利用基本不等式求最值的技巧

1、利用基本不等式求最值的技巧基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能，但一定要注意应用的前提：“一正”、“二定”、“三相等”.所谓“一正”是指“正数”，“二定”指应用定理求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件.22.ab在运用基本不等式a+b之2ab与qabM或其变式解题时,要注意如下技巧21：配系数3【例1】已知0<x<,求y=x(32x)的最大值.2:添加项32【例2】已知x>-,求y=x+的最小值.22x-33:分拆项【例3】已知x2-3x6.口的取小值.x-2-7 -4:巧用"1”代换12【例4】已知正数x,y满

2、足2x+y=1,求+的最小值.xycd2.一一般地有,（ax+by）（十）之（Jac+vbd）,其中x,y,a,b,c,d都是正数.这里巧妙xy地利用"1”作出了整体换元，从而使问题获得巧解.149【例5】已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求一+一十一的最小值.xyz5:换元【例6】已知a>bac,求w=亘+ad的最小值.a。bbcx1【例7】已知xA1,求y=-的最大值.x25x86:利用对称性【例8】已知正数x,y,z满足x+y+z=1,求J2x十1十、；2y+1+J2z+1的最大值.【分析】由于条件式x+y+z=1与结论式22x+1+27+1+2z+1都是关于正数口，

3、一小口,1，什，、,x,y,z轮换对称的，故最大值必然是当x=y=z=一时取到，这时3、2x+1=，2y+1=32z+1=J-,从而得到下面证明思路与方向:3【解】利用基本不等式2jibEa+b得2j(2x+1)x-<2x+1+-,33242y + 1) E2y+1+|一一.5_.5,2j(2z+1)父一E2z+1十一，以上三式同向相加得,3352(j2x+1+/2y+1+J2z+1)JW2(x+y+z)+3+5=10,所以化简得31t2x+1+$2y+1+J2z+1WJ15，所以当且仅当x=y=z=-时3v2x+1+<2y+1+j2z+1取到最大值v't5.般地，如果条件

4、式与结论式都是关于各个元素轮换对称的，则最值必定是在各个元素相等时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路7：直接运用化为其它【例9】已知正数a,b满足ab=a+b+3,求ab的取值范围含参不等式的解法举例当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查的重点内容，也是同学们在学习中经常遇

5、到但又难以顺利解决的问题。下面举例说明，以供同学们学习。一、含参数的一元二次不等式的解法：例1：解关于的x不等式(m+1)x24x+1M0(mwR)分析：当m+1=0时,它是一个关于x的一元一次不等式；当m+1第1时，还需对m+1>0及m+1<0来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：当m<-1时，/=4(3m)>0,图象开口向下，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取两边。当一1<m<3时，力=4(3m)>0,图象开口向上，与x轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当m=3时，/=4(3m)=0,图象开口向上，与x轴只有一个公共点，不等式

6、的解为方程24x4x+1=0的根。当m>3时，=4(3m)<0,图象开口向上全部在x轴的上万，不等式的解集为0。解：当m=1时，原不等式的解集为Jx|x>lV4当m。一1时,(m+1)x2-4x+1=0M判别式A=4(3m);则当m<-1时，原不等式的解集为x|x>2-v3m或x<2+<3-m>m+1m+1当-1<m父3时，原不等式的解集为x|2f35Mx/Pm,m+1m+1当m=3时，原不等式的解集为x|x2当m>3时，原不等式的解集为0。小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。利用函

7、数图象必须明确：图象开口方向，判别式确定解的存在范围，两根大小。二次项的取值(如取0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于x的不等式ax2-2(a+1)x+4>0,(a>0)思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集。具体解答请同学们自己完成。二、含参数的分式不等式的解法：例2:解关于x的不等式aX1>0x2x2分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax-1中的a进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原不等式等价于(ax1)(x2)(x1)0当a=0时，原不等式等价于(x2)(x+1)<0解得1<x<

8、2,此时原不等式得解集为x|1<x<2;1当a>0时，原不等式等价于(x1)(x2)(x+1)>0,a则：当a=1时原不等式的解集为L|xa1且x#2);1 ,、一x |x > 一或-1 <x<2 r； a2，当0<a<1时原不等式的解集为2，当al时原不等式的解集为2 ，x | -1 <xJ 或 xa2；a，,一1、，/当a<0时，原不等式等价于(x1)(x2)(x+1)<0,a则当a=1时，原不等式的解集为及|x<2且x*1,当-1 <a <0时，原不等式的解集为*x|x <或-1 <x

9、<2 >；当a父-1时，原不等式的解集为小结：本题在分类讨论中容易忽略a=0的情况以及对1,1和2的大小进行比较再a结合系轴标根法写出各种情况下的解集。解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0,再转化为乘积不等式来解决。牛刀小试：解关于X的不等式a(x-1)>1,(a#1)x-2思路点拨：将此不等式转化为整式不等式后需对参数a分两级讨论：先按a>l和a<la2分为两类，再在a<1的情况下，又要按两根a与

10、2的大小关系分为a-1a<0,a=0和0<a<1三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。三、含参数的绝对值不等式的解法：例3：解关于x的不等式|ax2信bx,(a>0,b>0)分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形|f(x)|至g(x)yf(x)E-g(x)或f(x)至g(x),首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就a、b两个参数间的大小关系分类讨论求解。解：|ax2|bxuax_2W-bx或ax2之bxu(a+b)xW2或(ab)x22当ab>0时，(a+

11、b)xM2或(ab)x之2yxE2-或x之一2-aba-b此时原不等式的解集为x|x<2或x>>；a+ba-b2一一一当a=b>0时，由(a+b)xW2得x£，而(ab)x±2无解，ab此时原不等式的解集为,x|x<2>；la+bJ2、22当0<a<b时，(a+b)xW2或(ab)x之2yxE或x'uxW-aba-bab此时此时原不等式的解集为*x|x<2*;a+b'综上所述，当aAba0时，原不等式的解集为”|xw，_或x至二-：；当b之a>0时,、a+ba-bj原不等式的解集为ex|x<a小结：去掉绝对值符号的方法有定义法：|a|=驾肃)平方法：|f(x)|E|g(x)已_2.2f(x)<g(x)利用同解|x|：a=-a；x：a,(a0);|x|a=xa或xa,(a0);|f(x)区g(x)ug(x)Ef(x)Eg(x);|f(x)巨g(x)uf(x)Eg(x)或f(x)至