矢量分析-13ppt课件

1、矢量分析与场论矢量分析与场论第1-1页工程数学矢量分析与场论(第3版)矢量分析与场论矢量分析与场论第1-2页主要内容主要内容 重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同重点阐述梯度、散度、旋度三个重要概念及其在不同坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包坐标系中的运算公式，它们三者之间的关系。其中包括两个重要定理：即括两个重要定理：即 Gauss theorem Gauss theorem 和和 Stokes Stokes theoremtheorem以及运算的重要公式。以及运算的重要公式。1.矢性函数的运算规则矢性函数的运算规则2.矢性函数及性质极限、连续、导数、微分、积分）矢性函

2、数及性质极限、连续、导数、微分、积分）3.场论梯度、散度、旋度）场论梯度、散度、旋度）矢量分析与场论矢量分析与场论第1-3页第一章第一章 矢量分析矢量分析1.1 1.1 矢性函数矢性函数1.2 1.2 矢性函数的导数与微分矢性函数的导数与微分1.3 1.3 矢性函数的积分矢性函数的积分矢量分析与场论矢量分析与场论第1-4页1.1 1.1 矢性函数矢性函数1. 标量与矢量标量与矢量一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量Scalar），）， 例如，例如， 电压、温度、时间、质量、电荷等。电压、温度、时间、质量、电荷等。 实际上，实际上， 所有实所有实数

3、都是标量。数都是标量。 一个有大小和方向的物理量称为矢量一个有大小和方向的物理量称为矢量(Vector) ， 电场、磁场、电场、磁场、力、速度、力矩等都是矢量。力、速度、力矩等都是矢量。一个大小为零的矢量称为空矢一个大小为零的矢量称为空矢Null Vector或零矢或零矢Zero Vector），一个大小为），一个大小为1的矢量称为单位矢量的矢量称为单位矢量Unit Vector）。）。在直角坐标系中，用单位矢量在直角坐标系中，用单位矢量i、j、k表征矢量分别沿表征矢量分别沿x、y、 z轴分量的方向。轴分量的方向。 矢量分析与场论矢量分析与场论第1-5页矢量：矢量：模的计算：模的计算：222|

4、xyzAAAA单位矢量：单位矢量：方向角与方向余弦：方向角与方向余弦：,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyxzoyxAxAyAzA(1)矢量的定义矢量的定义kAjAiAzyxAkjikAAjAAiAAAzyxcoscoscos0矢量分析与场论矢量分析与场论第1-6页(2)矢量的代数运算法则矢量的代数运算法则矢量的和或差矢量的和或差: （Vector addition or subtraction）kBAjBAiBABAzzyyxx)()()(矢量分析与场论矢量分析与场论第1-7页a. a. 标量积点积）标量积点积） | |cosA BABBA有两矢量点积：结论: 两矢量点积等于对应分

5、量的乘积之和。)()(zzyyxxzzyyxxeBeBeBeAeAeABAzzyyxxBABABA 交换律：交换律：ABBA 分配律：分配律：CABACBA)( 与数量点积：与数量点积：)()(BAkBAk 特殊的点积：特殊的点积：同向、反向、正交同向、反向、正交矢量的相乘：矢量的相乘：矢量分析与场论矢量分析与场论第1-8页ABACB 大小：大小：方向：方向：CABACBA)(与数量叉积：与数量叉积：)()(BAkBAk 特殊的叉积：特殊的叉积：平行：平行：),sin(|BAABCC右手定则右手定则分配律：分配律：正交：正交：0BAABBA|b.b.矢量积叉积）矢量积叉积） )(ABBA 不服

6、从交换律：不服从交换律：在直角坐标系中：在直角坐标系中：xyzzyeBABA)(yzxxzeBABA)(zxyyxeBABA)( zyxzyxzyxBBBAAAeeeBA矢量分析与场论矢量分析与场论第1-9页c.c.三重积三重积 三个矢量相乘有以下几种形式：()A B C矢量，标量与矢量相乘。()ABC标量，标量三重积。矢量，矢量三重积。 标量三重积标量三重积法则：在矢量运算中,先算叉积,后算点积。定义：|sincosA BCA B C()ABC含义：标量三重积结果为三矢量构成的平行六面体的体积 。ABChB C 矢量分析与场论矢量分析与场论第1-10页注意：先后轮换次序。在直角坐标系中：矢量

7、三重积矢量三重积 ()()()ABCA C BA B C ()()()VABCCABBCAABChB CzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxCCCBBBAAACCCBBBeeeeAeAeACBA)()(矢量分析与场论矢量分析与场论第1-11页2. 矢性函数的概念矢性函数的概念定义定义 设有数性变量设有数性变量t和变矢和变矢A，如果对于，如果对于t，在某个范围，在某个范围G内的每一个数值，内的每一个数值，A都以一个确定的矢量和它对应，则都以一个确定的矢量和它对应，则称称A为数性变量为数性变量t的矢性函数，记作的矢性函数，记作 A=A(t)并称并称G为矢性函数为矢性函数A的定义域。的定

8、义域。在直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成在直角坐标系中，用矢量的坐标表示法，矢函数可写成 ktAjtAitAtAzyx)()()()(即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。即在空间直角坐标系下，一个矢函数相当于三个数性函数。 矢量分析与场论矢量分析与场论第1-12页3. 矢端曲线矢端曲线本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把本章所讲的矢量均指自由矢量，所以，以后总可以把A(t)的的起点取在坐标原点。这样当起点取在坐标原点。这样当t变化时，变化时，A(t)的终点的终点M就描绘出就描绘出一条曲线一条曲线l，称为矢函数，称为矢函数A(t)的矢端曲线，也称为矢函数的

9、矢端曲线，也称为矢函数A的的图形。同时称图形。同时称1.1式或式或1.2式为此曲线的矢量方程。式为此曲线的矢量方程。原点也称为矢端曲线的极。原点也称为矢端曲线的极。由于终点为由于终点为M(x,y,z) 的矢量的矢量OM对于原点对于原点O的矢径为的矢径为 kzj yi xOMr)(),(),(tAztAytAxzyx当把当把A的起点取在坐标原点时，的起点取在坐标原点时，A实际上就成为其终点的矢径实际上就成为其终点的矢径 xyzolM)(tA矢量分析与场论矢量分析与场论第1-13页4. 矢性函数的极限和连续性矢性函数的极限和连续性极限的定义极限的定义 设矢函数设矢函数A(t)在点在点t0的某个邻域

10、内有定义但的某个邻域内有定义但在在t0处可以无定义），处可以无定义），A0为一常矢。若对于任意给定的正为一常矢。若对于任意给定的正数数，都存在一个正数，都存在一个正数，使当，使当t 满足满足就有就有00tt0)(AtA成立，则称成立，则称A0为为A(t)当当 时的极限，记作时的极限，记作 0tt 0)(lim0AtAtt矢量分析与场论矢量分析与场论第1-14页极限运算法则：极限运算法则： 若设若设ktAjtAitAtAzyx)()()()(则有则有ktAjtAitAtAzttyttxtttt)(lim)(lim)(lim)(lim0000即求一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。即求

11、一个矢函数的极限可以归结为求三个数性函数的极限。矢量分析与场论矢量分析与场论第1-15页连续性的定义连续性的定义 若矢函数若矢函数A(t)在点在点t0的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，且有且有)()(lim00tAtAtt则称则称A(t)在在 t = t0 处连续。处连续。 矢函数矢函数A(t)在在t0 处连续的充分必要条件是它的三个处连续的充分必要条件是它的三个坐标函数坐标函数Ax(t)，Ay(t)，Az(t)都在都在t0处连续。处连续。 若矢函数若矢函数A(t)在某个区间内的每一点处都连续，则在某个区间内的每一点处都连续，则称函数称函数A(t)在该区间内连续。或称在该区间内连续。或称

12、A(t)是该区间内的连是该区间内的连续函数。续函数。 一个矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分，用三个有序一个矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分，用三个有序数性函数的极限、连续、导数、微分、积分来描述或表示）。数性函数的极限、连续、导数、微分、积分来描述或表示）。 矢量分析与场论矢量分析与场论第1-16页ktAjtAitAtAzyx)()()()(1.2 1.2 矢性函数的导数与微分矢性函数的导数与微分1. 矢性函数的导数矢性函数的导数(导矢导矢)假假设设且函数且函数A x (t) ，A y(t)，A z(t)在点在点t可导，则有可导，则有 kdtdAjdtdAidtdAkttAjttA

13、ittAttAdttAdzyxztytxtt)(lim)(lim)(lim)(lim)(0000ktAjtAitAtAzyx)()()()(即即矢函数的导数计算转化为三个数性函数的导数计算。矢函数的导数计算转化为三个数性函数的导数计算。矢量分析与场论矢量分析与场论第1-17页例例 已知已知r(t)=etcost i+etsint j+et k ，求导矢，求导矢r(t)。解解 kejtteittekejteitetrtttttt)cos(sin)sin(cos)()sin()cos()(证明证明 )(cossin)(sin)(cos)(1ejijie)(sincos)(cos)sin()(1ei

14、ijie例例 设设 jiejiecossin)(,sincos)(1证明证明 e()= e1(), e1()= -e()，及，及e()e1()xyo)(e)(1e矢量分析与场论矢量分析与场论第1-18页0cossin)sin(cos)()(1ee)()(1ee所以所以 容易看出，容易看出，e()为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位为一单位矢量，故其矢端曲线为一单位圆，因此又叫圆，因此又叫e()圆函数；与之相伴出现的圆函数；与之相伴出现的e1()亦为亦为单位矢量，其矢端曲线亦为单位圆。单位矢量，其矢端曲线亦为单位圆。2. 导矢的几何意义导矢的几何意义xyzolM)(tA)(tA导矢在几何上为一矢端

15、曲线的导矢在几何上为一矢端曲线的切向矢量，指向对应切向矢量，指向对应t值增大的一值增大的一方。方。矢量分析与场论矢量分析与场论第1-19页矢性函数的导数公式矢性函数的导数公式设矢函数设矢函数A(t),B(t)及数性函数及数性函数u(t)在在t的某范围内可导，那么的某范围内可导，那么()d A BdBdAABdtdtdt()d A BdBdAABdtdtdt)(0) 1 (为常矢CCdtddtBddtAdBAdtd)(2）（为常数）（）（kdtAdkAkdtd)(3dtAduAdtduAudtd)(4）（dtduduAddtAd（5）（6）（7复合函数求导：A=A(u), u=u(t)矢量分析与

16、场论矢量分析与场论第1-20页3. 矢性函数的微分矢性函数的微分kdttAjdttAidttAdttAAdzyx)()()()(kdAjdAidAAdzyx或或 例例 设设r()=acosi+bsinj,求求dr及及 dr 。解解 djbiajdbidajbdiadrd)cossin(cossin)sin()cos(|cossin)cos()sin(|222222dbadbdardxyzolM)(tA)(tA)0(dtAd)0(dtAd矢量分析与场论矢量分析与场论第1-21页曲线的弧微分曲线的弧微分0ds0dsxyzolM)(tAM0如果矢函数如果矢函数A(t)=Ax(t)i+Ay(t)j+A

17、z(t)k看作其终点看作其终点M(x,y,z)的矢径函数的矢径函数kzj yi xr这里，这里， )(),(),(tAztAytAxzyxkdzjdyidxrd其模为其模为222)()()(dzdydxrd另一方面，若在有向曲线另一方面，若在有向曲线l上，取定一点上，取定一点M0作为计算弧长作为计算弧长s的起点，并以的起点，并以l之正向作为之正向作为s增大的方向，则在增大的方向，则在l上任一点上任一点M处，处，弧长的微分是弧长的微分是222)()()(dzdydxds| dsrd矢量分析与场论矢量分析与场论第1-22页dr/ds的几何意义的几何意义|dsdsrddsdsrdrd有有1rdsdd

18、srd矢函数对其矢端曲线弧长矢函数对其矢端曲线弧长 s的导数的导数 在几何上为一在几何上为一切向单位矢量，恒指向切向单位矢量，恒指向s增大的一方。增大的一方。由由dsrd曲线的切向单位矢量曲线的切向单位矢量dtrddtrddtdsdtrddsrd矢量分析与场论矢量分析与场论第1-23页例例 求圆柱螺旋线求圆柱螺旋线 的切向单位矢量的切向单位矢量。 ktjti tr4sin3cos3解解 kjti tr4cos3sin354)cos3()sin3(222ttrkjti trr54cos53sin53例例 导矢的物理意义。设质点导矢的物理意义。设质点M在空间运动，其矢径函数在空间运动，其矢径函数r

19、=r(t)。 vdtdsdsrddtrdxyzolM)(trM0svdtrdv即速度矢量22dtrddtvdw加速度矢量v矢量分析与场论矢量分析与场论第1-24页1.3 1.3 矢性函数的积分矢性函数的积分1. 矢性函数的不定积分矢性函数的不定积分dttAkdttAjdttAidttAzyx)()()()(CtBdttA)()(其中其中C为任意常矢。为任意常矢。矢函数的不定积分计算转化为求三个数性函数的不定积分。矢函数的不定积分计算转化为求三个数性函数的不定积分。具有与数性函数不定积分类似的性质。具有与数性函数不定积分类似的性质。CeCueduuede) 1()()() 1(22112例例 计

20、算计算 de) 1(22解解 用换元法，令用换元法，令u=2+1，那么，那么矢量分析与场论矢量分析与场论第1-25页例例 若质点运动的方程是若质点运动的方程是r=r(t)，当质点运动的加速度为，当质点运动的加速度为i (6cost) +j(4sint)+ke-t，求，求r(t)与速度与速度v(t)，其中，其中r(0)=0。dtrdv加速度为加速度为 22dtrddtvdw解解 )()cos4()sin6()sin4(cos6321cekctjctidtektdtjtdtidtwvtt质点速度为质点速度为例例 计算积分计算积分 deA)()(解解 用分部积分法用分部积分法CeedeeeddeA)

21、()()()()()()(1111矢量分析与场论矢量分析与场论第1-26页由于由于v(0)=0，因而，因而c1=0, c2=4, c3=1，即，即) 1()4cos4()sin6(tektjtiv)()4sin4()cos6() 1()4cos4(sin6321ktekkttjktidtekdttjtdtidtvrtt由于由于r(0)=0，因而，因而k1=6 , k2=0 , k3=-1，于是，于是) 1()4sin4()6cos6()(tekttjtitrt矢量分析与场论矢量分析与场论第1-27页2. 矢性函数的定积分矢性函数的定积分21212121)()()()(TTzTTyTTxTTdttAkdttAjdttAidttA)()()(1221TBTBdt