利用角平分线构造全等三角形

1、善于构造活用性质张雷几何问题中，若出现角平分线这一条件时,可联想角平分线的特性，灵活利用角平分线的特性来解决问题.1 .显“距离”，用性质很多时候，题意中只给角平分线这个条件,图上并没有出现“距离”，而角平分线性质的运用又离不开这个“距离”，所以同学们应大胆地让“距离”现身（过角平分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角平分线交于一点，你知道这是为什么吗分析：我们知道两条直线是交于一点的,因此可以想办法证明第三条角平分线通过前两条角平分线的交点.已知：如图， ABC的角平分线 AD与BE交于点I,求证:点I在/ACB的平分线上.证明：过点I作IHLAB IGAG IF XBC；垂足分

2、别是点G F.点I在/ BAC的角平分线 AD上，且IHAR IGXAC .IH=IG （角平分线上的点到角的两边距离相等）同理IH=IFIG=IF （等量代换）又IGXAGIF±BC点I在/ACB的平分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上）.即：三角形的三条角平分线交于一点.【例2】已知：如图，PA、PC分别是ABC外角/MAG口/NCA勺平分线，？它们交于点P,PD±BM于D,PF±BN于F.求证：BP为/MBN勺平分线.【分析】要证BP为/MBN勺平分线，只需证PD=PF而PAPC为外角平分线，？故可过P作P已AC于E.根据角平分线性质定理

3、有PD=PEPF=PE则有PD=PF故问题得证.【证明】过P作PE±AC于E.PAPC分另I为/MAC!/NCA勺平分线,且PDLBMPF±BN.PD=PEPF=PE,，PD=PFX/PD1BMPF±BN,.点P在/MBN勺平分线上，即BP是/MBN勺平分线.2 .构距离，造全等有角平分线时常过角平分线上的点向角两边引垂线，根据角平分线上的点到角两边距离相等，可构造处相应的全等三角形而巧妙解决问题.例3.4ABC中，/C=90°,AC=BCDA平分/CAB交BC于D点，问能否在AB?上确定一点E使4BDE的周长等于AB的长.请说明理由.解：过D作DE!A

4、B,交AB于E点，则E点即可满足要求.因为/C=90°,AC=BC又DELAB,DE=EB.AD平分/CAB且CDLAGEDLAB,，CD=DE由“HL”可证RtAACtDRtAAEtD，AC=AE!_bd=BD+DE+EB=BD+DC+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB三AB例4.如图，/B=Z0=90°,M是BC上一点，且DMFK>/ADQAMff分/DAB求证：ad=cd+ab证明：过M作MELAR交AD于E.,.DMFF分/ADC/0=90°.MC=ME,根据“HL”可以证得RtAMCD2RtAMEID.CD=ED同理可得ab=aecd+ab=

5、ed+ae=aD即ad=cd+ab3 .巧翻折，造全等以角平分线为对称轴，构造两三角形全等.即在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例5.如图，已知ABC中/BAC=90,AB=ACCD?垂直于/ABC?的平分线BD于D,BD交AC于E,求证：BE=2CD分析：要证BE=2CD想到要卞造等于2CD的线段，结合角平分线，？利用翻折的方法把CBD沿BD翻折，使BC重叠到BA所在的直线上，即构造全等三角形,BCtABFD),然后证明BE和CF(2CD所在的三角形全等.证明：延长BACD交于点FBD±CF(已知)/BDChBDF=90°BD平分/ABC（已知）/1=72在BC/口

6、BFD中21（已知）BDBD（公共边）BDCBDF（已证） .BCNBFD（ASA，CD=FD即CF=2CD ，Z5=74=90°,/BDF=90，/3+/F=90°,/1+/F=90°。./1=/3。在ABE和ACF中45ABAC13（已证） .ABEACF（ASABE=CF，BE=2CD?然后证明剩余的线段与另例6.如图，已知AC/BQEAEB分别平分/CAB和DBACD过点E,贝UAB与AC+BD?相等吗请说明理由.【分析】要证明两条线段的和与一条线段相等时常用的两种方法.1.可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段,条线段相等.（割）2.把一个三角形移到另一位置，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等.（补）证法一：如图（1）在AB上截取AF=AG连结EF.在AC讶口4AFE中ACAFAEAE. .AC® AFE (SAS.Z5 = ZC7：AC£D, .LTC+Z=180，又25必6 = 1眇,6=/ D在EFBABDE中BEBE.EF®EDB(AA9FB=DB.AC+BD=AF+FB=AB证法二：如图（2）,延长BE,与AC的延长线相交于