时间序列分析03

1、第二章 Hilbert空间和L2（,F,P）空间中的预报 2.1内积空间及其性质一、内积空间定义设C是复数域,H是C上的线性空 间，如果对于H中任意的x,y，都存在一个复 数（x,y）与其对应，满足条件(1)对任意 x,y H,(x, y)二(x, y)(2)对-x, y, z H 及-,1C(X y, zp (x,y)(y,z)(3)对一切 x H,(x,x) - 0 ,而且(x, x)二 0成立的充分必要条件是x=0则称（x, y）为H中的内积，H为复内积空间。 例1设E.xxgx?,禺）如果定k义（x,y）=/iW（则Ek是实内积空间.例2.定义内积空间H的任一元素x的模定 义为欧氏空间

2、Rn中，向量的模即长度x*(2.1.3)二、内积空间的性质1.Cauchy-Schwarz 不等式：设H是内积空间，则对一切x, y H 有(x, y)x y等式成立的充要条件是(2.1.4)(2.1.5)(2.1.6)(y, y)内积空间内两元素x, y之间的夹角口(x, y)=心而x与y正交的充要条件为(x,yp 02.三角不等式x,y H,有设H是内积空间，则对一切定理(模的性质)设H是复(实)内积空 间，IIX由式定义，则(1) 对人 y Hx+ y| |x| +1|y|(2) 对 XW H,C,|ax| = |a|X|(3) 对一切H,|x| = 0成立的充要条件为x = 03.平行

3、四边形公式：设H是内积空间，则对x,y H ,有|x+y|2 + |x-y|2 = 2|x|2 + 2|y|2定理(内积的连续性)设H是内积空间,Xny是H中的点列,x,y H ,当 n，时,Xn-X o, yn-y，0，则当 n 时, 有(1) |xn卜 |x|;|yn卜 |y|(2) (Xn,yn) (x,y) 2.2 Hilbert空间、预报方程一 .H ilbert space定义设H是一线性空间，具有内积定义, 并且是完备的(Cauchy列皆属于H的极限点)，则称H为Hilbert空间.例.二、l2（，f,p）空间X的全体组成设C ,F,P）是概率空间,C是定义在，上 的二阶矩有限的

4、实随机变量 的集合，即C = X EX = JX (w)P(dw)Q则C是线性空间.(2.2.1)X 按模收对x,y C,定义 （X,Y） = EXY（X,Y）为一内积L2C ,F,P）中随机变量的模X|2=EX2-lim E X nT旳称，；Xn :均方收敛于X，记为m.sxXl2C ,F,P）空间中随机变量序列 敛定义为lim Xn -X命题:L2L,F,P）空间是完备的.复l2（,F,P）空间内积:（X,Y）= E（XY）（如果是测度空间C ,F）上任一非零有 限测度，D是定义在上的满足如下条件的 复值函数集合2(2.2.3)D = t f J f dI Q定义内积（仁 g）=,严则D是

5、Hilbert空间，称其为复Hilbert空间, 记为 L2C ,F）= D引理（按模收敛和柯西准则）设Xn是Hilbert空间中的点列，则xj按模收 敛于x H的充要条件是，当lim XnXm =0例.三、投影定理和预报方程例1.例2.定义(闭线性子空间)设H是Hilbert 空间,M是H的线性子空间，如果冷M，且 当n- s时,Xn-XO，有V M，则称M 是H的线性闭子空间.设M是H的线性子空间,x H ,当X 与M中的一切元素正交时，称X与M正交， 记为x- M .定义正交补集)设H是Hilbert空 间，M是H的子集，H中所有与M正交的 元素的全体称为 M的正交补，记为M1.即 M 丄=x ： (x, y) = 0,对一切 y w M (2.2.10)定理(投影定理)设H是Hilbert 空间，M是H的闭线性子空间，则-x H， 记d为x到M的距离d = d (x, y) = inf X - Y(1)存在唯一元素x