三年级语文下册 第3单元 12《田忌赛马》课件3 沪教版

1、数学模型与数学建模数学模型与数学建模“田忌赛马” 的故事一、展示材料 战国时代，齐王与大将田忌赛马。规则如下：双方各出三匹战国时代，齐王与大将田忌赛马。规则如下：双方各出三匹马，一对一共比赛三场，每场的输者要给赢者铜一千斤。齐王的马，一对一共比赛三场，每场的输者要给赢者铜一千斤。齐王的三匹马和田忌的三匹马按实力强弱都可分为上、中、下三等。齐三匹马和田忌的三匹马按实力强弱都可分为上、中、下三等。齐王的上、中、下三匹马分别比田忌的上、中、下三匹马略强一些。王的上、中、下三匹马分别比田忌的上、中、下三匹马略强一些。每次比赛用同等级的马对抗每次比赛用同等级的马对抗3局，田忌就要输局，田忌就要输3局，输

2、掉三千斤铜。局，输掉三千斤铜。 后来，田忌手下的谋士、著名的军事家孙膑给田忌出了一个后来，田忌手下的谋士、著名的军事家孙膑给田忌出了一个主意：让田忌用他的下等马与齐威王的上等马比赛，他的上等马主意：让田忌用他的下等马与齐威王的上等马比赛，他的上等马与齐威王的中等马比赛，用中等马与齐威王的下等马比赛。这样与齐威王的中等马比赛，用中等马与齐威王的下等马比赛。这样虽然第一场田忌必输无疑，但是却可以赢后面两场，从而二胜一虽然第一场田忌必输无疑，但是却可以赢后面两场，从而二胜一负，田忌赢了齐威王铜一千斤。负，田忌赢了齐威王铜一千斤。二、材料初步分析 齐威王将自己置于十分不公平的位置上，自恃强大，每次齐威

3、王将自己置于十分不公平的位置上，自恃强大，每次都先出马，才给了田忌可趁之机。公平的竞赛规则应该是这样都先出马，才给了田忌可趁之机。公平的竞赛规则应该是这样的：每个人都可以按照自己的意愿决定出马顺序，且每场比赛的：每个人都可以按照自己的意愿决定出马顺序，且每场比赛出马的决策应该是同时做出的。倘若这样比赛的话结果会是如出马的决策应该是同时做出的。倘若这样比赛的话结果会是如何呢？我们用学过的概率论的知识来分析一下这个问题何呢？我们用学过的概率论的知识来分析一下这个问题。 三、问题探究问题一问题一：若只进行一场比赛，也就是齐威王和田忌都只从自：若只进行一场比赛，也就是齐威王和田忌都只从自己的三匹马中随

4、机选择一匹进行比赛。那么齐威王获胜的机己的三匹马中随机选择一匹进行比赛。那么齐威王获胜的机会怎样？会怎样？ 当然，倘若齐威王一直只出上等马，那么田忌永远当然，倘若齐威王一直只出上等马，那么田忌永远都没有机会。所以这里都没有机会。所以这里“随机随机”很重要。为了研究方便，很重要。为了研究方便，我们必须先给出几个设定我们必须先给出几个设定 ：设定设定1：齐王和田忌选择哪一匹马是随机的，事先谁也不知：齐王和田忌选择哪一匹马是随机的，事先谁也不知道到底会出哪匹马；道到底会出哪匹马；设定设定2：上、中、下三种马分别用字母：上、中、下三种马分别用字母a、b、c表示；表示；设定设定3：齐王每场赢得齐王每场赢

5、得1分，输得分，输得0分。分。 根据两人出马的各种情形我们可以列出下表：根据两人出马的各种情形我们可以列出下表：（表中数据是齐威王的得分）（表中数据是齐威王的得分） 齐威王出的马齐威王出的马abc田田忌忌出出的的马马a100b110c111 上述上述33=9种情况是等可能的，每种情况出现的概率都种情况是等可能的，每种情况出现的概率都是是1/9.故齐威王获胜的概率为故齐威王获胜的概率为6/9=2/3.列出齐王的得分列出齐王的得分的分布列：01P1/32/3齐威王得分的数学期望：齐威王得分的数学期望：12201333E 倘若这样的比赛进行倘若这样的比赛进行300场，齐威王大概可以获得场，齐威王大概

6、可以获得200分。分。问题二问题二：倘若进行三场上述的比赛，每场比赛也都是随机：倘若进行三场上述的比赛，每场比赛也都是随机选择马匹，但是采用三局两胜制，则这时齐威王获胜的概率选择马匹，但是采用三局两胜制，则这时齐威王获胜的概率有多大？有多大？ 由于三场比赛之间相互独立，每场比赛依上一研究结果可由于三场比赛之间相互独立，每场比赛依上一研究结果可知齐威王的获胜概率为知齐威王的获胜概率为2/3 .故三场比赛下来齐威王获胜的场数故三场比赛下来齐威王获胜的场数 服从二项分布服从二项分布， 2(3, )3B所以齐威王获胜的概率为所以齐威王获胜的概率为33022133212120(2)(3)(2)( ) (

7、 )( ) ( ).333327PPPCC 问题三：问题三：还是进行三场比赛，还是三局两胜。但是要求这三场还是进行三场比赛，还是三局两胜。但是要求这三场比赛要分别出不同的马。也就是上、中、下三匹马都要而且只能出比赛要分别出不同的马。也就是上、中、下三匹马都要而且只能出场一场。这样的话，齐威王获胜的概率有多大？若这样的比赛进行场一场。这样的话，齐威王获胜的概率有多大？若这样的比赛进行多次，齐威王平均每次能胜多少场？多次，齐威王平均每次能胜多少场？ 在这个问题中，齐威王共有在这个问题中，齐威王共有 336A 种选择种选择（即只能选择出马顺序，有（即只能选择出马顺序，有 abc acbbacbcac

8、ab cba六种选择），六种选择）， 田忌相应的也有田忌相应的也有6种选择。种选择。总共总共36种选择种选择并且这并且这36种情形的出现是等可能的，每种情形出现的概率都是种情形的出现是等可能的，每种情形出现的概率都是1/36 用表格列出如下（表中数据依然表示齐威王的得分）：用表格列出如下（表中数据依然表示齐威王的得分）： 齐威王的出马顺序齐威王的出马顺序abcacbbacbcacabcba田田忌忌的的出出马马顺顺序序abc322122acb231222bac223221bca222312cab122232cba212223由上表可知，齐威王在这三场比赛中得三分即三场全胜的概率为由上表可知，齐威

9、王在这三场比赛中得三分即三场全胜的概率为 61366得2分的概率为 4 62363得一分的概率为 61366得0分的概率为0。 所以齐威王在这三场比赛中的得分的分布列为所以齐威王在这三场比赛中的得分的分布列为 P0 1 2 301/62/31/6依上表依上表, ,得到齐威王获胜的概率为得到齐威王获胜的概率为 125(2)(3)(2)636PPP问题四：问题四：若齐威王只出一种顺序，若齐威王只出一种顺序，abc，而田忌对此一无所知，依然是而田忌对此一无所知，依然是6种顺序均等可能，那么齐威种顺序均等可能，那么齐威王获胜情况会不会产生变化？王获胜情况会不会产生变化？不妨认为就是不妨认为就是从上面的

10、表格中第一列的数据来看， 齐威王得三分的概率依然是 16得两分的概率依然是得两分的概率依然是23 得一分的概率依然是得一分的概率依然是 16三场下来的得分的数学期望还是 1211232636E 而且不论从哪一列来看都是如此。而且不论从哪一列来看都是如此。 即：倘若齐威王只出一种顺序，但是田忌却对此一无所知，即：倘若齐威王只出一种顺序，但是田忌却对此一无所知，那么齐威王获胜的概率和得分的数学期望都与齐威王随机选那么齐威王获胜的概率和得分的数学期望都与齐威王随机选择时是一样的。择时是一样的。 问题在于，田忌恐怕没这么笨，齐威王也不会冒问题在于，田忌恐怕没这么笨，齐威王也不会冒险做出这样的决定。于是

11、便有了下面的问题五。险做出这样的决定。于是便有了下面的问题五。问题五：问题五：若齐威王偏好出其中一种顺序，比如说若齐威王偏好出其中一种顺序，比如说 abc假设齐威王出假设齐威王出 abc的概率为0.5，出其他顺序的概率都是0.1，并且这种偏好被田忌识破，那么情况会发生变化吗？倘若你是田忌并且这种偏好被田忌识破，那么情况会发生变化吗？倘若你是田忌，你该作出怎样的对策？，你该作出怎样的对策？从计算齐威王的获胜概率来看，从计算齐威王的获胜概率来看， 若田忌选择顺序若田忌选择顺序 abc则齐威王的获胜概率为则齐威王的获胜概率为0.5+0.4=0.9， 反倒比以前的反倒比以前的56大。 当然田忌不会这么

12、笨，当然田忌不会这么笨， 其余其余四种情况也是如此。四种情况也是如此。 只有选择只有选择cab,才能将齐威王的获胜概率降为才能将齐威王的获胜概率降为0.5。 因此从齐威王的获胜概率来看，为了有效降低齐威王的获因此从齐威王的获胜概率来看，为了有效降低齐威王的获胜概率，田忌应该选择顺序胜概率，田忌应该选择顺序cab。从计算齐威王每次得分的数学期望来看，从计算齐威王每次得分的数学期望来看， 当田忌选择顺序当田忌选择顺序abc，齐威王每次的平均得分为齐威王每次的平均得分为11134 212.421010 当田忌选择顺序当田忌选择顺序 其它四种时其它四种时111132 (3) 121021010 这样还

13、是不能有效降低齐威王的平均得分。这样还是不能有效降低齐威王的平均得分。 更好的是选择顺序 cab因为这时齐威王每次的平均得分降为因为这时齐威王每次的平均得分降为 11132 (4) 11.610102 因此，不论从有效降低齐威王的获胜概率还是从有效降低因此，不论从有效降低齐威王的获胜概率还是从有效降低齐威王的平均得分来看，田忌的最佳选择是齐威王的平均得分来看，田忌的最佳选择是 cab正好与军事家孙膑的选择如出一辙正好与军事家孙膑的选择如出一辙。 数学模型数学模型 (Mathematical Model) 和和数学建模（数学建模（Mathematical Modeling)对于一个对于一个现实对

14、象现实对象，为了一个，为了一个特定目的特定目的，根据其根据其内在规律内在规律，作出必要的，作出必要的简化假设简化假设，运用适当的运用适当的数学工具数学工具，得到的一个，得到的一个数学结构数学结构。建立数学模型的全过程建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学模型数学数学建模建模你碰到过的数学模型你碰到过的数学模型“航行问题航行问题”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速每小时答：船速每小时20千米千米/ /小时小时. .甲乙两地相距甲乙两地相距750千米，千米，

15、船从甲到乙顺水航行船从甲到乙顺水航行需需30小时，从乙到甲小时，从乙到甲逆水航行需逆水航行需50小时小时,问船速、水速各若干问船速、水速各若干?x =20y =5解得解得“实际问题实际问题”目的：为预测到达时间提供依据目的：为预测到达时间提供依据“假设假设”“建模建模”“求解求解”“应用应用”航行问题航行问题建立数学模型的基本步骤建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数）；作出简化假设（船速、水速为常数）； 用符号表示有关量（用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；表示船速和水速）； 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学

16、式子（二元一次方程）；时间）列出数学式子（二元一次方程）； 求解得到数学解答（求解得到数学解答（x=20, y=5）；）； 回答原问题（船速每小时回答原问题（船速每小时20千米千米/小时）。小时）。1.3 数学建模示例数学建模示例问题：问题：1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析问题分析模模型型假假设设通常通常 三只脚着地三只脚着地放稳放稳 四只脚着地四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形连线呈正方形; 地面高度连续变化，可视为数学上的连续地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面曲面; 地面相对平坦，使

17、椅子在任意位置至少三地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。只脚同时着地。模型构成模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅脚连线椅脚连线)的对称性的对称性xBADCOD C B A 用用 (对角线与对角线与x轴的夹角轴的夹角)表示椅子位置表示椅子位置 四只脚着地四只脚着地距离是距离是 的函数的函数四个距离四个距离(四只脚四只脚)A,C 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 f( )B,D 两脚与地面距离之和两脚与地面距离之和 g( )两个距离两个距离 椅脚与地面距离为零椅脚与地面距离

18、为零正方形正方形ABCD绕绕O点旋转点旋转正方形正方形对称性对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f( ) , g( )是是连续函数连续函数对任意对任意 , f( ), g( )至少一个为至少一个为0数学数学问题问题已知：已知： f( ) , g( )是是连续函数连续函数 ; 对任意对任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在证明：存在 0，使，使f( 0) = g( 0) = 0.模型构成模型构成地面为连续曲面地面为连续曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只脚着地至少三只脚着地模型求解模型求