利用导数求函数的极值习题

1、利用导数求函数的极值例求下列函数的极值:1.f(x)x312x；2.f(x)x2ex；3.f(x)-x-2.x1分析：按照求极值的基本方法，首先从方程f(x)0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.解：1.函数定义域为R.f(x)3x2123(x2)(x2).令f(x)0,得x2.当x2或x2时，f(x)0,函数在，2和2,上是增函数；当2x2时，f(x)0,函数在(一2,2)上是减函数.，当x2时，函数有极大值f(2)16,当x2时，函数有极小值f(2)16.2 .函数定义域为R.f(x)2xexx2exx(2x)ex令f(x)0,得x

2、0或x2.当x0或x2时，f(x)0, 函数f(x)在，0和2,上是减函数；当0x2时，f(x)0, 函数f(x)在(0,2)上是增函数. 当x0时，函数取得极小值f(0)0,当x2时，函数取得极大值f(2)4e2.3 .函数的定义域为R.令f(x)0,得x1.当x1或x1时，f(x)0,函数f(x)在，1和1,上是减函数;当1x1时，f(x)0,，函数f(x)在(1,1)上是增函数.，当x1时，函数取得极小值f(1)3,当x1时，函数取得极大值f(1)1.说明：思维的周密性是解决问题的基础，在解题过程中，要全面、系统地考虑问题，注意各种条件综合运用，方可实现解题的正确性.解答本题时应注意f(

3、x0)0只是函数f(x)在x(o处有极值的必要条件，如果再加之x0附近导数的符号相反，才能断定函数在x0处取得极值.反映在解题上，错误判断极值点或漏掉极值点是学生经常出现的失误.复杂函数的极值例求下列函数的极值：1.f(x)Vx2(x5)；2.f(x)x2x6.分析：利用求导的方法，先确定可能取到极值的点，然后依据极值的定义判定.在函数f(x)的定义域内寻求可能取到极值的“可疑点”，除了确定其导数为零的点外，还必须确定函数定义域内所有不可导的点.这两类5(x 2)33 x点就是函数f(x)在定义内可能取到极值的全部“可疑点”.解：1.f(x);(x5)3x22(x?3x33x33x令f(x)0

4、,解得x2,但x0也可能是极值点.当x0或x2时，f(x)0, 函数f(x)在,0和2,上是增函数;当0x2时，f(x)0, 函数f(x)在(0,2)上是减函数. 当x0时，函数取得极大值f(0)0,当x2时，函数取得极小值f(2)3V4.2x2. f(x) 2xx 6, (x2或x3),x 6,( 2 x 3),.2x1,(x2或x3),.f(x)2x1,(2x3),不存在，(x2或x3).人，L1令f(x)0,得x1.2一1人当x2或万x3时，f(x)0,1 函数f(x)在，2和3上是减函数；2 一一1当x3或2x万时，f(x)0,1 函数f(x)在3,和2,-上是增函数.2 当x2和x3

5、时，函数f(x)有极小值0,1 25当x时，函数有极大值24说明：在确定极值时，只讨论满足f(x0)0的点附近的导数的符号变化情况，确定极值是不全面的.在函数定义域内不可导的点处也可能存在极值.本题1中x0处，2中x2及x3处函数都不可导，但f(x)在这些点处左右两侧异号，根据极值的判定方法，函数f(x)在这些点处仍取得极值.从定义分析，极值与可导无关.根据函数的极值确定参数的值例已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取得极值，且f(1)1.1 .试求常数a、b、c的值；2 .试判断x1是函数的极小值还是极大值，并说明理由.分析：考察函数f(x)是实数域上的可导函数，可先求导确定可能的极

6、值点，再通过极值点与导数的关系，即极值点必为f(x)0的根建立起由极值点x1所确定的相关等式，运用待定系数法求出参数a、b、c的值.解：1.解法一：f(x)3ax22bxc.x1是函数f(x)的极值点，x1是方程f(x)0,即3ax22bxc0的两根，1,(3)由根与系数的关系，得又f(1)1,abc,13由(1)、(2)、(3)解得a，b0,c3.22解法二：由f(1)f(1)0得3a 2b c 0, 3a 2b c 0又 f (1)1 , a(1)(2)b c 1,(3).一,一 13解(1)、(2)、(3)得 a -,b 0,c .221 333 2332. f (x)-x-x, . f

7、 (x)-x一一(x 1)(x 1).22222当 x 1或 x 1 时，f (x) 0,当 1 x 1时，f (x) 0. 函数f (x)在1和1, 上是增函数，在(1,1)上是减函数.当x 1时，函数取得极大值 f ( 1) 1 ,当x 1时，函数取得极小值f(1)1 .说明：解题的成功要靠正确思路的选择.实现了问题的转化， 使抽象的问题具体化，本题从逆向思维的角度出发，根据题设结构进行逆向联想,在转化的过程中充分运用了已知条件确定了解题的大方向.合理地 可见出路在于“思想认识” .在求导之后，不会应用f ( 1) 0的隐含条件，因而造成了解决问题的最大思维障碍.高三第三章导数-函数的极值

8、练习题一、选择题(本大题共 6小题，每小题3分，共18分)1.下列说法正确的是A.当f (x0)=0时，则f(xO)为f(x)的极大值B.当f (x0)=0时,则f(xO)为f(x)的极小值C.当f (x0)=0时,则f(x。)为f(x)的极值D.当f(x0)为函数f(x)的极值且f1 (x0)存在时,则有f (x0)=02.下列四个函数，在 x=0处取得极值的函数是 y=x3 y=x2+1 y=|x| y=2xA.B.C.D.3.函数6xy= 6xy的极大值为1 x2A.3B.4C.2D.54.函数y=x3 3x的极大值为m,极小值为n,则m+n为A.0B.1C.2D.45.y=ln2x+2

9、lnx+2的极小值为A.e 1B.0C.-1D.16.y=2x3-3x2+a的极大值为6,那么a等于A.6B.0C.5D.1二、填空题(本大题共 5小题，每小题3分，共15分)7.函数f(x)=x33x2+7的极大值为.8 .曲线y=3x55x3共有个极值.9 .函数y=-x3+48x-3的极大值为;极小值为.10 .函数f(x)=x3X3的极大值是，极小值是211 .若函数y=x3+ax2+bx+27在x=-1时有极大值，在x=3时有极小值，则a=,b=.三、解答题(本大题共3小题，每小题9分，共27分)12 .已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,当x=1时，取得极大值7;当x=3时，

10、取得极小值.求这个极小值及a、b、c的值.13 .函数f(x)=x+亘+b有极小值2,求a、b应满足的条件.x14 .设y=f(x)为三次函数，且图象关于原点对称，当x=1时，f(x)的极小值为一1,求函数的解析式.2函数的极值,.1.D2.B3.A4.A5.D6.A11.-3 - 97.78.两9.125-13110.012.解:f(x)=3x2+2ax+b.据题意，一1,3是方程3x2+2ax+b=0的两个根，由韦达定理得2a31.a=3,b=9,1.f(x)=x33x29x+cb3,.f(-1)=7,.,.c=2,极小值f(3)=333X329X3+2=25，极小值为一25,a=-3,b=-9,c=2.13 .解:f (x)=2x a2-x由题意可知f(x)=0有实