2019平的微积分第二章28洛必达法则ppt课件

1、第八节第八节 洛必达法则洛必达法则洛洛必必达达法法则则型型未未定定式式解解法法型型及及二二、:00 型未定式解法型未定式解法三、三、00,1,0,0 未定式定义未定式定义一、一、一、未定式定义一、未定式定义, 0)(lim, 0)(lim. 100 xgxfxxxx若若.)()(lim0型未定式型未定式为为则称则称xgxfxx,)(lim,)(lim. 200 xgxfxxxx若若.)()(lim0型未定式型未定式为为则称则称xgxfxx,)(lim, 0)(lim. 300 xgxfxxxx若若.)()(lim0型未定式型未定式为为则称则称xgxfxx 00 0,tanlim0 xxx例如例

2、如,例如例如,sinlnsinlnlim0bxaxx例如例如,lnlim0 xxx ,)(lim,)(lim. 400 xgxfxxxx若若.)()(lim0型型未未定定式式为为则则称称xgxfxx ,)(lim, 1)(lim. 500 xgxfxxxx若若.)(lim)(0型型未未定定式式为为则则称称xgxxxf, 0)(lim, 0)(lim. 600 xgxfxxxx若若.)(lim)(0型型未未定定式式为为则则称称xgxxxf, 0)(lim,)(lim. 700 xgxfxxxx若若.)(lim)(0型型未未定定式式为为则则称称xgxxxf例如例如,),111(lim0 xxex例

3、如例如,)(coslim10 xxx例如例如,limsin0 xxx例如例如,)1(limtan0 xxx 1000 洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及:00 定理定理:, 0)(,)(, )(0又又满满足足条条件件且且邻邻域域内内可可导导的的某某去去心心在在点点设设函函数数 xgxxgxf;0)(lim)(lim)1(00 xgxfxxxx),()()(lim)2(0 或为无穷大或为无穷大存在存在xgxfxx.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 有有那那末末定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来

4、确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .二、二、证证定义辅助函数定义辅助函数, 0),()(001 xxxxxfxf, 0),()(001 xxxxxgxg,),(0 xxUo内内任任取取一一点点在在 ,0为为端端点点的的区区间间上上与与在在以以xx,)(),(11件件满足柯西中值定理的条满足柯西中值定理的条xgxf则有则有)()()()()()(00 xgxgxfxfxgxf )()( gf )(0之间之间与与在在xx ,00 xxx 时时当当,)()(lim0Axgxfxx ,)()(lim0Agfx .)()(lim)()(lim00Axgxfx

5、gxfxxxx 000(1),.xxxxxxxxx将换成及该法则仍然成立即即继继续续使使用用洛洛必必达达法法则则则则可可所所满满足足的的条条件件满满足足定定理理中中且且型型未未定定式式仍仍为为若若,)(),()(, )(,00)()(lim)2(0 xgxfxgxfxgxfxx 几点说明几点说明:.)()(lim)()(lim)()(lim000 xgxfxgxfxgxfxxxxxx 并且可以依次类推并且可以依次类推, ,直到求出所要求的极限为止直到求出所要求的极限为止. .例例1 1解解.123lim2331 xxxxxx求求12333lim221 xxxx原原式式266lim1 xxx.2

6、3 )00(不是未定式不是未定式, ,不能用法则不能用法则例例2 2解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx . 1 )00(考虑考虑: 如何求如何求 nnn12arctanlim( n 为正整数) ?例例3 3.sin2lim0 xxxeexxx 求求)00(解解xeexxxcos12lim0 原式原式)00(xeexxxsinlim0 )00(xeexxxcoslim0 不是未定式不是未定式, ,不能用法则不能用法则2 :, 0)(,)(, )(0又又满满足足条条件件且且邻邻域域内内可可导导的的某某去去心心在在点点设设函函数数 xgxxgx

7、f;)(lim)(lim)1(00 xgxfxxxx),()()(lim)2(0 或为无穷大或为无穷大存在存在xgxfxx.)()(lim)()(lim00 xgxfxgxfxxxx 有有那那末末定理定理2例例4 4解解. )0, 0(sinlnsinlnlim0 babxaxx求求axbxbbxaxaxsincossincoslim0 原原式式. 1 )( bxaxxcoscoslim0 例例5 5解解.1)1ln(lim2xexx 求求)( 211limxxeexxx 原式原式21lim1limxxeexxxx . 1 不是未定不是未定式式, ,不能用不能用法则法则例例6 6解解.3tan

8、tanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( 例例6 6解解.3tantanlim2xxx 求求xxxxx3sin3coscossinlim2 原式原式xxxsin3sin3lim312 xxxcos3coslim312 . 3 )( xxxsin3sinlim2 注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法结合使用，效果更好但与其它求极限

9、方法结合使用，效果更好. .例例7 7解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原原式式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310 .31 例例8. 求求. )0(lnlimnxxnx解解:原式11limnxxxnnxxn1lim0例例9. 求求解解: (1) n 为正整数的情形为正整数的情形.原式0 xnxxnelim1xnxxnne) 1(lim22. )0(elim, 0nxxnx型型洛洛xnxne!lim洛洛洛洛例例9. 求求. )0(elim, 0nxxnx(2) n 不为正整数的情形.nx从而xnxexk

10、xexkxe1由(1)0elimelim1xkxxkxxx0elimxnxx用夹逼准则kx1kx存在正整数 k , 使当 x 1 时,1xt 那么2011221limtttt例10 求xxxxx122lim23解解: 令令原式tt2lim0 21)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41洛洛洛洛练习练习解解.)11ln(1arcsin2lim21xxxexx 求求)1ln(1arcsin2lim20ttett 原式原式)00(,1 xt 令令,00 , tx有有时时则则ttttett21)1(1222lim20 tettt124lim2230 2 ttt有有

11、时时当当)ln(1,00 应用洛必达法则注意事项应用洛必达法则注意事项:. 00, 00. 1则则型”后才可用洛必达法型”后才可用洛必达法或“或“型”型”等变形化为“等变形化为“其他型未定式要通过恒其他型未定式要通过恒极限极限求求型”未定式才可用法则型”未定式才可用法则型”“型”“只有“只有“ .)()(lim,)()(lim,)()(lim)()(lim,. 20000不存在不存在不能推出不能推出不存在时不存在时但当但当存在存在存在一定有存在一定有即即分非必要的分非必要的洛必达法则的条件是充洛必达法则的条件是充xgxfxgxfxgxfxgxfxxxxxxxx 例例1111解解.coslimx

12、xxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。)cos11(limxxx 原原式式. 1 注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件3.3.应用洛必达法则求极限时应用洛必达法则求极限时, ,如果出现其乘积如果出现其乘积因式的极限一求导且不为因式的极限一求导且不为0,0,可把此因子提取出可把此因子提取出, ,对余下的因式应用洛必达法则对余下的因式应用洛必达法则. .4. 4. 洛必达法则可连续用洛必达法则可连续用, ,但一定要步步检查但一定要步步检查( (是否为是否为 ),),5.5.计算过程中可与各种求极限的方

13、法结合使用计算过程中可与各种求极限的方法结合使用. .型”型”“ 00型”型”或“或“ 步步整理步步整理( (如约去如约去公因子公因子, ,提出有确定极限的因子提出有确定极限的因子).).三、三、型型未未定定式式解解法法00,1 ,0 ,0 例例1 1解解.lim2xxex 求求)0( xexx2lim 原原式式2limxxe 2limxxe . 关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 . .),00()( 型型 0. 1步骤步骤:,10 .0100 或或例例2 2).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101 .0000 型型

14、 . 2步骤步骤:练习：练习：).2,(11lim1的整数的整数均为大于均为大于求求nmxnxmnmx )( )1)(1()1()1()1(lim1121 nmmnxxxxxxxnxm原原式式21)1()1()1(lim1 xxnxmmnmnx)1(2lim1111 xxmnxmnmnmnx)1(2lim111 xxxnmx2)1()1(lim221 nmxxnxm2nm 步骤步骤:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 例例3 3解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xx

15、xe1lnlim0 例例4 4解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe.1 e例例5 5解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取取对对数数得得xxxln)ln(cotlim0 xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式xxe1lim1 例例6 6解解.)12(lim1112 xxxxe求求)1( 1)12ln(112lim xexxxe原式原式, 2 .2e 原式原式1)12ln(lim121 xexxxe

16、1)12ln(lim121 xexxx1)12ln(limlim1121 xexxxx122lim111 xxxee0 例例7 7解解.lnlim0 xxmx 求求)0( mxxx lnlim0原式原式110lim mxxmxmxmx 0lim内容小结内容小结洛必达法则洛必达法则型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111fggflne思考与练习思考与练习1. 设设)()(limxgxf是未定式极限 , 假如)()(xgxf是否)()(xgxf的极限也不存在 ? 举例说明 .极限不存在 , )1ln()cos1 (cossin3lim. 2120 xxxxxx说明3) 原式xx

17、xxx120cossin3lim21xxx)1ln(0时，)03(2123分析分析:2cos1x分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161xxxxxx20sin)sin(coslim洛洛四、注意 . 1必达法则必达法则不是未定式不可使用洛不是未定式不可使用洛2.,. 数列未定式不可直接使用 洛必达法则 应先化成一般函数未定式 再使用法则例例.12lim22nnnnn 求求)1( 解解xxxxx 12lim22 12lnlim22xxxxxexxxxxe1

18、)1ln()2ln(lim22 2 e.2 e原式原式五、小结洛必达法则洛必达法则型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取对对数数令令gfy 思考题思考题设设)()(limxgxf是是不不定定型型极极限限，如如果果)()(xgxf 的的极极限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的极极限限也也一一定定不不存存在在？举举例例说说明明.思考题解答思考题解答不一定不一定例例,sin)(xxxf xxg )(显然显然 )()(limxgxfx1cos1limxx 极限不存在极限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 极限存在极限存

19、在一、一、 填空题：填空题：1 1、 洛必达法则除了可用于求洛必达法则除了可用于求“00” ，及” ，及“ ”两种”两种类型的未定式的极限外，也可通过变换解决类型的未定式的极限外，也可通过变换解决_，_，_，_，_，等型的未定式，等型的未定式的求极限的问题的求极限的问题. .2 2、 xxx)1ln(lim0 =_.=_.3 3、 xxx2tanln7tanlnlim0=_.=_.练练 习习 题题二、二、 用洛必达法则求下列极限：用洛必达法则求下列极限：1 1、22)2(sinlnlimxxx ； 2 2、xxxarctan)11ln(lim ；3 3、xxx2cotlim0； 4 4、)11

20、12(lim21 xxx；5 5、xxxsin0lim ； 6 6、xxxtan0)1(lim ；7 7、xxx)arctan2(lim . .三、三、 讨论函数讨论函数 0,0,)1()(2111xexexxfxx当当当当, , 在在处处点点0 x的连续性的连续性. .一、一、1 1、00,0,1,0 ； 2 2、1 1； 3 3、1.1.二、二、1 1、81； 2 2、1 1； 3 3、21； 4 4、21； 5 5、1 1； 6 6、1 1； 7 7、 2e. .三、连续三、连续. .练习题答案练习题答案补充题例例1 1.lnlimnxxx求求)( 例例2 2.limxnxex求求)( 例例3 3).1ln(lnlim0 xxx 求求)0( 例例4 4.cossin1lim20 xxxxx 求求例例5 5.)1(2coscos1lim0 xxexxx求求例例6 6.)1(lim10 xexxx 求求例例7 7).1sin1(lim2