高中数学两条直线平行与垂直的判定

1、3.1.2两条直线平行与垂直的判定【知识提炼】 茹ww：盘和山本孝林妁E ，中如1手珑免.甘景 S*那才h*rX,它/用* | ¥隹拿也i.1 .两条直线平行与斜率之间的关系斜率存在斜率不存在条件a 1= a 2 / 90a 1= a 2 _=90对应关系11,”11 II 12?两直线斜率 都不存在图示等用2 .两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关系11,12（两直线斜率都存在, 且都不为零）？k-k =-111的斜率不存在，12的斜率为 0? 1 11 2【即时小测】1. 思考下列问题:(1) 如果两条直线平行, 则这两条直线的斜率一定相等吗 ?提示 : 不一定 . 只有在两条

2、直线的斜率都存在的情况下 , 斜率才相等.(2) 如果两条直线垂直, 则它们的斜率的积一定等于 -1 吗 ?提示 : 不一定 . 若两条直线的斜率都存在 , 它们垂直时斜率之积是 -1, 但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是 0, 另一个不存在.2. 若两条直线的斜率都不存在 , 那么这两条直线都与 x 轴 ()A.垂直 B.相交 C.平行D.答案不确定【解析】 选 A. 当两条直线的斜率都不存在时 , 这两条直线都垂直于 x轴3. 若直线 l1 的斜率为 , 直线 l2 的倾斜角为60° , 则两直线的位置关系为()A.平行 B.垂直 C.相交 D.重合【解析】 选 A. 由于

3、直线 l2 的倾斜角为60° , 则该直线的斜率为 , 故两直线的斜率相等, 所以两直线平行.4. 已知点A(2,-1),B(3,2), 则线段AB的垂直平分线的斜率为【解析】 直线AB的斜率为kAB=3,由于线段AB的垂直平分线与直线AB垂直，故两直线的斜率乘积等于-1,则线段AB的垂直平分线 I斜率为 答案:5. 已知直线li经过两点(-1,-2),(-1,4), 直线12经过两点(2,1),(x,6),且 li / 12，贝U x=【解析】由于直线11经过两点(-1,-2),(-1,4), 所以li垂直于x轴，又 因为 li / 12,故 x=2.答案：2核心导学 ,帽练互制区

4、【知识探究】知识点1两条直线平行的判定观 察如图所示内容,回答下列问题：（汩日 均女工匕3（左二总7o7问题1:两条直线平行与两条直线的斜率有什么关系问题2:利用斜率判定两条直线平行有什么前提条件【总结提升】1.判定两条直线平行的理论依据(1)依据直线的倾斜角的定义可知 若两条不重合的直线的倾斜角相等,则这两条直线平行(2) 依据直线的斜率的定义可知 :若不重合的两条直线li, 12的斜率都存在，分别为ki,k 2,倾斜角分别为a 1, a 2,则 li / 12? ai= a 2? ki=k2；当不重合的两条直线的斜率都不存在时 , 由于它们的倾斜角都是90° , 故它们也互相平行

5、.2. 对两条直线平行的判定条件的理解li / 12? ki=k2成立的前提条件有两个：(1) 两条直线的斜率都存在 .(2) 这两条直线不重合知识点2两条直线垂直的判定观 察如图所示内容,回答下列问题问题1:两条直线垂直与两条直线的斜率有什么关系问题2:判定两条直线垂直应注意哪些问题？【总结提升】 两条直线垂直的判定必须注意的三个问题(1)利用ll±l2? kl k2=-1判断两条直线垂直的前提是这两条直线的斜率都存在 , 且都不为 0.(2)如果kik2*-1,则两条直线一定不会垂直.(3) 若两条直线中 , 一条直线斜率不存在, 同时另一条直线斜率等于零,则两条直线垂直.这样，

6、两条直线垂直的判定的条件就可叙述为：li工12? ki k2=-1或一条直线斜率不存在 , 同时另一条直线斜率等于零.【知识拓展】 求直线斜率的四种常用方法设a为直线的倾斜角(a片90° ),则k=tan a . 已知两点 A(xi,yi),B(x 2,y 2),则k= (xix2),此时k的大 小与两点顺序无关.(3) 利用两斜率存在的直线平行的条件:k 1=k2.(4) 利用两斜率存在的直线垂直的条件:k 1k2=-1.【题型探究】类型一两直线平行【典例】1.下列直线11与直线12平行的有 11 经过点 A(2,1),B(-3,5),12 经过点 C(3,-3),D(8,-7).

7、). 11 经过点 E(0,1),F(-2,-1),12 经过点 G(3,4),H(2,3)(3) 1i的倾斜角为60° ,12经过点M(1, ),N(-2,-211平行于y轴，12经过点P(0,-2),Q(0,5).2.(2015 通辽高一检测)已知 P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1), 若 直线PQ/直线MN,求m的值.【解题探究】1.典例1中判断直线11与直线12是否平行要从哪两个方面分析 ?提示 : 一是判断两条直线的斜率是否相等, 二是判断两条直线是否重合.2.典例2中由直线PQ/直线MN需要讨论直线PQ,MNM率的存在性吗？如 何讨论 ？ 提示：

8、分当m=-2或m=-1以及 m5 -2且 m5 -1时进行讨论【解析】1.(1)由题意知，所以直线11与直线12平行或重合，又 kBCF故 11 /(2)由题意知，所以直线11与直线12平行或重合,kFd=故直线h与直线I2重合.12.(3) 由题意知 ,k 1=tan60 °=,k 2=ki=k2,所以直线li与直线12平行或重合.(4)由题意知li的斜率不存在，且不是y轴，12的斜率也不存在，恰好是y轴，所以li / l2.答案 : (i)(4)2.当m=-2时，直线PQ的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与PQ不平行,不合题意；当m=-1时，直线MN的斜率不存在,而直线PQ

9、的斜率存在，MN与PQ不 平行 , 不合题意 ;当 RP5 -2 且 RP5 -1 时，因为直线PQ/直线MN所以kpQ=kMN即解得m=0或m=1.综上 ,m 的值为 0 或 1.【方法技巧】判断两条直线是否平行的步骤在证明两直线平行时应注意的特殊情况在证明两直线平行时 , 要区分平行与重合, 必须强调不共线才能确定平行 . 因为斜率相等也可以推出两条直线重合【补偿训练】 试确定m的值，使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C( -4,3),D(0,5) 的直线平行.【解析】 由题意得 :k AB=kc=由于 AB/1 CD,即 kAB=kcD所以 所以 m=-2.类型二两条直线

10、垂直【典例】1.下列直线11与直线12垂直的有(1) 11 经过点 A(-1,-2),B(1,2),12 经过点 M(-2,-1),N(2,1).(2) 11 经过点 A(3,4),B(3,-20),12 经过点 M(5,-10),N(-5,-10). 11 过点 A( ),B(0,3),12过点 M( ),N(2,0).2.(2015 大同高一检测)已知定点A(-1,3),B(4,2), 以A,B为直径作圆,与x轴有交点C,求交点C的坐标.1. 典例 1 中如何由两点的坐标求直线的斜率?提示：k=(x 1*X2).2.典例2中点C的坐标有何特点？直线AC,BC有何位置关系？提示：点C的纵坐标

11、为0,直线AC与BC垂直.【解析】1 k 1=k2= kik2=1,所以直线li与直线l2不垂直.li的倾斜角为90° ,则h±x轴,k2=则I2平行于X轴，所以ll±l2.(3)k 1=则 ki - k2=答案：(2)(3)=-1,所以 Il±l2.2.以线段AB为直径的圆与x轴交点为 C.则 AM BC,设 C(x,0),则所以所以x=1或2,所以C(1,0)或(2,0).【延伸探究】(改变问法)判断本例1(1)中直线AM和直线BM是否垂 直？【解题指南】 利用斜率公式求出直线 AM和直线BM的斜率，再利 用两直线垂直的条件判断 .由斜率公式可得kA

12、M=kBM=因为kAM kBi=-1,所以直线AM和直线BMB直.【方法技巧】1. 两条直线垂直的判定条件(1) 如果两条直线的斜率都存在且它们的积为 -1, 则两条直线一定垂直(2) 两条直线中 , 如果一条直线的斜率不存在, 同时另一条直线的斜率0, 那么这两条直线也垂直.2. 使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1) 一看 : 就是看所给两点的横坐标是否相等 , 若不相等 , 则直线的斜率不存在 , 若不相等 , 则进行第二步 .(2) 二代 : 就是将点的坐标代入斜率公式 .(3) 求值 : 计算斜率的值, 进行判断 . 尤其是点的坐标中含有参数时 , 应用斜率公式对参数进行讨论.若直【

13、变式训练】 已知 A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),线AB± CD求m的值.【解析】因为A,B两点纵坐标不等,所以AB与x轴不平行或重合.因为ABI CD所以CD与x轴不垂直，所以-mp5 3,mw -3.当 AB 与 x 轴垂直时 ,-m-3=-2m-4, 解得 m=-1.此时,C,D纵坐标均为-1,所以CD与x轴平行,所以AB±CD满足题意.当AB与x轴不垂直时,由斜率公式, kcEF-1,解得m=1因为ABLCD所以kAB即综上,m的值为1或J解答本题易漏掉直线斜率不存在的情况【补偿训练】 直线li的斜率k产，直线12经过点

14、A(3a,2),B(0,a), 且I1H2,求实数a的值.【解析】由1iL12可知kik2=-1,即解得 a=类型三 垂直与平行的综合应用【典例】(2015 衡水高一检测)已知矩形ABCD勺三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2), 求第四个顶点D的坐标.【解题探究】 典例中由矩形可得哪些平行和垂直关系 ?如何建立等量关系 ?提示 : 可得邻边垂直, 对边平行 , 利用斜率关系建立等式求解.【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y),因为ACLCD,AD/ BC,所 以kAD , kc=-1,且 kAC=kBC所以 解得所以第四个顶点 D 的坐标为 (2,3).【延伸探究】1

15、 .( 变换条件 ) 若在本例中假设点 D 的坐标为 (3,2), 求点 C 的坐标 . 【解析】 设点 C 的坐标为 (x,y),因为 ADL CD,ADI BC,所以 kAD- kcD=-1,且 kAD=kBc所以 即解得故点2 .(变换条件)若将本题中的矩形改为平行四边形ABCD其三个顶点的坐标分别变为 A(1,5),B(-1,1),C(3,2), 求顶点D的坐标.【解析】因为四边形ABC虚平行四边形,所以AB/ DC,AD BC,即 kAB=kDC,k AD=kBC,设 D(x,y), 则解得 x=5,y=6, 故点 D(5,6).利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤(1) 描点

16、 : 在坐标系中描出给定的点 .(2) 猜测 : 根据描出的点 , 猜测图形的形状.(3) 求斜率 : 根据给定点的坐标求直线的斜率 .(4) 结论 : 由斜率之间的关系 , 判断形状 .若4ABC是以点【补偿训练】 ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m), A为直角顶点的直角三角形,求m的值.【解析】因为/A为直角，则ACL AB,所以kAc kAB=-1,=-1, 得 m=-7.【延伸探究】1 .（变换条件）本例中若改为/ A为锐角，其他条件不变，如何求解m的值. 【解析】由于/A为锐角，故/B或/C为直角.若/B为直角，则ABL BC,所以kAB kBC=-1, 即=-1, 得 m=3;若/C为直角，则Ad BC,所以kAc kBC=-1,即=-1, 得 m=± 2.综上可知，m=3或m=± 2.2 .（ 变换条件 ） 若将本例中的条件“点 A 为直角顶点”去掉, 改为若ABC为直角三角形，如何求解m的值.【解析】若/A为直角，则AC±AB,所以kAC kAk即二-1,得m=-7;若/B为直角，则ABLBC所以kAB- kBd=-1,即