列方程组解应用题

1、第二单元列方程组解应用题一、教法建议抛砖引玉学生解应用题所遇到的第一个障碍就是对文字的理解，其次就是在文字叙述中寻找表达等量关系的条件，再者是把表达等量关系的语句翻译成数学式子（即方程）把数学中的文字表达“翻译”成数学式子的能力是学习代数的一项基本功，另外正确的理解题意，并能寻找出等量关系，又需要一定的阅读能力，所以在应用题的教学中，注意训练学生掌握好基本概念和对文字的阅读理解能力，学生有了解一元一次方程应用题的基础，这里的教学采取讨论式为好，可以调动学生学习的积极主动性指点迷津在教学中应为学生分析疑难，有些学生学习应用题存在着心理障碍，他们觉得应用题难学，一提到解应用题就心里发怵，而影响学习

2、效果，解除这一障碍：（1）要树立信心；（2）要听懂学会.分析理解应用题，首先要掌握基本数量关系，诸如：工作总量=工作效率X工作时间.一般应用题都有两个独立条件，且互相联系，这就是列方程的基础列方程（组）解应用问题，重在提高分析问题和解决问题的能力，因而解题时重在分析.二、学海导航学法提示解应用问题，重要的是审题，审题的第一步是了解问题中的基本数量关系，理解每句话的意义，特别是关键词语的意义.如：汽车从甲地到乙地，如果每小时行驶45千米，就要延误,1/2小时到达，如果每小时行驶50千米，就可提前半小时到达.问甲、乙两地相距多少千米？这里的基本数量关系是“距离=速度X时间”要注意理解的词语是“延误

3、”、“提前”.“延误”就是比要求的时间（或说原计划用的时间）多用了半小时；“提前”就是比要求的时间（或说原计划用的时间）少用了半小时（或早到了半小时）又如：“今年比去年单产15%'“甲厂产量是.乙厂产量的3.5倍”；“乙组人数比甲组多.1/3”；“第一天比第二天少,耕5公顷”；等等，都要认真理解.第二步要分清已知、未知和条件，对题目有了整体了解之后，开始分析题目中的已知、未知和联结已知、未知的条件是什么.题目中要求的是什么？（未知量一个或几个）如上例，求甲、乙两地相距多少千米（隐含一个未知量，从甲地到乙地原计划用多长时间）.题目中的已知量是什么？如上例中有，如果每小时行驶45千米，则延

4、误1/2小时到达；如果每小时行驶50千米,则提前半小时到这，联系已知与未知的条件是什么？（基本数量关系式）如上例，则是距离=速度X时间.第三步，根据上述分析，列方程.设从甲地到乙地原计划用的时间为x小时，甲乙两地的距离为y千米.11如果每小时行驶45千米则要延误半小时到达，即丫=45父x+1l'<2；11如果每小时行驶50千米则要提前半小时到达，即y=50MX-I<2；从而得到方程组y=45Mx+1l：/-J1、Iy=50xx-iI<2J我们要来分析一例：“只要从你的负担中给我一匹骡子和一头驴各驮着几百千克重的东西，驴子向骡子说:100千克，我驮的东西就是你的两倍.”

5、骡子说：“是的，但是如果把你驮的给我100千克,我的负担就会是你的3倍.”问骡子和驴各驮了多重的东西？其实列方程组解应用题，思考起来，就像本例这样简单明确(1)两个未知量(2)两个明摆着的条件，列出两个方程.设：骡子驮x,驴驮y驴说的话列一个方程y+100=2(x-100)骡子说的话列一个方程x+100=3(y-100)即精典题解x+100=3(y-100)y+100=2(x100)【例1】对以下三例进行分析:(1)一个商贩有两种糖果，一种每千克价值9元，另一种每千克价值6元，他想混合成50千克杂拌，使其价值每千克7.2元.问各取每种糖果多少千克.设：选用每千克9元的糖果x千克，选用每千克6元

6、的糖果y千克.思考：1.列二元一次方程组解应用题有哪些步骤？2.分析应用题通常采取哪些方法？3.如何找相等关系？思路分析：把已知和未知列表如下:第二种另一种混合后每千克价格(元)967.2重量(千克)xy50总价格表示为9x+6y=7.2X50总重量表示为x+y=50皿士、”口9x+6y=7.250则有方程组、x+y=50(2)现有浓度分别为30%口5%勺两种烧碱溶液，现在用它配制15%勺烧碱溶液100克,问需要这两种烧碱溶液各多少克？设需要浓度为30%勺烧碱x克，浓度为5%勺烧碱溶液y克.此题与上题类似，列表第一种另一种混合后浓度30%5%15%溶液重量(克)xy1000溶液重量x+y=10

7、00混合后含溶质的重量30%x+5%y=1000X15%则有方程组x+y=1000§0%x+5%y=1000父15（3）两块合金，一块含金95%另一块含金80%若它们与2克纯金熔合，则得到含金90.6%的新合金25克，问原来两块合金各多少克？设含有95%勺合金x克，含80%勺合金y克，即可仿前例列表第一种另一种纯金新合金含金的百分比95%80%90.6%含金重量（克）Xy225合金的总重量：x+y+2=25新的合金含金总重量：95%x+80%y+2100%=90.6%<25则方程组x+y+2=2595%x+80%y+2x100%=90.6%父25小结：上述三例由浅入深，对比分析

8、，它们实质是一样的，这样对比学习思考，会提高学习效果.【例2】甲骑摩托车，乙步行，同时同地在环行道上出发，如果他们第一次相遇，反2向而行要2分，同向而行要2一分，问甲、乙各走完一周各要多少时间？3思考：1.你会用换元法解分式方程组？2.行程问题，路程、速度、时间三者之间有什么关系？思路分析：本例的基本数量关系是：路程=速度x时间，但解此题（1）要想象情景；（2）需要明确，反向行驶第一次相遇.甲行路程+乙行路程=1（周）路程同向行驶第一次相遇甲行路程-乙行路程=1（周）路程（甲乙）x分、y分.周，依题意有方程组设甲、乙两人走完1周路程各需要则甲每分行1/x周，乙每分行1/y2 1412 一十一=

9、12 -3 3 <xV)2(A B) =12=2-(A-B) =1316116解得x=227 y =16由此可知甲、乙分别走完 1周各需22分、16分.7小结：本例在解的过程，引用了换元法，换元法在数学中广泛应用，要逐步熟悉它三、智能显示心中有数利用二元一次方程组解应用问题，是在一元一次方程解应用问题的基础上提出的，如果对用一元一次方程解应用题较为熟练，用二元一次方程组解应用题就不困难.且思考起来更为容易，但解起来较为麻烦.列方程解应用题的目的是提高分析问题和解决问题的能力，因而它是应掌握的基础，又是经常要考查的内容！动脑动手1.请听下面一段对话：“昨天晚上我看到了你的儿子.”查理说，“

10、好多年没看到他了，现在多大了？”汤姆笑了：“7年前特德的年龄是我的年龄的1/3，7年后他的年龄是我的年龄的1/2.”那么特德现在多大呢？2.用甲、乙两种浓度不同的盐水200克和400克，混合成浓度为6%的盐水，已知甲种盐水浓度是乙种盐水浓度的1.6倍，求甲、乙两种盐水的浓度.3. 两个骑自行车的人，从相距6千米的两地在同一路上向同一方向前进，如果他们同时出发，那么后面的车经过3小时就可以追上前面的车；如果后面的车比前面的车迟1小时出发，那么需要8小时才能追上前面的车，求他们的速度.4. 现有三种合金：第一种含铜60%，含锰40%；第二种含锰10%，含镍90%；第三种含铜20%，含锰50%，含镍

11、30%，现在各取适当重量的这三种合金，组成一块含镍45%的新合金重量为1千克.（ 1）试用新合金中第一种合金的重量表示第二种合金的重量；（ 2）求新合金中含第二种合金重量的范围；（ 3）求新台金中含锰的重量的范围.创新园地1. 有一个200以内的数，除以6余5；除以7余4；除以8余3，请问这个数是多少？2. 用5元钱购买0.5元、0.1元、0.01元价值的三种物品100件，问各应买几件？四、同步题库一、填空题1. 已知某校女生人数比男生人数少28人，若设女生人数为x人，男生人数为y人，则以上关系用等式表示为.2. 现有载重5吨的卡车x辆，载重7吨的卡车比它少3辆，它们一共运货物y吨，那么y与x

12、的关系式是.3. 已知两个工程队有若干名工人，若从甲工程队调出10名工人到乙工程队，则乙队工人数是甲队工人数的3倍，若设甲、乙两队原来工人数分别为x人、y人，则以上关系用等式表示为.4. 浓度为30%勺盐水x千克，浓度为y%勺盐水70千克，混合后溶液中含纯盐千克，混合后的浓度是.5. 今年收入x元，支出y元，而今年收入比去年高10%，支出比去年低15%，则去年结余是元.6. 已知两数之和为17，两数之差为2，则这两个数是.7. 某船在海中航行，顺水速度为22千米/时，逆水速度是8千米/时，则此船在静水中的速度为千米/时，水流速度为千米/时.8. 把若干本书分别送给若干个学生，每人4本还余12本

13、，每人再加2本，则少10本，那么学生有人，书有本.9. 有一个两位数，十位数字与个位数字之和等于9，且十位数字比个位数字的3倍大1，则此两位数是.10. 一次测验共有10道题，规定答对一题得10分，答错或不答均扣3分，某学生在这次测验中共得61分，则该生答对了题.11. 某年级学生去旅行，如果每辆车坐45人，那么有15个学生没车坐，如果每辆车坐60人，那么可以空出一辆车，则共有辆汽车，名学生.12. 一座水池有甲、乙两个进水管，已知甲管每小时比乙管多注水5立方米，若同时开放甲、乙两个注水管， 水管每小时注水立方米5小时后水池蓄水250立方米，则甲注水管每小时注水立方米，乙注13. 有一批机器零

14、件共1100个待加工，如果甲先做5天后，乙加入合做，那么再做8天正好做完；如果乙做5天后，甲加入合做，再做9天可做完，则甲每天做个，乙每天做个.14. 表兄弟两人，弟弟五年后的年龄与哥哥5年前的年龄相等；三年后兄弟两人年龄的和是他们年龄之差的3倍，则表兄弟两人今年的岁数分别为、15. 甲、乙共同生产零件420个需12小时，已知甲生产3小时与乙生产4小时的零件数相等，则每小时甲生产的零件个数是，乙每小时生产的零件个数是二、选择题40cm,且长比宽的 2倍少3cm,下列'x + y = 40y = 2x 3(B)2x + 2y =402y = x + 3x y = 20(。1°y

15、 = x 3217.有含盐10%1 80%勺盐水，需配制 15%勺盐水 列方程组能满足上述关系的是 .'2x + 2y =40 2y = x _ 3300千克，求两种盐水各需多少克？下(Q 3x y =300J0%x+80%y =300'x+ y = 300(x +y)(10% +80%) =300 15%x + y = 300J0%x + 80%y = 15% 300x + y = 30080%y-10%x = 300 15%16. 某一长方形的长为xcm,宽为ycm,若周长为方程组满足上述关系的是.18. 用大、小两台拖拉机耕地，1小时共耕30公顷地，已知大拖拉机的效率是小

16、拖拉机的1.5倍,(A)若大、小拖拉机每小时各耕地x + y = 30、x = 2.5yx、y公顷，则依题意得.(B) 3x=30-y2y = 3xf(Qx + y = 30x = 1.5y-+ = 30'x y 30x = y 1.519.甲、乙两个人沿周长为300米的足球场跑步.若从同一点出发反向而行则20秒相遇一次，同向而行则每 1分钟相遇一次，设甲、乙两人速度分别为x米/秒，y米/秒，(x>y),则下列方程组正确的是.x y = 20 uy=ix + y =15、y x = 5(D)20 .乙组人数是甲组人数的一半，若将乙组人数的三分之一调入甲组, 15人；则甲、乙两组各

17、有人？(A) 9人、6人(Q 18人、9人21 .一条船在一条河上的顺流航速是逆流航速的 的.(A) 1:2(C) 2:1(B) 12 人、(D) 6 人、300203001则甲组比乙组多3倍，这条船在静水中的航速是水流速(B) 1:1(D)3:122.足球比赛，月4一场得 3分，平一场得1分，负一场得 20分，其中负场数等于平场数一半；若设胜 x场，平y场, 是.0分，某队共参赛11场，得分 负z场，下列方程组中正确的(A)x y z =113x y = 20z =2y(B)x十y+z 二 113x y z = 20z = 2y(Q_x y z =11 3x y =20 y =2z(D)x

18、+ y + z = 113x y z = 201z = 2y23.已知甲、乙两数之和是 28,甲数的3倍等于乙数的4倍，求甲、乙两数，设甲数为 x,乙数为y,则下列方程组中正确的是 .r.(A)4x = 3yx + y = 28(B)11 人x - - y = 03428 - x = y 3x-4y =0彳 x y = 28(D)4y=3x24.某班级同学参加运土劳动，- 求抬土与挑土各多少人？若设抬土同学有f y y)2 x +- i = 59(A)(<2,xx + y =36、2部分同学抬土,已知全班共用土筐 59个，扁担36根,x人，挑土同学有y人，则根据题意得方程组(B) 3x

19、+ 2y = 59、2x + y = 362x y =369 ”y=59(D)25.某船顺水航行的速度 a千米/时，逆水航行的速度为 速度为.x_ + 2y = 59«2,x+ y = 36L 2b千米/时(a>b>0),则水流的(A)(a-b)千米/时(B)(Qa 一b千米/时2(D)a - bab千米/时2'a -b i千米/时23台，就要延26.用抽水机若干台，在规定时间内可以完成给定的抽水任务，如果减少长6小时；如果增加2台，就能提前2小时完成，若设原有抽水机x台，原计划y小时完成,则正确的方程组是.x-3)(y+6) =xy (x+2)(y -2) =

20、xy '(x-3)(y+6) =xy x2)(y 6) =xy(x +3)( y +6) = xy Kx+2)(y-6) =xy (x + 3)(y -6) = xy <x-2)(y + 6)=xy4,.一,，一,，一，27.甲工程队的人数比乙工程队的人数的f少30人，若从乙队调10人去甲队，则甲队53，一一.一._，一一人数就是乙队人数的3;如果设甲队原有x人，乙队原有y人，则方程组正确的是44x + 30 = y(A) (5x + 10=：(y10)x + 30 = 4 y(B) 54x-10 = -(y-10)x ' 30 = y(05x + 10 = yL428.

21、有甲、乙两种酒精，从甲种取CC 4 ,“、x + 30 = (y 30)(D)5x + 10 = y14，240克，乙种取120克，制成的酒精浓度是40%从甲种取160克，乙种取320克，制成的酒精浓度为 50%求甲、乙两种酒精浓度各是多少? 若设甲种酒精的浓度为 x%乙种酒精的浓度为 y%则下列方程组中正确的是 .(A) 3x% y% = 40% 50%240+ 160)(x% + y%) = (120 + 320)(40% +50%)(B) 3x% + y% = 40% + 50%240 +160)(40% + 50%) =(120 + 320)(x% + y%)(Q 3x% y% = 4

22、0% 50%160 x% +320 y% =(160 + 320) 50% 240 x% +120 y% =(240+120) 40% J60 x%+320 y% =(160+320) 50%29.有一个两位数，它的十位上的数字与个位上的数字之和为 数有.6,符合这个条件的两位(A) 4个30.若方程组(B) 5 个4x 3y = 1 kx (k -1)y =3(C) 6 个(D)无数多个的解x和y的值相等，贝Uk的值等于.(A)4(B)10(C)11(D)12三、解答题131 .甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，若同向跑，每隔3分钟相遇一次；3若反向跑，则每隔40秒相遇一次；已知甲

23、比乙跑得快，求甲、乙两人的速度32 .甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，三人都解出的题叫做容易题，试问难题多，还是容易题多？多的比少的多几道题？33 .100元买15张邮票，其中有4元、8元、10元三种，问有几种买法？34 .王华同学去某批零兼营的文具商店，为学校某美术小组的30名同学购买铅笔和橡皮擦，按照商店规定，若给全组每人各买2支铅笔和1块橡皮擦.则必须按零售价计算需支付30元，若给全组每人各买3支铅笔和2块橡皮擦，则可以按批发价计算，需支付40.5元，已知每支铅笔的批发价比零售价低0.05元，每块橡皮擦的批发价比零售价低0.

24、10元，问这家商店每支铅笔和每块橡皮擦的批发价各为多少元？35 .甲、乙两人分别从A、B两地同时同向出发，36分钟后，甲追上乙，如果同时出发9分钟后，乙停止前进而等候甲，那么甲再需10分钟可追上乙，问甲走完AB间的路程需多少分钟？36 .A、B两水桶的容量之比为3:4,A桶内有水56升，B桶内有水49升，若将B桶内的水倒入A桶并加满，那么B桶内剩下的水是它容量的一半，求两水桶容量？37 .甲、乙两种酒精溶液，若等量混合，则浓度为87%,若按5:7比例混合，则浓度为87.5%,求这两种溶液的浓度.38 .三个数的和等于15,第一个数减去第二个数的差等于第二个数减去第三个数的差，第二个数与第三个数

25、的和比第一个数大1,求这三个数.39 .一个长方形，它的长减少4cm,宽增加2cm,所得的是一个正方形，它的面积与原长方形面积相等，求原长方形的长和宽.40 .加工420个机器零件，甲先做2天，乙加入合作，再做2天完成；如果乙先做2天,甲加入合作，那么需再做3天完成，问甲、乙两人每天各做多少个零件?参考答案动脑动手1.设特德现年x岁，一 1x-7 = -(y-7)J1 /二x +7 = (y +7).2汤姆现年y岁.x =21、y=492 .设每100克盐水甲种含盐 x克，乙种含盐y克.'200x+400y =600父6 x =1.6y3 .设前面的人每小时骑车行y = 5x千米，后面

26、的人每小时骑车行 y千米.3y =6 +3x8y =6+9xx =10y =12x千克，第二种合金用量为 y千克，第三种合金用量为z4. (1)设第一种合金用量为千克.xyz=190%y+30%z=1父45%j=0.5x+0.25(2)如果不取第三种合金，即z=0,这时新合金中第二种合金重量最小x+y=1力士'ny=0.5(千克)、90%y=1M45%故第二种合金的重量范围是0.25千克到0.5千克.90%y+30%z=1M45%可知：z=1.5-3yx=2y-0.5设新合金中含镒的重量为S,则S=40%x+10%y+50%z=0.4(2y-0.5)+0.1y+0.5(1.5-3y)=

27、-0.6y+0.550.25<y<0.50.25<S<0.4可知含镒的重量为0.25千克至0.4千克.创新园地(略)同步题库一、填空题1.x+28=y 2.5x+7(x-3)=y 3.3(x-10)=y+10 4.30%x+y%30%x y% 70x 70xy一5. y6.9.5和7.57.15,78.11,569.7210.711.5,240110%1-15%12.27.5,22.513.60,4014.17,715.20,15二、选择题16.B17.B18.C19.B20.C21.C22.C23.C24.D25.C26.A27.A28.D29.C30.C三、解答题31 .解：设甲、乙两人的速度分别是x米/秒、y米/秒，根据题意得6031(x-y)=400340(xy)=400X=6解得3y=4答：甲/速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米.32 .解：设有x道难题，y道容易题，其余为某两个解出的一般题共z道，由题意得x+y+z=100，x+3y+2z=60M