常微分方程试题库

1、常微分方程试题库（三）、计算题， (每小题8分) 1. 解方程：； 2. 解方程： ；3. 解方程：； 4. 解方程：=；5. 解方程：； 6. 解方程： ； 7. 解方程：；8. 解方程：；9. 解方程：； 10. 解方程：；11. 解方程：； 12. 解方程：；13. 解方程：； 14. 解方程： ； 15. 解方程： ； 16.  解方程：；17. 解方程： ； 18. 解方程：；19. 解方程：； 20. 解方程： ；21. 解方程： ； 22. 解方程： ；23. 解方程： ； 24. 解方程： ；25. 解方程： ； 26. 解方程： ；27. 解方程：；28. 解方程：

2、  ；29. 解方程： ； 30. 求方程经过（0，0）的第三次近似解.选题说明：每套试题选3个题为宜。（三）、计算题参考答案及评分标准：(每小题8分)1、解：原方程可化为： （2分）令整理得： ， （2分）积分： ， （2分）将代入，原方程的通解为： ，是原方程的常数解. （2分）2、解：是方程的特解，时， （2分）令得 ， （2分）解之得 ， （2分）故原方程的通解为： . （2分）3、解：因为 ， （2分）所以为积分因子，两边乘以得： ， （2分）所以 ， （2分）故原方程的通解为： . （2分）4、=解：原方程可化为： ， （2分）令整理得： ， （2分）积分得：

3、， （2分）将代入，原方程的通解为： . （2分）5. 解方程：解一：令，则，原方程可化为： （2分） ， （2分）积分得： . （2分）将代回得原方程的通解为： . （2分）解二：因为 ， （2分）所以为积分因子，两边乘以得： ， （2分）所以 ， （2分）故原方程的通解为： . （2分）6. 解：原方程可化为： ， （2分）令整理得： ， （2分）积分得： ， （2分）将代入，原方程的通解为： . （2分）7. 解：令，原方程可化为： ， （2分）由一阶线性方程的通解公式 得： （2分） ， （2分）原方程的通解为： （2分） 8. 解：原方程可化为： ， （1分）令得 ， （1分）两边对

4、求导，并以代替，整理得 . （2分）从得，代如可得原方程的一个特解： ， （1分）从解的，代如可得原方程的通解： . （3分）9. 解：原方程可化为：因为 ， （2分）所以为积分因子，两边乘以得： ， （2分）从而有: ， （2分）故原方程的通解为： . （2分）10. 解：原方程可化为：因为 ， （2分）所以为积分因子，两边乘以得： ， （2分）所以: ， （2分）, （1分）故原方程的通解为： . （1分）11. 解：因为 ， （2分）所以为积分因子，两边乘以得： ， （2分）所以: ， （2分）, （1分）故原方程的通解为： . （1分）12. 解：由分析可知 是该方程的一个解， （2分

5、）作变换，原方程可化为 ， （2分）解之得； ， （2分）故原方程的通解为： . （2分）13. 解：因为 ， （2分）所以为积分因子，两边乘以得： ， （2分）所以: ， （2分）, （1分）故原方程的通解为： . （1分）14. 解：原方程可化为：因为， （2分）所以为积分因子，两边乘以得： ， （2分）取有:， （2分）, （1分）故原方程的通解为： . （1分）15. 解：原方程可化为：因为 ， （2分）所以为积分因子，两边乘以得： ， （2分）取有:， （2分）, （1分）故原方程的通解为： . （1分）16. 解：原方程可化为： ， （1分）令得 ， （1分）两边对求导，并以代替，

6、整理得 . （2分）从得，代入可得原方程的一个特解： ， （2分）从解的，代如可得原方程的通解： . （2分）17. 解：原方程可化为： ， （1分）令得 ， （1分）两边对求导，并以代替，整理得 . （2分）解之得： ， （2分）代如可得原方程的通解： . （2分）18. .解：其特征方程为： ， （2分）特征根为： （2分）所以其实基本解组为： （3分）原方程的通解为：. （1分）19. 解： 令得 ， （1分）两边对求导，并以代替，整理得 . （2分）可得： ，与 (1分)解之得: ,与 (2分) 代入得: 为常数解,与通解： . （2分）20. 解： 令，则， （2分）利用得： ， （

7、2分）积分得： ， （2分）将代入得原方程的通解： . （2分）21. 解： 原方程可化为： ， （2分）由得：， （2分）由得：， （2分）故原方程的通解为：. （2分）22. 解：由分析可知 是该方程的一个解， （2分）作变换，原方程可化为 ， （2分）解之得； ， （2分）故原方程的通解为： . （2分）23. 解：其特征方程为： ， （2分）特征根为3重根， （2分）所以其基本解组为： ， （3分）原方程的通解为： . （1分）24. 解： 显然是方程的解， （1分）当时，两边乘以原方程可化为 ， （2分）从而有： ， （1分） ， （2分）解之的： ， （2分） 为原方程的通解. 25. 解：由分析可知 是该方程的一个解， （2分）作变换，原方程可化为 ， （2分）解之得； ， （2分）故原方程的通解为： . （2分）26. 解：其特征方程为： ， （2分）特征根为3重根，. （2分）所以其基本解组为： ， （3分）原方程的通解为： . （1分）27. 解：因为 ， （2分）所以为积分因子，两边乘以得： ， （2分）所以: ， （2分）故原方程的通解为： . （2分）28.  解：其特征方程为： ， （2分）特征根为为2重根，. （2分）所以其基本解组为： ， （3分）