旋转几何证明

1、巧用旋转解题温州市实验中学 周利明传统几何中，有许多旋转的例子， 尤其是正方形和等腰三角形中。因此旋转的方法是几何学习中必备的技巧，本文将介绍旋转方法的几种典型用法，与广大读者共同学习、交流。1利用旋转求角度的大小例 1 在等腰直角 ABC中，/ ACB=90 ,AC=BC, P是厶ABC内一点，满足PA=j6、PB=2、PC=1求/ BPC的度数.分析：本题借助常规方法的入手是比较困难的，虽然三条线段的长度是已知的，但是这三条线段不是三角形的三条边长，因此要得到角度的大小是不太容易的，因此我们可以借助旋转来分析问题，因为 AC=BC这就给我们利用旋转A .创造了条件，因此可以考虑将APC绕点

2、C逆时针旋转900,得BPC,连接PP，通过三角形的边与角的关系分别求得CPP和 P PB，就可得到BPC的大小。解：由已知AC=BC将 APC绕点C逆时针旋转900，得BPC,连接 PP ;由旋转可知:P CB ACP ,CP CP , APBP ;P CBPCB ACB900,PCP是等腰直角三角形CPPCP P450 且 PP 2 ,在 P PB 中， PB2 PP 222（、.2）2 66）2AP2 BP 2P PB是直角三角形，且P PB 900,BPC CPPP PB 45900135.例2:如图所示，正方形ABCD勺边长为1, P、Q分别为边AB AD上的点，APQ的周长为2,求

3、 PCQ的大小.分析：本题在已知三角形的周长和正方形的边长的条件下求角度的大小是比较困难的，因为正方形的边长 BC=DC所以可以考虑将PBC绕点C顺时针旋转90 ，易证E、D、Q三点共线，通过证明 ECQ和 PCQ全等即可求得 PCQ的大小.解： BC=DC,将PBC绕点C顺时针旋转EDCCBP90,CE CP ;ECDDCQPCQ且 EDCCDA180,E、D Q三点共线,90 得 EDC ;ECD PCB,PCB DCQED PB ,PCQAPQ的周长为2，即AQ AP PQ又 AQ AP PB QD AB AD 2 ,PQ PB DQ ED DQ EQ ,CECP在ECQ和PCQ中：EQ

4、PQ , ECQPCQ ;CQCQ PCQ ECQ 45 .练习1: P为正方形内一点，且PA=1,BP=2,PC=3,求/ APB的大小.2 利用旋转求线段的长度 例3:如图，P是等边 ABC内一点，PA=2 PB 2J3 , PC=4求BC的长。分析：本题BC虽然和CP BP同处一个三角形， 但是要求其长还缺角度，因此直接从已BA知条件入手是比较困难的，但是我们只要适当运用旋转的方法，就可以是问题简单化；因为本题的 ABC是等边三 角形，所以其三边是相等的，因此联想到将厶 ABC内部的 某个三角形进行旋转也是比较容易的；解： ABC是等边三角形，将厶BPA绕点B逆时针旋转 60,贝U BA

5、与BC重合,ABPEBC 且BP=BE,PA=EC 连接 EP;ABPCBPEBCCBP600 ,EBP是等边三角形，EP PB 2.3在 ECP 中：EP2EC2(2 3)222 16CP2 ；CEP 900,1EC -PC , 2EPC300 ,BPC 900,BCPC2 PB242(2 3)2一 282一7 .例 4:如图，在梯形 ABCD中, AD/BC (BCAD, / D=90, BC=CD=12 / ABE=45 ,若 AE=1(。求CE的长度。CB分析：仔细分析就会发现本题所给的条件不易 直接求得CE的长度，还需要做一些变化，经观察 容易发现把把 BCE绕点B顺时针旋转90,

6、可构成一个正方形，然后通过三角形全等，就找出 边之间的关系。解：把 BCE绕点B顺时针旋转90得 BGF，连接AG，易证A G F三点一线,且易知四边形BCDG为正方形.由旋转可得：CBEGBF, BE BF ,0ABE 45 , ABFABG GBF ABG CBE 45BE BF在 ABE 和 ABF 中： ABE ABF ,AB AB在ABEABF , AEAF10,设CEx,则 AG 10x, ADDGAG 12(10 x) 2 x,2在 Rt ADE , AEDE DC CE 12 x ；2 2 2 2 2AD DE ，即 10 (x 2)(12 x)；x2 10x 24 0 ,解之

7、得：xi 4,X2 6; CE的长为4或6.A练习2:如图四边形 ABCD中, AB=AD / A=Z C=90,其面积为16,求A到BC的距离.分析：由本题的结论不难想到在直角三角形中应用 勾股定理可以证得含有平方关系的线段之间的关系，因此 我们就需要将结论中的这三条线段放到同一个直角三角形中， 由于AD=DC所以可以考虑将 ADB绕点D顺时针方向旋转 使AD和DC重合，这样就可以得到 Rt BCE，然后通过证明DBE解：是等边三角形就可以得到结论中线段之间的关系.将 ADB绕点D顺时针方向旋转 60E，使AD和 DC重合，得 DCE并连接EB ,3利用旋转探求线段之间的关系例 5:如图，在

8、凸四边形 ABCD中, Z ABC=30，/ ADC=60 , AD=DC求证：BD 2 AB2 BC2 .由旋转可得： ADB CDE , DCE DAB, DB DE ;BDE BDC CDE BDC ADE ADC 60, DBE是等边三角形， DB BE ,DCB DCE DCB DAB 270BCE 900, 2 2 2Rt BCE 中：BE2 CE2 BC2 ,2 2 BD2 BE2 CE2 22 BC2.例6 :如图，在 ABC中,Z BAC=90 , AB=AC D、E 在 BC 上，Z DAE=45，求证:CD2 BE2DE2AB=AC,90, FED分析：由本题的结论我们可

9、以联想到直角三角形中勾股定理的结论，因此我们就需要将 结论中的三条线段放在同一个直角三角形中，再由我们不难想到将ADC绕点A延顺时针方向旋转这样我们就将DC、BE放到了同一个三角形中,同时我们也不难证明FBE 90,然后我们只要设法证明AFEAED ,则结论可得.解： AB=AC,ADC绕点A延顺时针方向旋转 90得 AFB，连接EF ,由旋转可得：FABCAD , FBAACD45 ,FB DC,AFAD ；EAD 45,BAECADBAEFABFAE45 ,AF AD在 AFE 和 AED 中:EADFAEAFE AEDAE AE EF ED ,FBE FBAABC ACDABC 9FBE

10、 是 Rt ,BE2 EF2ED2.练习3:如图、 ABC是正三角形, BDC是顶角/ BDC= 120o的等腰三角形，以D为顶点作一个60o角，角的两边分别交 ABAC边于M N两点，连接MN探究：线段BM MN NC之间的关系，并加以证明.4.利用旋转求面积的大小例 7：如图正方形 ABCD中, AB ,3，点 E、F分别在 BGCD上，且/ BAE=3C，/ DAF=15 ,求厶AEF的面积.分析：本题由已知条件直接去求结论是比较困难的,由于该题中含15 , 30等特殊角度，因此通过旋转厶可构作出45角，构造三角形全等，通过等积变形来解决问题是比较容易的。解：将 ADF绕A点延顺时针方向

11、旋转 90得厶ABGADF由旋转性质可知:AG AF , BAG FAD 15,ABG FDA 90,ABG ABC 1800 ,点G B、E三点共线,又GAE GAB BAE 45,EAF 90(1530)45,AG AF在 AFE 和 AGE 中： GAE FAE，二 AFE AGE ;AE AE EF EG，又AEF AEG 6 ,Rt ABE 中：AB3，/ BAE=3 , BE 1 ,在 Rt EFC中，FEC 18 (6 6) 6, EC BC BE , 3 1 , EF 2EC 2( .3 1), EF EG 2(、31),S AEG1 EG AB 1 2(、3 1) . 333

12、 ,2 2S AEFS AEG 33例&如图A、B、C D是圆周上的四个点,Ab Cd Ac ?d .且弦 ab=8,弦 cd=6则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少?分析：从已知条件直接求两个弓形面积难度较大， 抓住已知条件Ab Cd Ac Bd , 容易发现Ab Cd正好是整个圆弧的一半，因此通过将弓形 cmD绕圆心旋转使点d与点b 重合，就可以得到直角三角形，然后求阴影部分的面积就会很容易.解:由于Ab CdAc Bd ,知Ab Cd的长正好是整个圆弧的一半， 将弓形CmD绕圆心旋转，使点 D与点B重合（如图2）:则ABC恰好为半圆弧, ac为e o的直径,由勾股定理可求得AC1,S阴影

13、S半圆SRt ABC521 6 8 12.524.2练习4:如图 ABC是等腰直角三角形，D为AB的中点，AB=2扇形ADG和BDH分别是以AD1BD为半径的圆的丄，求阴影部分面积.4参考答案： 练习1： 135，提示：如图将 BPC逆时针旋转900得 AEB，连接PE，分别求得 APE和 BPE 练习3练习4CDM ，易证练习3: MN NC BM，把 BDM绕点D顺时针旋转 120 得到DMN CDM 1练习4:(1)，将扇形BDHD BDC绕D点顺时针旋转180 2观察巧旋转妙解题沈岳夫旋转是几何图形运动中的重要变换，随着课程改革的进一步深入，利用旋转知识进行有关计算或证明的题目很多，尤

14、其是题目中没有涉及到旋转等文字，使不少学生在解答时无从着手，找不到解题的途径，但如果能根据题目特征加以观察，通过旋转，找到解题的突破口，那么问题就简单化了，现采撷部分试题加以归纳，供参考。一.通过旋转，解答角度问题例1.如图1, P是正三角形 ABC内的一点，且 PA=6 PB=8 PC=10求/ APB的度数。图1解析：先将部分已知条件集中到一个三角形中，再研究这个三角形与所求的关系。将厶PAC绕点A逆时针旋转60后，得到 FAB连接P（如图2）,则BF=PC=10FA=PA=6 / FAP=60o FAP是等边三角形，FP=PA=6 在厶 pbf中，PB 2 +PF2 + (57 =10a

15、 / BPF=90/ APB=/ APF+Z FPB=60 +90 =150图2二.通过旋转，计算线段长度问题例2.如图3,求BC的长。解析：此题乍一看似乎无从着手，但只要运用旋转的方法来解题，就显得十分容易。将厶BPA绕点B逆时针旋转 60 ，贝U BA与 BC重合（如图4） , BP=BM PA=MC连接MP则厶MBP是正三角形，即-,由MP： 4丽（筠八讥护三PC3故Z CMP=90 ,MC= - PC因为-,所以Z MPC=30 ,又因为Z MPB=60 ,故Z CPB=90 ,得P 山 &-例 3.如图 5，在梯形 ABCD中, AD/BC (BCAD,/ D=90, BC=CD=1

16、2 / ABE=45 , 若AE=10。求CE的长度。图5解析：经观察，把 BCE绕点B顺时针旋转90,可构成一个正方形，然后通过三角 形全等，找出边之间的关系。延长0A把厶BCE绕点B顺时针旋转90 ，与DA的延长线分别交于点 G,点M （如图 6），易知四边形 BCDG正方形。 BC=BG又/ =CBE=/ GBM Rt BEC Rt BMG BM=BEZ ABE玄 ABM=45 ABEA ABM AM=AE=10设 CE=x则在 Rt ADE中，一丄I即1 - 一十一4 一所以CE的长为4或6。图6通过旋转，巧算面积问题例4.如图7,正方形ABCD中，AE= ，点e F分别在BG CD上

17、，且/ BAE=30，/ DAF=15，求 AEF的面积。AB图7解析：由于该题中含15，30等特殊角度，通过旋转 ADF可构作出45角，构造 三角形全等，通过等积变形而获解。将厶ADF绕A点顺时针旋转90 到厶ABG的位置（如图8）,由旋转性质可知： AG=AF / BAGM FAD=15 ,故/ GAE=15 +30 =45 。/ EAF=90 -1/ GAEM FAE又 AE=AE AEGA AEF ( SAS EF=EG M AEF=/ AEG=60在 Rt ABE 中，盘 =历，/ BAE=30，贝U BE=1, 在 Rt EFC中，/ FEC=,.J-. -L 二.讣厂 即_卜一.

18、：厂 JSiAEa = lx EG x AB =1x3(75-1)73 = 3- 75 = iJiEG 壬弓 1 羽D图8例5.如图9, A、B、C D是圆周上的四个点，。且弦AB=8,弦CD=4则图中两个弓形（阴影）的面积和是多少？（结果保留三个有效数字）B图9解析：要直接求两个弓形面积难度较大，抓住已知条件，运用整体思维可简易求得。广CCCec由于_.L - JL 一1 1：_，知L_长等于圆的周长的一半， 将弓形CmD绕圆心旋转, 使点D与点B重合（如图10），则二丄一恰好为半圆弧，此时 AC为圆0的直径，从而/ ABC=9C ,由勾股定理可求得丄匚,-吕閃鑫=宰尽-= XX Q右x X

19、 4 R； 15一4故其面积和为15.4。图10四.通过分割、旋转、拼接平行四边形例6.如图11,已知四边形纸片 ABCD现需将该纸片剪成一个与它面积相等的平行四边形 纸片，如果限定裁剪线最多有两条，能否做到： （用“能”或“不能”填空），若填“能”，请确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理 由。解析：解此题的关键是把大四边形分割成四个小四边形，然后通过分割旋转达到目的， 简答如下：能，如图12,取四边形 ABCD各边的中点E、GF、H,连接EF、GH,贝UEF、GH为裁剪线，EF、GH将四边形ABCD分成 1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的 1不动，将2、4分 别绕

20、点H、F各旋转180 , 3平移，拼成的四边形满足条件（如图 13）。图12图13五通过旋转巧证三点一直线例7.已知，点P是正方形 ABCD内的一点，连接 PA PB PCo（1）将厶PAB绕B点顺时针旋转90到厶的位置（如图14） 设AB的长为a, PB的长为b （ba）。求厶PAB旋转到二匚匕的过程中边PA所扫过 区域（图14中阴影部分）的面积。 若 PA=2, PB=4, / APB=135，求 PC的长。图14（2）如图15,若一丄九 - ,请说明点P必在对角线AC上。解析：要说明点 P必在对角线 AC上（即点A、点P、点C三点成一直线）关键是弄懂 第（1）小题的问题，实质第（1）小题

21、的解答过程为第（2）问埋下伏笔，让学生从中受到 启发，运用类比方法就易解答该题，简答如下：(1)图15如图16，连接P二，将 PAB绕B点顺时针旋转90 到二卫 的位置，贝归二二弓二oAP=，/ APB=Z, GF口为等腰直角三角形，.PP PC=6图16(2)将厶PAB绕点B顺时针旋转90至仏的位置(如图17) 则，/ APB二:,连接*，则卜0PA3 + PC2 =2PB:PC2 + PC3 =2PBa.PC3 + PC2 =PP:.ZPCP- SO0ZBPCZBPC-1800.ZAPB +ZBPC =1SO即点P必在对角线AC上。图17六通过旋转探求线段之间的关系例8.如图18, E是正方形 ABCD的边BC上的一点，AF平分/ EAD交CD于点F。求证:AE=BE+DF图18解析：解此题的关键是如何把分散的三条线段集中到一个三角形中，经观察可通过旋 转三角形达到目的。将厶ADF绕