弹性力学基础(程尧舜_同济)课后习题解答,免费

1、 t zx =a G ¶j 3a G 45 3M = ( x - a y = ( x - a y ， ¶y a a5 ¶j a G 15 3M = (3x 2 - 3 y 2 - 2ax = (3x 2 - 3 y 2 - 2ax ¶x 2a 2a 5 t zy = -a G 最大剪应力出现在截面的边界上。由于对称性，出现在每条边上的最大剪应力应该相 等，所以只要求 x - a = 0 这条边上的最大剪应力就可以了，在这条边上，有 M 2 (a - 3 y 2 t zx = 0 ， t zy = 15 3 5 2a 因此最大剪应力为 M t max =

2、15 3 3 2a 。 9.3 半径为 a 的圆截面扭杆有半径为 b 的圆弧槽， 且b 如图 9.12 所示。 求应力分量、 a， 2 2 最大剪应力以及抗扭刚度。提示：两条圆弧的方程是 r - b = 0 和 r - 2acosq = 0 。 B 设应力函数为 j = (r 2 - b 2 (r - 2a cosq 。 r y 解：两条圆弧的方程是 f1 = r 2 - b 2 = 0 和 r f 2 = r - 2a cosq = 0 ，所以猜测应力函数为 q a b B 2 2 j = (r - b (r - 2a cosq A O r 2 上式在截面边界上为零。 将上式代入方程 

3、09; j = -2 ， 可知 B 应取 -1/ 2 ，因此 2 图9.12 j = 1 (b 2 - r 2 + 2ar cosq - 2ab cosq 2 r 用 A* 表示整个大圆的区域，则 A* 和 A 的面积差小于 p b 2 / 2 。 2a D = 2òj dA = ò (2ar cosq - r 2 dA + b 2 ò (1- cosq dA r A A A = ò (2ar cosq - r 2 dA + O(b = A* x p a 4 + O(b 2 应力分量为 t zr =a G 1 ¶j b2 = -a Ga(1-

4、2 sinq r ¶q r 2 ¶j t zq = -a G =a Gr - a(1+ b2 cosq ¶r r 在小圆上，有 36 t zr = 0 ，t zq =aG(b - 2acosq ； 在大圆上，有 (1 2 t zr = -a Ga(1- b2 sinq ，t zq =a Ga(1- b2 cosq 2 由(1和(2式可知，最大剪应力发生在小圆的 q = 0 处，其绝对值为 r r (2 t max =aG(2a -b » 2aGa 。 9.4 已知截面边界为椭圆 x2 y2 + =1 a 2 b2 的杆，扭转刚度为 GD = p a 3b

5、3G ，求上述边界与椭圆 a 2 + b2 ( l 2 >1 x2 y 2 1 + = a 2 b2 l 2 所围成的空心截面杆的扭转刚度。 解：大椭圆所围区域用 A0 表示， 小椭圆所围区域用 A1 ， 截面用 A 表示， A = A0 - A1 。 在 A0 中定义函数 a +b a b (1 2 2 b x2 y 2 j= a (1- 2 - 2 2 2 容易验证上式满足方程 Ñ 2j = -2 ，也满足条件 j c 2 2 b 1 jc = a (1- 2 = K1 = 常数 2 a + b2 l 1 0 =0 和 又 -2 A = òj,bb dA = &#

6、242;j,b nb ds = ò A c ¶j ¶j ¶j ds = ò ds + ò ds ¶n ¶n ¶n c c c 0 1 = òj,bb dA + ò c0 c1 ¶j ¶j ds = -2 A0 + ò ds ¶n ¶n c 1 即 c1 ò ¶n ds = 2( A - A = 2 A1 0 ¶j 所以式(1定义的函数是本问题的应力函数。因为在 c1 上，j - K1 = 0 ，所以根据已知

7、 条件，有 D = 2 K1 A1 + 2òj dA = 2 K1 A1 + 2 ò j dA - 2 òj dA A A0 A1 37 = 2 ò j dA - 2 ò (j - K1 dA = A0 A1 p a 3b3 - p (a / l 3 (b / l 3 = (1- 1 p a 3b3 a 2 + b 2 (a / l 2 + (b / l 2 l 4 a 2 + b2 。 解法二：横截面为大椭圆的实心杆扭转时，因为小椭圆是应力函数的等值线，所以与 小椭圆对应的材料和外部材料之间没有相互作用力，这相当于两根独立的杆件在一起 扭转，

8、因此有 p a3b3 - p (a / l 3 (b / l 3 = (1- 1 p a3b3 。 a 2 + b 2 (a / l 2 + (b / l 2 l 4 a 2 + b2 9.5 一闭口薄壁杆具有图 9.13 所示的横截面，壁厚 d 是常数。试证明：杆扭转时中间腹壁 D = D0 - D1 = 上无剪应力；并导出用扭矩 M 表示的远离角点处的应力公式和单位长度的扭转角。 c0 c1 d c2 a a 图9.13 a 解：应力函数 j 在外边界上的值为零，在左内边界上 c1 的值为 K1 ，在右内边界上 c2 的值为 K 2 。由于壁很薄，由书中的式(9.17可以近似地得到 K1 d ´3a + ´3a + K1 - K 2 d a = 2a 2 ， a = 2a 2 。 K2 d K 2 - K1 d 解上面的方程组，得 2 K1 = K 2 = ad 3 对本问题的薄壁杆，近似地有 8 D = 2 K1 A1 + 2 K 2 A2