利用数轴解决集合运算问题

1、.，.第3炼利用数轴解决集合运算问题数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。一、基础知识：1、集合运算在数轴中的体现：Ap|B：在数轴上表示为A,B表示区域的公共部分AljB：在数轴上表示为A,B表示区域的总和CUA:在数轴上表示为U中除去A剩下的部分(要注意边界值能否取到)2、问题处理时的方法与技巧：(1)涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对

2、于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系(2)在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。(3)涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域(4)在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合(或表达式)入手，然后根据条件放置参数即可3、作图时要注意的问题:(1)在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察(2)处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意

3、。二、例题精析：例1:（2009安徽）集合A=x|2x1<3,B=（x-2x1<0k3-x则aDb=思路：先解出A,B的解集A-1,2,B-,-U3,二2作出数轴，则AHB即为它们的公共部分。ACB=f-1-2,C1答案：aDb=-1,-例2：设集合S=xx2>3,T=xa<x<a+8,SJT=R，则a的取值范围是思路：可解出S=(叫1)IJ(5,fc),而T集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出S的范围，由于SljT=R,而数轴上有一部分区域没有被S包含，那说明T集合负责补S空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可曰公a：二

4、-1r.曰得只需要：«即可，解得：3<a<1a85答案：-3:二a：-1小炼有话说：(1)含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定T区间的端点(2)含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合(3)注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若a=-3或a=-1,则端点处既不在S里，也不在T里，不符题意。例3：对于任意的xwR,满足(a-2)x2+2(a-2)x-4<0恒成立的所有实数a构成集合A,使不等式|x-4|+|x-3<a的解集是空集的所有实数a构成集合B,则aHCrB=思路：先利用已知条件求出A,

5、B,再利用数轴画出A。CrB的范围即可解：由(a2)x2+2(a2)x4<0恒成立，可得:当a2=0即a=2时，变为：Y<0恒成立当a#2时，若要恒成立，则a-2<02=-2:二a:二2=4a-216a-2:二0-A-J-2,21x -4x-3 Ma解集为空等价于：Vxw R,x -4aMx-4x-3min2x-7,x.4、几，cLc，设f(x)=|x-4+x-3=<1,3<x<47-2x,x_3二f(Xmin=1'aW®B=(f1CrB=1,二AQCrB=1,21小炼有话说：本题更多考察的地方在于A,B集合的求解。A集合要注意a-2=0的

6、情况，而不能默认为二次不等式，B集合涉及解集与不等式恒成立问题之间的转化。在集合进行交并运算时，数轴将成为一个非常直观的工具，作图时要注意端点值的开闭。例4：已知集合A=x|x-1+|x+1<3)B=xx2-(2m+1)x+m2+m<0,，若aDb=0,则实数m的取值范围为思路：先解出A,B的解集，AcB#0意味着A,B有公共部分，利用数轴可标注集合B两端点的位置，进而求出m的范围解：x1+x+1M3当x>1时，x1+x+1E3nx<31<x322当一1<xW1时，1x+x+1W3=2W3恒成立33当xW1时，1xx1M3nx之一一.一侬<1m ： x

7、 二 m 122IL2'22_2_x-(2m1)xmm：0x-m1iiix-m0aAb=一一且m<一例5：已知A=x|5x至J2(x1),B=x|x2axExa,当“xwA”是“xwB”的充分不必要条件，则a的取值范围是思路：A,B为两个不等式的解集，因为“xwA”是“xwB”的充分不必要条件，所以A是B的真子集。考虑解出两个不等式的解集，然后利用数轴求出a的范围即可5-x-0出.I解：5-x_.,2x-1=x-1-0=l£x£3(5-x2>2(x-1)A=1,312,12x-ax_x-a=x-a1xa_0x-1x-a<0由A是B的真子集可得：a&

8、gt;3答案：a3,二小炼有话说：1、熟悉充分必要条件与集合的联系：p是q的充分不必要条件up对应集合P是q对应集合Q的真子集2、处理含参问题时，秉承“先常数再参数”的顺序分析，往往可利用所得条件对参数范围加以限制，减少分类讨论的情况。例如在本题中，若先处理B,则解不等式面临着分类讨论的问题。但先处理A之后，结合数轴会发现只有图中一种情况符合，减掉了无谓的讨论。一,2x-1,0-x-2.,1,1例6：已知函数g(x)=ax+1,f(x)=«2，对寸x1wL2,2：x2wL2,2】，-x,-2Mx:0使得g(x)=f(x2)成立，则实数a的取值范围是思路：任取x1w1-2,2】，则g(

9、x1)取到g(xM直域中的每一个元素，依题意，存在x2使得g(x1)=f仪2),意味着g(x)值域中的每一个元素都在f(x)的值域中，即g(x)的值域为f(x)的值域的子集，分别求出两个函数彳1域，再利用子集关系求出a的范围解：x2b,2时,f(x2)wb,3x2w2,0时，f(x2)-4,0)fx2l-4,31.对于g(x分三种情况讨论当a >0时,2a1_-4gxl-2a1,2a1：a<12a1<3a三i0,ll当a =0时,g(x) = 1,符合题意，.当a <0时,2a1-4)gx三2a1,-2a1,：1<a-2a1<3.a1-1,0综上所述：a1-

10、1,11答案：a-f1,11例7：已知集合A=x|x>2或x<_1,B=x|aMxMb,若AljB=R,AnB=(2,4,则2=a思路：本题主要考察如何根据所给条件，在数轴上标好集合B的范围。从而确定出a,b的值,b如图所不：可得a=1,b=4,所以？=4a答案：-4例8：设A=x|(x2+x2、x+1)>01B=x|x2+ax+bM。,AUB=x|x+2a。,ARB=1x|1<xM3,求a,b思路：A集合的不等式解集为(-2,-1)U(1,z)，集合B为一元二次不等式的解集，由题意可知B#0,设x2+ax+b=0的两根为x1,x2(x1<x2),则B=瓦，x2】

11、，在数轴上作图并分析后两个条件：AljB=x|x+2>0说明B将A集合覆盖数轴的漏洞堵上了，Ap|B=x|1cxE3说明B与A的公共部分仅有(1,3】，左侧没有公共部分，从而B=ki,X2的位置只能如此(如图)，可得：xi=1,x2=3,由韦达定理可得：a=2b=-3.X一.一例9：在R上定义运算。：X®y=，若关于X的不等式X®(x+1a)A0的解集是21yx|2ExW2,xWR的子集，则实数a的取值范围是()A.-2<a<2B.-1<a<2C.-3<a<-1或一1<aE1D.-3<a<1X思路：首先将x

12、4;(x+1-a)>0变为传统不等式：x®(x+1-a)>0=<0,x-a1解：x 1; '： x 1 - a 0 =不等式含有参数a,考虑根据条件对a进行分类讨论。设解集为A,因为A三1-2,2,所以首先解集要分空集与非空两种情况：当A=0时，则a=-1;当A#0时，根据a的取值分类讨论计算出解集后再根据数轴求出a的范围即可0:二02-x1-ax-a1设解集为A当A=0时，则a=1当A#0时：若a+1>0=a>1时，A=(0,a+1F2,2a1<2a<1-1：二a三1若a+1<0na<1时，A=(a+1,02,2a1-2

13、a-3-3一a:二T综上所述：a-1-3,11答案：D例10：已知f(x)=mx-x-n(0<n<1+m),若关于x的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3个，则实数m的取值范围是()A.3:m<6B.1；m：3C.0；m：二1D.1；m；0解：所解不等式为mx<|x-n,可以考虑两边平方后去掉绝对值，因式分解可得：(m-1)x+4一时x砒题意中含3个整数解可得：解集应该为封闭区间，所以x的系数均工m-10、>>、，,、大于零，即mmm>1,另一方面，解集区间内有3个整数，从端点作为突破口分m10析，两个端点为x=,x=,因为m-1m10<

14、n<1+m,所以x=w(0,1),进而结合数轴分m1析可得三个整数解为0,-1,-2,所以另一个端点的取值范围为3M2:2(m1)<n<3(m1)，而0<n<1+m，所以只要m-1有交集，则可找到符合条件的n,m,结合数轴可得：2(m-1)<m+1,求出mw(1,3)答案：m三1,3三、近年模拟题题目精选：1、(2016四川高三第一次联考)已知集合M=x|x<2,xwR,N=x|x1Ma,awR,若N三M，则a的取值范围是()A.0<a<1B.a<1C.a<1D.0；a；12、（2014吉林九校二模，1）已知M=x|1<x

15、E2,N=x|xE3，则（CRMf|N=（）A.2,31B.2,31C.-二，-1】U12,3】D.-二,1】U2,3】，.11-3、（重庆八中半月考，1）设全集为R,集合A=xxM2,B=4x>0$，则A|B=.lx-1（）A.1-2,2B.1-2,1C.1,21D.1-2,x4、已知函数f(x)=的定义域为M,g(x)=ln(x+1)的定义域为N,则、2-x2.MU(CrN)=()A.-二,'2B.卜乏二C.2,二D.二,'.25、(2014,浙江)已知集合P=x|x22x±0,Q=x|1<xE2,则(CP仰=()A.0,1B.0,21C.1,2D.1

16、,216、(2014,山东)设集合A=x|x-1|<2,B=y|y=2x,xw0,2,则A。B=()A.0,21B.1,3C.1,4D.11,37、设集合A=x|2x-3<7,B=x|m+1<x<2m-1),若AljB=A,则实数m的取值范围是8、已知全集U=R，集合A=x|x23x4>0,B=x|2xa8L那么集合(CuA)T|B=()A.3,4B.4,二C.3,41D.13,4122.9、若关于x的不等式(2x-1)<ax的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是，.习题答案:1、答案：B解析：若a<0,则N=0符合题意，若a=0,则N=1符合题

17、意，当a>0时，解得:a-1-2M=(2,2),N=(a1,a+1),由N£M可知：io0<a<1,综上可得：a<12、答案：D解析：CRM=(g,-1|J(2,y),在数轴上标出CrM,N的区域即可得出(CrM)nN3、答案：C解析：分别解出AB中的不等式，A:-2<x<2,B:x>1,所以A0|B=(1,24、答案：A解析：f(x)的定义域：2-x2A0=M=(-J2,J2),g(x)的定义域：x+1A0=N=(-1,"),所以CRN=(-«,1),MU(CrN(q,4i)5、答案：C解析：解出P中不等式：xW0或x22,所以CrP=(0,2),则(CrP|Q=(1,2)6、答案：D解析：集合A为解不等式：|x1<2=2<x1<2=x(1,3),集合B为函数的值域，由xwb,2】可知yw1,4,所以A0|B=瓦3)7、答案：m<3解析：A集合为1-2,5,由AlJB=A可知B=A;当B=0时，可得m-2m+1>2mT=m<2,当B于0时，结合数轴可得：<m+1至一2二m圭一3即2m-1<52<m<3,综上可得：m的取值范围是m&