理论力学第七章题解

1、理论力学题解第七章思考题7.1. 建立适当的坐标系 Oxyz，单摆悬挂点 A始终在x轴上，摆锤为B，摆长丨，则摆锤的2 2 2 2 约束方 程为：Xa =Xa°vt ，（Xa-Xb）- （yA - Yb）（Za-Zb）=I ，yA =0, Za =0, Zb =0。可见，摆锤受完整、双侧、非稳定约束。是否受理想约束，要视悬挂点的约束情况而定。7.2. 轮I、II、III的转角 巴严2严3可唯一确定力学系统的位置，典被确定后，轮I及绳的位置被确定，2, ；：3确定后，轮II轮III的位置随之确定。；：1, ；：2, ；：3为系统的广义坐标。系统 的自由度为3。7.3. 由于约束方程可积

2、，积分为：x2y2z20（ C为积分常数），所以该约束属于完整约束。747.5.7.6. （ 1）由于已知平板的运动规律，所以圆轮与平板的接触点的虚位移（相对固定平面）=r （相对平板）+ r（平板牵连运动引起的）中的 r" = 0。又因圆轮作无滑滚动，因此、了"=：0。于是圆轮所受约束力的虚功之和Fnr - Ff r = 0，圆轮受理想约束。（2）由于平板运动规律没有预先给定，r ” = 0 , Fn r Ff r = Ffr0，圆轮受到非理想约束。如果以圆轮和平板作为一个系统，约束力的虚功之和为零，系统受理想约束。7.7.7.8.7.7. 因石a+Fr2厨2=卩齐brr

3、= Fr,可（歼1是质点1相对质点2的相对虚位移）。 所以F&丄州或 =0，都会导致两约束力的虚功之和为零。7.10.7.11.第七章习题7.1. 杆的自由度为1,以杆与水平方向的夹角 二作为广义坐标，根据虚功原理， W*Yc=0(y轴沿碗对称轴铅垂向下，原点在碗口中心，yc是杆质心的坐标)而y = Rsi 2 -asi n， W 刑c =W(2Rcos2v - acos)、：，因、j 的任意性，使2Rcos2 v - a cos t - 0，2即 4Rcos v - a cost - 2R = 0 ,得 cos)=i 99a a232R28R*rccosaa232R28R7.2. 系

4、统自由度为 1建立Oxy坐标系。选择曲柄OC与水平轴Ox轴得夹角为广义坐标。虚功原理写成F Yb - R、Sc =o， Sc是C点的弧坐标，正方向沿逆时针方向，坐标变换方程为：Yb工-(AB-Itg J,Sc =R ，将虚功原理的方程写成(Fzlsec2-FFF O,l sec2由于门是任意的，所以得广义平衡方程(F2l sec2- F,R) = 0，F,F2。R7.3. 系统自由度为 1以手柄的角坐标 为广义坐标(逆时针方向为正方向)，由虚功原理得-W、yA ' FL=O( Oy轴竖直向上)，而:吗A丄门，得F W 。2兀2兀L7.4. 弹簧圈自由度为 1选取弹簧圈面到圆锥体顶点的距

5、离h为广义坐标，弹簧圈势能1 2dV22V k(2 htan -I)2 -Wh。通过 0，得 4 2khtan2 ： -2：kl tan ： -W = 0，故2 dh弹簧圈平衡时h二2曹/2 W 。4 兀 kta n a7.5. s h ,以 为广义坐标，水平面为重力势能零点，系统势能V =W,li sin , W?l2sin笃，约束方程为 2l,cos , 2l2cos =EF，根据虚功原理，得tanW2tan 2。7.6.将约束释放并以六个约束力FTi、FT2、FT3、FT4、FT5、Ft6代替，将其作为主动力处理，选择一足与竖直直线的夹角二为广义坐标，由于系统结构与对称性，虚功原理写成-

6、F Ye -3Ft-：s=0，其中Ye为E点在对称轴oy上的坐标，s是两足端点距离，系统的约束方程yE = I co s ， s = 2I sin cos30 = 3I sin ，最后得到绳子的张力为F tan v337.7. 解除约束并代以约束力Ft、Ft2，取C、D点连线和杆AC的夹角为广义坐标，建立原点在EF杆中点的直角坐标系 Oxy，根据虚功原理， 一 F y F- F x = 0，由坐标变换方程得.y =2lcos：w，j.xC = I si n y , j.Xd - -Is in ?-.?，考虑到： 的任 意性，最后得FT =Fcot。7.8. 解除绳子的约束，将绳子张力Ft、FT

7、2当作主动力处理，选择杆 AB和竖直对称轴的夹角为广义坐标，以两钉的中间固定点为坐标原点，建立Ox轴水平向右、Oy轴竖直向下的直角坐标系，由虚功原理F、：yc - FXd - FtqJXb =0，根据坐标变换方程，并考虑到a 3二 的任意性，得到广义平衡方程，进而得到绳子的张力Ft二F tan （ esc3 - 1）。2l7.9.用虚功原理，可求出质点的平衡位置为y=-mg/k2，x二.R2-m2g2/k4.。利用不定乘子法，将约束方程x2，y2R2=0求变分，并乘以不定乘子，2 22 XX 2 y y = 0，与 k x、x - mg、y 二 0 相加，得 kx 2x = 0， - mg 2

8、y=0 , 求出-k2/2，用Fn =f，即可求出Fn :大小FN = k2R ，方向从所在处指向圆 环中心。7.10.以滑轮、绳子、重物为系统，选择滑轮的角坐标为广义坐标，系统的拉格朗日函数11 2 "2为L（m1 m）R : （h。 R ）mg，h。为重物的初始未知坐标，作用量的变分2 2t11=（m1 +m）R292+（h。+R®）mgdt,应用分部积分和 秋 t± = §®tT=0 的条t0 2 2t1112 .件，S - （ m1 m）2R : Rmgp dt，对于真实运动，= 0，且'、是任意的，t0 2 2因此-（丄口1 m）R m g R0 ,2mg ,重物的加速度为2g +2m）R122 t11"2 127.11. L mx kx , S(-mxkx )dt ,22 %2 2rr t11F?12 r S ( mx - kx )dt(mx x - kx、x)dt = 0 ,t0 2 2进行分部积分并利用 h t 士 = & t ± = 0,且考虑到 族是任意的，进而得到线性谐振子的运动微分方程 mx kx = 0。117.12.以小球的r为广义坐标，L m(r2 r22)一一 k(r-l0)2,22b 1、22 212、S