有相同的和数且有相同的和数(p214(p214定理定理3 3） 注注: :由条件收敛级数重排得到的新级数由条件收敛级数重排得到的新级数, ,即使收敛也即使收敛也不一定收敛于原来的和数不一定收敛于原来的和数, ,而且条件收敛收敛级数适当而且条件收敛收敛级数适当重排后重排后, ,可得到发散级数可得到发散级数, ,或收敛于任何事先指定的数或收敛于任何事先指定的数. .2. 2. 级数的乘积级数的乘积nu我们知道我们知道

13、, , 假设假设为收敛级数为收敛级数, a, a为常数为常数, , 那么那么 ,nnauau由此可以立刻推广到收敛级数由此可以立刻推广到收敛级数 1nnu与有限项和的乘与有限项和的乘 积积, ,即即12111(),mmnknnnkaaaua u那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质那么无穷级数之间的乘积是否也有上述性质? ? 定理定理4 (4 (柯西定理柯西定理) ) 若级数若级数(1)(1)、（、（2 2都都绝对收敛，则对绝对收敛，则对3 3中所有乘积中所有乘积 ui vj ui vj 按任意顺序排列按任意顺序排列所得到的级数所得到的级数 wn wn 也绝对收敛，且其和等于也绝对收敛，且其和

14、等于 AB AB 对于一般级数的敛散性，有两个与无穷积分对于一般级数的敛散性，有两个与无穷积分类似的判别法：阿贝耳判别法与狄利克雷判别类似的判别法：阿贝耳判别法与狄利克雷判别法法*三、阿贝耳判别法和三、阿贝耳判别法和狄利克雷判别法狄利克雷判别法引理分部求和公式设引理分部求和公式设), 2, 1(,nivii 为两为两组实数，若令组实数，若令), 2, 1(21nkvvvkk 则有如下分部求和公式成立：则有如下分部求和公式成立：nnnnnniiiv 112132121)()()(证证以以), 3, 2(,111nkvvkkk 分别分别乘以乘以), 3, 2(nkk 相加整理后就得所要证的相加整理

15、后就得所要证的公式公式推论推论 （阿贝耳引理假（阿贝耳引理假设设(1)n ,21是单调数组；是单调数组；(2),21kkvvv 设设对任一正整数对任一正整数 k k , )1 (nk 有有,|Ak 记记,|maxkk 则有则有 nkkkAv13| 定理定理5 (5 (阿贝耳判别法阿贝耳判别法) ) 假设假设 an an 为单调有界为单调有界数列，且级数数列，且级数bn bn 收敛，则级数收敛，则级数 anbn anbn 收敛收敛 定理定理6 (6 (狄利克雷判别法狄利克雷判别法) ) 若数列若数列 an an 单调单调递减趋于零，又级数递减趋于零，又级数bn bn 的部分和数列有界，则级数的部

16、分和数列有界，则级数 anbn anbn 收敛收敛定理定理7 （阿贝耳（阿贝耳(Abel)判别法）判别法）假设假设 axxfd)(收敛，收敛， g(x)在在 a , + ) 上单调有界，上单调有界，那么那么 axxgxfd)()(收敛收敛定理定理8 （狄利克雷判别法）（狄利克雷判别法）假设假设 uaxxfuFd)()(在在 a , + ) 上有界，上有界，g(x) 在在a , + ) 上上 当当 x + 时单调趋于时单调趋于 0，那么，那么 axxgxfd)()(收敛收敛第四节一、函数项级数的概念一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算三、幂级数的运算

17、幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第十一章 一、一、 函数项级数的概念函数项级数的概念设121)()()()(nnnxuxuxuxu为定义在区间 I 上的函数项级数 .对, I0 x若常数项级数10)(nnxu敛点敛点, 所有收敛点的全体称为其收敛域 ;若常数项级数10)(nnxu为定义在区间 I 上的函数, 称收敛,发散 ,所有0 x称为其收 0 x称为其发散点, ),2, 1()(nxun发散点的全体称为其发散域 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 , )(xS为级数的和函数 , 并写成)()(1xuxSnn若用)(xSn)()(1xuxSnkkn令余项)()()(xSxSxr

18、nn则在收敛域上有, )()(limxSxSnn0)(limxrnn表示函数项级数前 n 项的和, 即在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 称它机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性 形如00)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa的函数项级数称为幂级数, 其中数列), 1 , 0(nan下面着重讨论00 x0nnnxannxaxaxaa2210例如, 幂级数1,110 xxxnn为幂级数的系数 .即是此种情形.的情形, 即nnxxa)(0称 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理 1. ( Abel定理定理 ) 若幂级数0nnnxa

19、,0点收敛在xx 则对满足不等式0 xx 的一切 x 幂级数都绝对收敛.反之, 若当0 xx 0 xx 的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不等式阿贝尔 目录 上页 下页 返回 完毕 幂级数在 (, +) 收敛 ;由Abel 定理可以看出, 0nnnxa中心的区间. 用R 表示幂级数收敛与发散的分界点,的收敛域是以原点为那么R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ;R = 时,0 R幂级数在 (R , R ) 收敛 ;(R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.R 称为收敛半径 ， 在R , R 可能收敛也可能发散 .Rx外发散; 在(R , R ) 称为收

20、敛区间.ox发 散发 散收 敛收敛 发散机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理2. 假设假设0nnnxa的系数满足,lim1nnnaa;1R;R.0R1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,那么 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、幂级数的运算三、幂级数的运算定理定理3. 设幂级数设幂级数nnnxa0nnnxb0及的收敛半径分别为,21RR令nnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnnxcRx 则有 :nnnnnnxbxa00其中knnkknbac0以上结论可用部分和的极限证明 .机动 目录 上

21、页 下页 返回 完毕 定理定理 4 幂级数幂级数an xn 的和函数是收敛区间的和函数是收敛区间( R , R )内的连续函数；内的连续函数； 若幂级数若幂级数an xn 在收敛区间的右端点在收敛区间的右端点x = R ( 或左端点或左端点 x = R ) 时收敛，则其和函数也在这一端点时收敛，则其和函数也在这一端点上右左连续上右左连续四、幂级数的性质四、幂级数的性质定理定理5.1,01110敛敛区区间间有有相相同同的的收收敛敛半半径径和和收收与与幂幂级级数数 nnnnnnnnnxnaxnaxa定理定理6 6则则有有为为和和函函数数的的收收敛敛半半径径为为设设幂幂级级数数, )(,0 xfRx

22、annn 且且有有逐逐项项求求导导公公式式：并并内内可可导导在在收收敛敛区区间间和和函函数数,),()()1(RRxf )(xf :,),()()2(且且有有逐逐项项积积分分公公式式并并内内可可积积分分在在收收敛敛区区间间和和函函数数RRxf )(0 nnnxaRxxnannn ,11 0)(nnnxattfxd)(0 Rxxnannn 01,1ttaxnnnd)(00 00dnxnntta 推论推论 1 设幂级数设幂级数an xn 在收敛区间在收敛区间( R , R )内的内的和函数是和函数是 f ，则在，则在( R , R )内内 f 有任意阶导数，且可逐有任意阶导数，且可逐项求导任意次，

23、即项求导任意次，即 nnxaxaxaxaaxf332210)( 1232132)(nnxnaxaxaaxf 232)1(232)(nnxannxaaxf xannnanxfnnn1)(2)1()1(!)( 推论推论 2 设幂级数设幂级数an xn 在收敛区间在收敛区间(R , R )内的和函数是内的和函数是 f ，那么，那么, )0(0fa . ), 2, 1(!)0()( nnfann即幂级数即幂级数an xn 由和函数由和函数 f 在在 x = 0 的各阶导数所的各阶导数所唯一确定唯一确定第五节两类问题: 在收敛域内和函数)(xSnnnxa0幂级数求 和展 开本节内容本节内容:一、泰勒一、

24、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第十一章 一、泰勒一、泰勒 ( Taylor ) 级数级数 )()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn其中)(xRn( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项 .10) 1()(! ) 1()(nnxxnf则在若函数0)(xxf在的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )(0 xf)(00 xxxf200

25、)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(为f (x) 的泰勒级数 . 则称当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .若函数的某邻域内具有任意阶导数, 0)(xxf在机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理1 .各阶导数, )(0 x那么 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:.0)(limxRnn设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有机动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理2. 假设 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.机动 目录 上页 下页 返回

26、完毕 二、函数展开成幂级数二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法直接展开法由泰勒级数理论可知, 展开成幂级数的步函数)(xf第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内)(limxRnn是否为骤如下 :展开方法展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式0. 的函数展开机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 间接展开法间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 1. 函数的幂级数展开法(1) 直接

27、展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn式的函数 .机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(当 m = 1 时x11,) 1(132nnxxxx),(x),(x) 1, 1(x) 1, 1(x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第六节

28、第六节 一、近似计算一、近似计算 二、欧拉公式二、欧拉公式函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第十一章 xixexisincosxixexisincos（欧拉公式）2cosxixieex（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyoyixzyixzsincosirier那么ieexxixi2sin机动 目录 上页 下页 返回 完毕 据此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式)利用幂级数的乘法, 不难验证2121zzzzeee特别有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee )sin(cosyiyex

29、xerxxyyoyixz第六节 目录 上页 下页 返回 完毕 第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 机动 目录 上页 下页 返回 完毕 第十一章 傅里叶级数傅里叶级数 一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率, 为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.机

30、动 目录 上页 下页 返回 完毕 定理定理 1. 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在机动 目录 上页 下页 返回 完毕 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn机动 目录 上页 下页 返回

31、完毕 定理定理3 (收敛定理收敛定理, 展开定理展开定理)设 f (x) 是周期为2的周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 那么 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,为 f (x) 的傅里叶系数 . x 为连续点简介 目录 上页 下页 返回 完毕 , )(xxf周期延拓)(xF傅里叶展开,)(在xf上的傅里叶级数定义在定义在 ,上的函数上的函数 f (x)的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法)

32、, , )(xxf, )2(kxf其它机动 目录 上页 下页 返回 完毕 三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数1. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为对周期为 2 的奇函数的奇函数 f (x) , 其傅里叶级数其傅里叶级数为为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里叶系数为正弦级数,它的傅里叶系数为机动 目录 上页 下页 返回 完毕 2. 在0,上的函数展成正弦级数与余弦级数)(xF,0

33、(),(xxf,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x) f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf机动 目录 上页 下页 返回 完毕 )0,(),(xxf) 15)(451161111161611) 1 ( 1#200nnAp（：，若收敛，求级数的和判断下列级数的敛散性)3121()3121()3121()2( 1#20022nnAp：，若收敛，求级数的和判断下列级数的敛散性12)3( 1#200nnnAp：，若收敛，求级数的和判断下列级数的敛散性nnkknn

34、kS22322212321提示：122232212nnnSnnnnS2212121112后式减前式nnn2211)211 (2111nnn22121)(2n写出这个级数。已知级数的部分和,12#200nnSApn, 211 Sa提示：1nnnSSa11nnnn) 1(1nn) 1(1321212nn级数为aaaaaaApnnnn111)(,3#200则级数收敛于证明：若级数1)2)(1(1) 1 (:1#202nnnnBp，若收敛，求级数的和判断下列级数的敛散性1)122()2(:1#202nnnnBp，若收敛，求级数的和判断下列级数的敛散性16sin)3(:1#202nnBp，若收敛，求级数

35、的和判断下列级数的敛散性2#202Bp求下列级数的和。3#202Bp求下列级数的和。3#202Bp求下列级数的和。3#202Bp求下列级数的和。3#202Bp.4#2020TgsBp总时间求球弹跳过程所耗费的空气的阻力忽略不计，一次高度的一半，每次弹回的高度为前加速度为高度下落，重力如果一个球从距离地面,1kTkk次落地的时间间隔为次球落地与第提示：记第 2222,2001100TgsgsTgsT则222211kkkkTgsgsT0)21(Tk000)21(kkkkTTT2110Tgs02122gs0122。判断下列级数的敛散性1#209Ap。判断下列级数的敛散性1#209Ap。判断下列级数的

36、敛散性1#209Ap。判断下列级数的敛散性1#209Ap。判断下列级数的敛散性1#209Ap。判断下列级数的敛散性别法用比值判别法或根式判2#209Ap。判断下列级数的敛散性别法用比值判别法或根式判2#209Ap3#209Ap4#209Ap5#210Ap收敛。收敛，证明级数和设级数121212)(6#210nnnnnnnbabaAp),(2)(222nnnnbaba提示：收敛收敛和1221212)(2nnnnnnnbaba收敛由比较原则12)(nnnba级数的敛散性：判断下列1#210Bp)0()21#2101aeBpnan级数的敛散性：判断下列,)1(naanee提示：, 11|aeq收敛。

37、由等比级数的收敛性知1nane)0( )2() 31#2101/1/1aaaBpnnn级数的敛散性：判断下列)0( )2() 31#2101/1/1aaaBpnnn级数的敛散性：判断下列级数的敛散性：判断下列别法用比值判别法或根式判2#210Bp级数的敛散性：判断下列别法用比值判别法或根式判2#210Bp级数的敛散性：判断下列别法用比值判别法或根式判2#210Bp级数的敛散性：判断下列别法用比值判别法或根式判2#210Bp时，无法判断。当baIII)()0()1 ()1)(1 ()52#21012xxxxxBpnnn级数的敛散性：别法判断下列用比值判别法或根式判)1 ()1)(1 (2nnnx

38、xxxu提示：)1 ()1)(1)(1 ()1 (2nnxxxxxx)1 ()1 (2nnxxxnnnnnxxxu211) 1| ,(xnx3#210Bp4#210Bp4#210Bp4#210Bp收敛。收敛，证明级数设级数12121) 1(5#210nnnnnnaaBp)1(21)11(21|1) 1(|22222nananannnn提示：1221212)1(211nnnnnnana收敛收敛，收敛，.1) 1(12收敛nnnna：判断下列级数的敛散性6#210Bp122226#210nnnnBp）：判断下列级数的敛散性22122222/32nnnnnnn解：)( 121n12/31nn收敛，级

39、数收敛。级数由比较原则的极限形式1222nnnn1ln136#210nnBp）：判断下列级数的敛散性,1ln1lnnnnn提示：发散。发散11ln11nnnn) 1( , ) 1(46#2101aaBpnn）：判断下列级数的敛散性) 1( , ) 1(46#2101aaBpnn）：判断下列级数的敛散性）：判断下列级数的敛散性56#210Bp12ln66#210nnnBp）：判断下列级数的敛散性122/12/32ln),( 10ln1lnnnnnnnnnn提示：收敛。收敛级数1212/3ln1nnnnn敛：对收敛，哪些是条件收判断下列级数哪些是绝Ap217敛：对收敛，哪些是条件收判断下列级数哪些

40、是绝Ap217敛：对收敛，哪些是条件收判断下列级数哪些是绝Ap217敛：对收敛，哪些是条件收判断下列级数哪些是绝Ap217敛：对收敛，哪些是条件收判断下列级数哪些是绝Ap217敛：对收敛，哪些是条件收判断下列级数哪些是绝Ap217敛：对收敛，哪些是条件收判断下列级数哪些是绝Ap217判断下列级数敛散性：Bp217判断下列级数敛散性：Bp2172) 1() 1() 3217nnnnBp判断下列级数敛散性：)( 1) 1(1|) 1() 1(|nnnnnnnn提示：由比较判别法知原级数不绝对收敛。与收敛域：求下列级数的收敛半径1#225Ap与收敛域：求下列级数的收敛半径1#225Ap与收敛域：求下

41、列级数的收敛半径1#225Ap与收敛域：求下列级数的收敛半径1#225Ap与收敛域：求下列级数的收敛半径1#226Ap与收敛域：求下列级数的收敛半径1#226Ap与收敛域：求下列级数的收敛半径1#226Ap求级数的和函数。2#226Ap求级数的和函数。2#226Ap求级数的和函数。2#226Ap敛域。求级数的收敛半径与收1#226Bp敛域。求级数的收敛半径与收1#226Bp敛域。求级数的收敛半径与收1#226Bp12sin2)41#226nnnnxBp敛域。求级数的收敛半径与收12nnnt提示：考虑级数 1 , 11，收敛域为容易求得其收敛半径为时原级数收敛。或从而当6,6 1 , 1sin2

42、xx。收敛域为原级数收敛半径为6,6,6R仅出现偶数次幂的项。为偶函数，则级数若仅出现奇数次幂的项。为奇函数，则级数若上的和函数，在为幂级数证明：设000)()(),()(2#226nnnnnnnnnxaxfxaxfRRxaxfBp证明：3#226Bp证明：3#226Bp证明：3#226Bp证明：3#226Bp求下列级数的和4#226Bp求下列级数的和4#226Bp222) 1(1)24#226nnnBp求下列级数的和nnxnxf22) 1(1)(提示：设nnnnxnxn2211211121121211211121nnnnxnxxnxdttnxdttnxnnxnnx120120)11(21)1

43、1(21222) 1(1)24#226nnnBp求下列级数的和dttnxdttnxnxnnxn102102)11(21)11(21 dtttxdttxxx0201211121|)1 |ln2(21|1 |ln212xxxxxxx)21(2) 1(122fnnn2ln85|)21|ln218121(|21|ln41级数。求下列函数的麦克劳林1#231Ap级数。求下列函数的麦克劳林1#231ApxxAp31) 112#231的幂级数。将下列函数展开成xx12131提示：211121x0)21(21nnx01) 1(21nnnxxxfxAp1)()212#231 的幂级数。将下列函数展开成的麦克劳林

44、级数。和求chxshxBp1#2310!) 1(1212nnnxxxneechx),()!2(102xxnnn的麦克劳林级数。求xtdtexFBp02)(2#2310!1nnxxne提示：0202!) 1()(!12nnnnnxxnxne xnnnxtdttndtexF0020!) 1()(2012!) 12() 1()(nnnxnnxF级数。求下列函数的麦克劳林3#231Bp级数。求下列函数的麦克劳林3#231Bp级数。求下列函数的麦克劳林3#231Bp级数。求下列函数的麦克劳林3#231Bp的值。，求系数的傅立叶级数展开式为设函数3102)sincos(2)()(1#243bnxbnxaa

45、xxxxfApnnnxdxxfb3sin)(13提示：xdxxx3sin12xdxxxdxx3sin13sin203sinxdxx3cos33sin91xxx32处的收敛值。的傅立叶级数在求区间上的定义为的周期函数，它在是周期为设1)(10012)( 1 , 12)(2#2433xxfxxxxfxfAp2)01 ()01 (1)(ffxxf等于处的收敛值的傅立叶级数在提示：由收敛定理，2)01()01 (, 1)01 (fff。为处的收敛值的傅立叶级数在所以232)01 ()01 (1)(ffxxf展开成正弦级数。将)0(2)(3#243xxxfAp展开成正弦级数。将)0(2)(3#243xx

46、xfAp展开成余弦级数。将22)(4#243xxfApBp243)()(12#244xexfBpx）叶级数。将下列函数展开成傅立提示：利用公式nxdxeaxncos1|1)cossin(12nnxnxnex) 1()() 1(2neennxdxebxnsin1|1)cos(sin12nnxnnxex) 1()() 1(21neenn)()(12#244xexfBpx）叶级数。将下列函数展开成傅立10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf所以1212sin) 1()() 1(cos) 1()() 1(2nnnnxneennxneeeexxexfBpx010)(22#243）叶级数。将下列

47、函数展开成傅立xxexfBpx010)(22#243）叶级数。将下列函数展开成傅立xxexfBpx010)(22#243）叶级数。将下列函数展开成傅立正弦级数。分别展开成余弦级数与将函数lxlxllxxxfBp220)(3#243的余弦级数。展开成周期为将4)20( 1)(4#244xxxfBp提示：利用公式202cos) 1(22dxxnxan0nb200) 1(dxxa20221xx 020222cos42sin) 1(2xnnxnxn 1) 1(422nn 1) 1(422nnxnnxfnn1222cos1) 1(4)(所以1#243总p的幂级数。将下列函数展开成总xp2#243)1ln

48、()1 ()() 1xxxf的幂级数。将下列函数展开成总xp2#243xxf2sin)()2xxxf2cos2121sin)(2提示：nnxnxxxx2642)!2() 1(! 61! 41! 211cosnnxnxxxx2642)!2()4(! 664! 416! 2412cosnnxnxxxxf2642)!2(2)4(! 632! 48! 22)(3#243总p3#243总p3#243总p3#243总p式求下列极限：利用函数的幂级数展开总 4#243pln) 1ln(lim) 1nnnn)11ln(limln) 1ln(limnnnnnnn提示：nnn1)11ln(limxxx)1ln(l

49、im0nxxxxnn 12) 1(2)1ln(xnxxxnnx120) 1(2lim原式1式求下列极限：利用函数的幂级数展开总 4#243p)11ln(lim)22xxxx收敛。证明级数设总121)1 ()1)(1 (, 06#243nnnnaaaaap的敛散性。用积分判别法讨论级数总 7#243p12111nn）的敛散性。用积分判别法讨论级数总 7#243p1212nnn）收敛。证明级数，若总1212,)0(lim8#245nnnnnnaakkanpkankannnn220lim提示：20nkan收敛。收敛12|nnank01nnnaa 收敛1|na|2nnaa 收敛12nna.2)!1(:

50、9#2451ennpn证明级数总11)!1()(nnxnnxf提示：考察幂级数110)!1()(nnxtnnxf1)!1(1(nnxn11)!1(1(nnxnx)(xxexex) 1( efnnn2) 1 ()!1(1发散。时，收敛，时，证明：且设级数总111111.lnlnlim),0(:10#245nnnnnnnnnaqaqqnaaap级数的对数判别法。提示：此题给出了正项qnqnnnanqna11lnlnlim1收敛。收敛，时，nqqnannaq111发散。发散，时，nqqnannaq111数。的收敛域，并求其和函求幂级数总1121:11#245nnnxnp提示：先求收敛半径。2211limnnnnR为调和级数，发散。时，级数当1212nnx为交错级数，时，级数当12) 1(2nnnx判别法知其收敛。由Leibniz)2 , 2所以收敛域为数。的收敛域，并求其和函求幂级数总1121:11#245nnnxnp1121)(nnnxnxf设nnnxnx1211dttnxxnnn 01)21(1dttxx0211xtx0|2|