卡诺图在逻辑函数化简和逻辑电路设计中的重要应用

1、第20卷第4期 沧州师范专科学校学报No.4Vol.202004年12月 Journal of Cangzhou TeachersCollege D ec .2004 * 收稿日期:2003-11-25作者简介:王洪信(1947,男,河北南皮人,沧州师专物理系副教授。471=+A A 卡诺图在逻辑函数化简和逻辑电路设计中的重要应用王洪信(沧州师专物理系,河北沧州061001摘要:卡诺图在逻辑函数的化简和逻辑电路的设计中,有着重要作用。正确运用卡诺图的前提是把给定的逻辑函数正确填图。可以利用卡诺图将逻辑函数化简为各种最简表达式;可以用来检查逻辑函数的竞争冒险等;在组合逻辑电路和时序逻辑电路的分析

2、与设计中更有广泛的重要应用。关键词:卡诺图;逻辑函数;组合电路;时序电路中图分类号:O 141.3 文献标识码:A 文章编号:1008-4762(200404-0047-03 在数字逻辑电路中,逻辑函数的化简有着重要意义,直接关系着逻辑电路的简洁可靠乃至电路的成本。而公式法化简逻辑函数,不但难以掌握,而且难以判断结果是否最简。对于变量数不超过6个的逻辑函数的化简,卡诺图有着广泛的重要应用。众所周知,卡诺图是逻辑函数的表达方式之一,是真值表的一种变形。它将逻辑函数真值表重新排列成矩阵形式,并且是矩阵的横方向和纵方向的逻辑变量的取值按照格雷码的顺序排列。如图1。按照这样排列,使最小项的排列不管是在

3、横向或者纵向上,相邻的两个最小项只有一个变量不同,则可以利用互补律消去取值不同的那个变量,将两个最小项合并为一项;从而得到用卡诺图化简逻辑函数的规则:在表示逻辑函数的卡诺图中,若有两个最小项项互为相邻项,可消去一个变量;若有4个最小项互为相邻项,可消去两个变量;若有8个最小项互为相邻项,可消去三个变量;若有2n 个最小项互为相邻项,可消去n 个变量。如图2是某函数的卡诺图,按化简规则可化简为:而利用卡诺图化简逻辑函数的前提是先将逻辑函数转变为卡诺图表示。对于给定不同形式的逻辑函数,填图的步骤一般如下:1给定真值表:将Y 取值为1的组合填入卡诺图中相应的位置。如图某三变量函数的真值表,填的卡诺图

4、如图3。2给定最小项表示的逻辑函数表达式F,将各最小项填入相应的位置。例如:则其卡诺图如图4。3给定不是最小项表达式,或者不是与或表达式的,要先化为与或表达式,例如(1式。通常,要把非最小项表达式变为最小项表达式后在填图。但是这将很繁琐,我们可以逆向利用化简规则直接填图。由图1可见,对4变量逻辑函数而言,圈住的8个相邻项化简为逻辑表达式中的单变量项,反之,表达式中的一个单变量项相对应卡诺图中的8个相邻项。同理,两个变量的与项对应4个相邻项,3个变量的与项对应2个相邻项,4个变量的与项正是一个最小项。按此方法,任意与或表达式表示的逻辑函数都能很方便的填入卡诺图。这为我们利用卡诺图提供了方便。例如

5、将(1式填入卡诺图,A对应8个A 取值为0格,而BCD 对应BCD 都取1的两个格,依此1(,(BCD D C A D C B A F +=2(7,4,2,1(,(7421m m m m m ABCC BA CB AC B A F =+=+=48类推即可得到图2。卡诺图广泛用于化简逻辑函数,分析、设计逻辑其还有更多的其它应用。1、求逻辑函数的真值表。在分析逻辑函数的功能时,其真值表往往能较为明显地反映出其逻辑功能,故一般要算出真值表来,若一一计算各种组合的值,不但麻烦,而且易出错,若先填卡诺图,再由卡诺图转换为真值表,则非常快捷。例如,分析(2式的逻辑功能:我们已得到其卡诺图为图3,则可很方便

6、地转换为真值表如下。可知其逻辑功能是判奇电路。2、求逻辑函数的最小项要把函数变为最小项表达式,则可从其卡诺图中很快得到。例如将(1式表示为最小项表达式,(1式的卡诺图为图2,按最小项在卡诺图中的排列规则马上可得:3、在用数据选择器设计组合电路时,求数据输入端Di表达式。由于数据选择器可以认为是一个与或逻辑电路,对具有n 个地址变量的2n 选一数据选择器,输出信号逻辑表达式的一般形式为:i n i i m D F =120式中m i 是n 个地址变量构成的最小项,D i 是数据输入端,当D i =1,对应的m i 就出现,当D i =0,则对应项就不出现。用卡诺图可以很快地确定D i 的取值。例

7、1:用四选一数据选择器实现式(2所示的逻辑函数。设BC 为地址端,函数的卡诺图如图5,视其卡诺图为D i 的子卡诺图,变量BC=00的一列对应D0,BC=01对应D1,依此类推如图5。则由各子卡诺图可知:按此结果画出连线图如图6。4、用卡诺图求反函数。我们知道,真值表中函数值为0的组合是反函数,则卡诺图中为0的方格也对应反函数可用卡诺图求函数的反函数。例2:求F的反函数。解:函数的卡诺图如图7,将为0的相邻项圈起并化简得:可以验证,其与用反演法求得的结果完全相同。5、利用卡诺图检验组合逻辑电路是否存在竞争-冒险,并消除竞争-冒险。由于在组合电路中存在着竞争,就有可能存在竞争-冒险,检查并消除竞

8、争-冒险的方法很多,但是用卡诺图来判断有无竞争冒险,并用增加冗余项的方法来消除,是很方便的。例3:已知函数试求其无竞争冒险的与或表达式。解:函数的卡诺图如图8用实线圈起可化简的相邻项,存在着圈与圈之间相切的现象,表明存在竞争冒险,将相切部分的相邻项圈(虚线圈起来,即为增加的冗余项,则消除了竞争冒险。函数变为:6、在分析设计时序逻辑电路时,消除不能自启动的问题。例4:分析(或设计用JK 触发器组成的6进制计数器的总次态卡诺图如图9所示,分析其能否自启动,若不能自启动,改变设计使之能自启动。解:由总次态卡诺图得到各触发器次态卡诺图如下,按常规如图实线圈化简得各状态方程:可见状态方程相当简洁。在总卡

9、诺图中可以看出,三变量的8种组合有两种没用,即010与101为无效状态。将其中任意一个代入状态方程,可知其次态为另一个。表明在此状态下不能进入有效循环,即不能自启动。必须改进设计,通常为了不改变电路内部设计,只改变前级的设计,在Q 0n+1的卡诺图中,将没利用的无效项与有效相联系起来增加一项如图中虚线圈所示。则Q 0n+1状态方程变为:再将010代入状态方程组可得101,继续代入得011,而011是有效状态,表明可进入有效循环,能自启动了。经分析可知,对于任意一无效状态,若与有效状态不存在任何直接或间接的联系,将是导致不能自启动的根源,为了保证电路能够 自启动,必须使每个无效状态都能DB A

10、BC AD C B F +=15,14,13,10,7,5,4,0(m F =nn n n n n Q Q Q Q Q Q 112011210=+nn n n Q Q Q Q 01210+=+ABC F +=49CDD A C B A F D C C B CD B F +=+=21ACD A AB CD D C F +=21F F F =×=××=×=××=××=×+=×+0,100,1,0,11直接或间接地与某一有效状态相联系,对于不止一个无效状态的情况下,可有多个修改方案,可以选择最简洁的一

11、种方案。7、用卡诺图计算逻辑函数之间的逻辑运算。逻辑函数之间也可以进行与或非异或等逻辑运算,若采用表达式直接运算,将非常麻烦,利用卡诺图来计算,则很方便。例5已知函数求:解:F1、F2的卡诺图如图10对两个卡诺图中标号相同的方格,其实质是相同的最小项,1表示有此项,0表示无此项,将两卡诺图重叠放置,可按相应的逻辑运算规则对各方格中的1、0进行运算。(1F=F 1+F 2运算后的卡诺图如图11,化简得:(2F=F 1F 2运算后的卡诺图如图12,化简得:(3运算后的卡诺图如图13,化简得:对于具有约束项的函数的运算,若编号相同的格中都是约束项,则保持不变,其他情况按下面运算规则计算:8、按要求变

12、换表达式的形式。在用门电路实现逻辑函数时,往往局限于器件的种类或其他限制而要变换逻辑表达式,用卡诺图来变换也是很方便的。例6:将如下函数化简为最简与或非式、或与表示式、或非-或非表示式。解:函数卡诺图如图14,将为0的项按化简法圈起来化简再求反即得最简与或非表示式:按反演规则将上式去掉反号,或对圈0的圈按最大项化简则可得到或与表示式:将上式求两次反得最简或非-或非式。卡诺图还有其他很多应用,例如判断逻辑函数的相等等。巧妙运用卡诺图,可以收到事半功倍的效果。对卡诺图的应用,我们还可以进行更多的探索。参考文献:1阎石.数字电子技术基础(第四版M.北京:高等教育出版社,1998.2李中发.数字电子技

13、术M.北京:中国水利水电出版社,2001.3唐竞新.数字电子技术基础解题指南M.北京:清华大学出版社,1993.责任编辑:尤书才Important Applications of Karnaugh Map in the Simplification of Logic Function and the Design of Logic CircuitWANG Hong-xin(Department of Physics, Cangzhou Teachers College, Cangzhou 061001, HebeiAbsttract: Karnaugh map plays an importa

14、nt role in the simplification of logic function and the design of logic circuit. The prerequisiteof the correct use of karnaugh map is to full in the map with the given logic function correctly. Karnaugh map can be used to transform logic function into various simplest expressions and check the race and hazard of logic function . It has a wider range of important applications in the analysis and design of combinational logic circuit and sequential logic circuit.Key words: Karnaugh map; logic function; c