时间序列分析方法第13章Kalman滤波

1、第十三章卡尔曼滤波在本章中，我们介绍一种被称为卡尔曼滤波的十分有用的工具。卡尔曼滤波的基本思想是将动态系统表示成为一种称为状态空间表示的特殊情形。卡尔曼滤波是对系统线性投影进行序列更新的算法。除了一般的优点以外，这种算法对计算确切的有限样本预测、计算GaussARMA模型的确切似然函数、估计具有时变参数的自回归模型等，都提供了重要方法。§ 13.1动态系统的状态空间表示F面我们在以前的假设基础上，继续分我们已经介绍过一些随机过程的动态表示方法, 析动态系统的表示方法。继续使用的假设假设yt表示时刻t观测到的n维随机向量，一类非常丰富的描述yt动态性的模型可以利用一些可能无法观测的被称

2、为状态向量(state vector)的r维向量&表示，因此表示yt动态性的状态空间表示 (state-space represe ntatio n)由下列方程系统给出：状态方程(state model)(13.1)yt A xt H &twt量测方程(observation model)(13.2)这里F , A和H 分别是阶数为r r , n k和n r的参数矩阵，xt是k 1的外生或 者前定变量。方程(13.1)被称为状态方程(state model)，方程(13.2)被称为量测方程(observationmodel), r 1维向量vt和n1维向量Wt都是向量白噪声，满

3、足:E(vtv )Q, t0, t(13.3)E(wtw )R, t0, t(13.4)这里Q和R是r r和n n阶矩阵。假设扰动项 vt和wt对于所有阶滞后都是不相关的，即对所有t和，有：E(Vtw )0(13.5)xt是外生或者前定变量的假定意味着， 在除了包含在yt1,yt2, ,y1内的信息以外，xt 没有为s和wt s(s 0,1,2,)提供任何新的信息。例如， Xt可以包括yt的滞后值，也可 以包括与&和w (任意)不相关的变量。方程系统中方程(13.1)至方程(13.5)可以表示有限观测值的序列y1,y2,t，这时需要状态向量初始值 &。假设&与vt和wt

4、的任何实现都不相关：E(Vt &)0，对任意 t1,2,T(13.6)E(wt &)0 ,对任意 t1,2,T(13.7)状态方程(13.1)表明，&可以表示成为 &,V2,V3, ,VJ的线性函数：& VtFVt 1 F2 Vt2Ft2V2 Ft 1 & ,t 2,3, ,T(13.8)因此，方程(13.6)和方程(13.3)意味着Vt与所有&的滞后值都是不相关的：E(Vt & ) 0 , t 1,t 2,1(13.9)类似地，可以得到：E(wt & ) 0 ,1,2,T(13.10)E(wty )Ewt(A xt0wt

5、)t 1,t 2,1(13.11)E(vty )0, t 1,t 2,1(13.12)上述系统是相当灵活的，它的一些结论也可以推广到vt与wt相关的系统中，而且系数矩阵(F,Q,A,H, R)也可以是时间的函数。如果我们仅仅关注到上述系统的基本形式，贝U下面的论述将是十分清晰的。0 , Wt 0, R 0状态空间表示的例子考虑一元AR(p)过程:yt 11(yt)2(yt 1)p (yt p 1)t 1E( t )2, t0,t这个AR(p)过程可以表示成为下面的状态空间模型形式:状态方程(r p)yt 112p 1:ytt 11000ytyt 100100(13.13)yt p 2yt p

6、100010 p量测方程：ytyt 1yt100(13.14)yt p 11yt2p 1pt2001000yt 1lc100, vt0000&, F 0,Qyt p 10000p 0010这里变量和参数矩阵对应为：对应地，我们指定:yt yt, a , xt 1, h 1 0注意到这里的状态方程只是一个一阶向量自回归方程，量测方程只是一个简单的等式。因此，我们已经看到，状态空间表示只是总结AR( p)过程的另外一种方式。将 AR(p)过程表示成为这种方式的原因在于，这样可以获得归纳AR(p)过程动态性的合适方式，这是我们对任何系统状态空间表示感兴趣的基本原因。另外一个例子是，我们考虑一

7、元 MA(1)过程:yt对应地，它可以表示成为状态空间模型形式为:状态方程(r 2):量测方程1):yt这里:Vtytyt，aXt1,，Wt将给定系统表示成为状态方程的方式有多种。o,例如,R 0可以将MA(1)过程表示成为下面类型的状态空间模型:状态方程(r2):00量测方程(n1):yt显然上面的MA(1)过程、两种状态空间模型表示都是具有相同特征的过程表示，这三种表示都具有相同的预测和相同的似然函数值，也就无须讨论哪一种方式更为合适。更一般地，一元 ARMA(p, q)模型可以通过定义 r max p, q 1进行状态空间模型表示:yt1(yt 1) 2(yt 2t 1 t 12 t 2

8、这里的参数约束是：当 j p时, 考虑下列状态空间模型表示为：状态方程(rmaxp, q1)12r 1r1000& 1 01000010量测方程(n1):)r(yt r )r 1 t r 1j 0 ；当 j q 时，j 0。 t 100(13.15)(13.16)(13.15)jt表示向量 &yt1为了验证方程(13.16)和方程(13.17)表示了系统与方程(13.15)一致，假设 的第j个元素，因此状态方程的第 2行表示:2t 1 1t第3行表明:3t 1 2t 1t 1更一般地，第j行表示:jt 1Lj 1 it 1因此状态方程的第1,t 1( 12 L1行意味着:3L2

9、r 1rLr 1)1,tt 1或者:2(11L 2 L2量测方程表明：yt(11LrLr)2L21,t 1在方程(13.19)两端乘以算子多项式(11L以得到：(11L 2 L2rLr)(yt)(11L2L2r 1Lr 1) t2L2(13.18)(13.19)rLr)，并利用方程(13.18)，可这就是原来的 ARMA(p, q)模型，即方程(13.15)。状态空间形式是描述随机过程的和,或者测量误差结果的模型的非常合适的方式。例如,Fama和Gibbons (1982)开始着手研究事前实际利率(ex ante real interest rate )行为(事前实际利率是名义利率it减去预期

10、通货膨胀率te)。由于经济计量学家通过证券市场推断的预期通货膨胀率的数据，因此这个变量不是可以观测的。因此在这种应用中状态变量是一个标量，即：t itte，这里 表示平均事前实际利率。Fama和Gibbons (1982)假设事前实际利率服从AR(1)过程：t 1 tvt 1(13.20)经济计量学家可以观测到事后实际利率(名义利率it减去真实通货膨胀率t),这可以表示为：itt (it t ) ( tt) t twt(13.21)这里wt( tet)是人们预测通货膨胀率时的误差。如果人们以最优的方式形成通货膨胀率预测，则Wt与自身的滞后值和事前实际利率是无关的。因此方程(13.20)和方程(13.21)是状态空间模型，这里r n 1， F ， yt itt， A xt ， H 1，Wt :t。状态空间模型框架的另外一个有趣例子是Stock和Waston (1991)的研究，他们假设存在表示经济周期状