常利率下带干扰的双险种风险模型

1、第22卷 第1期 湖 南 文 理 学 院 学 报（自 然 科 学 版） Vol. 22 No. 1 2010年3月 Journal of Hunan University of Arts and Science(Natural Science Edition) Mar. 2010doi：10.3969/j.issn.1672-6146.2010.01.003常利率下带干扰的双险种风险模型吕伟春, 陈新美(长沙理工大学 数学与计算科学学院, 湖南 长沙, 410114)摘 要：讨论了一类常利率下带干扰，索赔额为Poisson过程和负二项分布的风险模型，并得出了模型的最终破产概率和Lundberg

2、不等式.关键词：负二项分布；破产概率；常利率；Poisson过程；Lundberg不等式中图分类号：O 211.67 文献标识码：A 文章编号：1672-6146(2010)01-0007-03A risk model of double-type-insurance perturbed by diffussion underthe constant interestLV Wei-chun, CHEN Xin-mei(College of Mathematic and Computing Science, Changsha University of Science and Technolog

3、y,Changsha, Hunan, 410114, China)Abstract: A kind of risk model is discussed, which is perturbed by diffussion under the constant interest , the claims are confined to poisson process and negative binomial process. Then,the lundbergs inequality and the formula of ruin probability are obtained.Key wo

4、rds: negative binomial process；ruin; constant interest; poisson process; Lundbergs inequalityN1(t)i=1N2(t)j=1经典风险理论主要处理保险事务中的随机问题，这方面的研究已经取得了一系列的成果1-5. 经典风险模型中为含时间因素的长期聚合盈余过程，用随机过程模型来描述保险人盈余的变化过程，并忽略利率、税收、通货膨胀等因素，考虑经典模型存在的局限性，本文对常利率下带干扰的双险种风险模型进行了讨论.S(t)=ct(1+i)XiYj+W(t).c为单位时间内(1) u是保险公司的初始资本，收取的保费

5、，i为投资利率(常利率).(2) Xi表示险种索陪额，且Xi,i1为取正 值的独立同分布随机变量序列，N1(t)表示时间段(0,t内险种的赔付总次数服从参数为t的泊松 分布.(3) Yj表示险种II的索陪额，且Yj,j1为取 正值的独立同分布随机变量序列，N2(t)表示时间 段(0,t内险种II的赔付总次数服从参数为(t,p)的 负二项分布.(4) (Wt)是一个标准的Winner过程，它表示不1 模型的建立定义1 设u>0, 0,c> 0,> 0>, t0给定概 率空间(,F,P)，令 U(t)=(u+ct)(1+i)N1(t)i=1XiN2(t)j=1Yj+W(t)

6、，收稿日期：2009-12-28基金项目：湖南省教育厅科技基金资助项目(07C077)作者简介：吕伟春(1984-), 男, 硕士研究生, 主要从事金融风险随机研究.8 湖 南 文 理 学 院 学 报（自 然 科 学 版） 2010年确定收益和付款，其中为干扰因子.为讨论方便，有如下假设. Xi,i1, Yj,j1, N1(t),t0,N2(t),(r)pMYdg(r)=c(1+i)+MX(r)+2r， d1Y()dg(r)q|r=0=c(1+i)+1+2<0， d2g(r)=MX(r)+ dr2t0, 0W(t),t相互独立. 为了保证公司稳定经营，假设单位时间内平均保费收入大于平均理

7、赔额. 假设Xi, Yj它们的一二阶矩都存在，且(r)2qMY(r)(1qMY(r)+q2(MY+2，EX=2Y22i=1，EYj2，EXi=21，Ej=2，则有如下性质：i) S(t), t0是一平稳独立增量过程. ii) 由上述假设有ES(t)=Ect(1+i)N1(t)NX2(t)W(t)=ct(1+i)1ti=1Ypij+j=1t2>0，得相对安全负荷系数=c(1+i)1>0.1+2定义2 破产时刻为T=inft:U(t)<0，破产概率为(u)=PT<|U(0)=u.2 主要结果引理1 对于盈余过程S(t), t0存在函数g(r)，使得EerS(t)=etg(r

8、).N证明 E1(t)erS(t)=Eexp(r(ct(1+i)Xii=1N2(t)Yj+W(t)=Eexp(rct(1+i)j=1N1(t)NEexp(rXEexp(r2(t)i)Yj) i=1j=1Eexp(rW(t)=erct(1+i)et(MX(r)1)22(p1)tre2=etg(r)， Y(其中MX(r)，MY(r)分别是Xi，Yj的矩母函数g(r)=rc(1+i)+(MpX(r)1)+ln1)+Y(2r2. 引理2 r的方程rc(1+i)+(Mr)1)+lnp2r2X(1)+2=0Y(存在唯一的正解R，称R为调节系数.证明 (0)g=0，Yd2g(r)2qMY(0)p+q22dr

9、2|r=0=1+(1q)+2>0. 又因为limrg(r)=，所以g(r)在(0,)是下凸的，g(r)=0有两个解，除去平凡解r=0，另存在唯一 的正解记R，证毕.引理3 对盈利过程S(t), t0定义事件流 FNt1=(N1(s), ),st FNt2=(N2(s), ),st Fwt=(W(s), )st, 其中Fst=FNt1FNt2Fwt，令(Mu+S(t)u(t)=eretg(r)，则Mu(t)是Fst-鞅(t0). 证明 对于任意vt，由引理1可得EMser(u+S(t)u(t)|Fv=Eetg(r)|Fsv= er(u+S(v)er(S(t)S(Ev)sevg(r)e(tv

10、)g(r)|Fv=Mu(v)，证毕.定理1 对于本文模型，其破产概率为(u)= e(Ru(i+1)EeRU(T)|T<.证明 EerU(t)=EerU(t)|TtP(Tt)+ EerU(t)|T>tP(T>t)=exp(r(u+ct)(1+i)+(M(r)1)+tlnp2r2tX1+)=Y()2exp(r(1+i)u+g(r)t).当r取调节系数R时，有EeRU(t)=eR(1+i)u. 上式 变为eR(1+i)u=EeRU(t)|TtP(Tt)+EeRU(t)|T>tP(T>t).N定义 X(t)1(t)N=Xi，Y(t)=2(t)Yj. 又因为i=1j=1U(

11、t)=U(T)+(U(t)U(T)=U(T)+c(tT)(1+i) (X(t)X(T)(Y(t)Y(T)+(W(t)W(T). 因此 EeRU(t)|TtP(Tt)=第1期 吕伟春, 陈新美 常利率下带干扰的双险种风险模型 9RU(T)Rc(tT)(1+i)+(tT)(MX(R)1)+(tT)lnp2R2+tT)|TtqMY(R)2EeP(0U(t)Q(t)P(U(t)EU(t)>lt)Var(U(t)223P(Tt)=EeRU(T)+(tT)g(R)|TtP(Tt)=EeRU(T)|TtP(Tt).=t.1当t时，limEeRU(T)|TtP(Tt)=lt所以有limP(0U(t)Q(

12、t)=0.ttEeRU(T)|T<(u).下面证明limtEeRU(T)|T>tP(T>t)=0，EU(t)=(u+ct)(1+i)q1t2t， VarU(t)=2t+t2+2tqkq2112p2+2. 令l=(VarU(t)1，Q(t)=(u+ct)(1+i)1tq22tlt，因为ct(1+i)tq12t>0，故当t充分大时，Q(t)>0因此有EeRU(T)|T>tP(T>t)=EeRU(T)|T>t,0U(t)Q(t)P(T>t,0U(t)Q(t)+ EeRU(T)|T>t,U(t)Q(t)P(T>t, U(t)Q(t)P(

13、U(t)<Q(t)+eRQ(t).对上式中的第2项，显然有limeRQ(t)t=0，对于第1项，由切比雪夫不等式综上所述有eRu(1+i)=EeRU(T)|T<(u). i+1)即(u)=e(Ru(EeRU(T)|T<.定理2 上述建立的风险模型U(t),t0最终 破产概率满足Lundberg不等式(u)eRu(1+i)，此式 给出了最终破产概率上界.参考文献：1 Asmusscn S. Risk theory in a Markovian covironmentM.New York: Scand Actuarial S, 1989: 66-100.2 陈东. 标准索赔额下带干扰的破产模型研究J. 湖南文理学院学报: 自然科学版, 2007, 12(4)