高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第七章课后答案

1、高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第七章课后答案高等数学（同济大学数学系 第七版）上册第七章：微分方程课后习题答案-可编辑修改-微分方程的基本概念武说出F列各微分方程的阶数：(1 ) x(yr)2 -2# + 工 ±0；(3)312/+凸=0；(2) x2r -XY( +)=0；(7.1 - 6v )dj + (,r +)dr = 0； ( 6 1 "' + o = *irJ”.解(！)一阶：(2)二阶 «3)三阶乂 4)一阶；($)二阶；(6) 阶.以2.指出F列各题中的函数是否为所给微分方程的解;(1 ) xyf -2y,y - 5v:：(2 )

2、y" + r=0 ty = 3sin t - 4cos J;(3 ) y" - 2y' +) = 0, j = x'p1 ；(4 ) y" - 1 A( + A2)+ A , A2y -0,y = Cj t* 1 + C,eAjl.解(1) III > =5/.得/=IO.=10小力,故j =5?是所给微分方程的解.(2 )由 y = 3sin x -4cos x ,得 y1 = 3cos x + 4sin x ,进而得v，f 三一3 sin v + 4rn r, 于是)/r + i -( - 3sir» a 卡4。片 a ) +

3、( 3sin x -40os >)二。.植N二33“H14cH，是所给微分方程的解.(3 )市=”£，得 / = 2ac1 + 上%1 =2k +/)匕* ,进而得yn - (2 + 2x ) c' + (2.v +) el 二(2 + 4工 + ”.于是y1, 2y* + y - (2 + 4x + v2 ) -2(2+/) + i" v' = 3*0.故不是所给微分方程的斛，(4)由.=G-2 +心”巴得/ = a ! & J产十九一.进而得)” » 人沁"”+ 人;”2,I于是八(A + >z)? "

4、+ A)Aay工+ A：。？，5"# 4 2)(；右打-A:(Aj + AJCu11 +高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第七章课后答案243第七章微分方程故,二G?"是所给微分方程的解.图3,布下列各题中.验证所给二元月程所确定的函数为所给微分方程的解:(I 卜 I I - 2 y i rF x 2 y * r -qj + y* = C；(2 ) (1j - * ) >" + *)" +- 2y' =。.y = ln( y "解(i)在方程/ 盯r、c两端对了求导J导2x - (丁 + 一工/) + 2yyr - 0,即(t

5、-2).2一故所给二元方程所仲定的函数是微分方程的解.(2)在方程1=加(孙)两端对北求导.得 y + k)- ，即(工、一)了7 =0,再在七式网端对上求导，得(y + a/' - 1 )1 + ( xy - x) - yr，- 0,即(4 -、).+”" +=。.故所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解，U4在下列各邂中，确定函数关系式中所含的参放.使函数满足所给的初侑 条件；() .x2 - y2 =C,y t ；0 =5:门)=(c, +o=i；6金(工-c2 m界=1，门=二°，解(1)由，U =5将=5代人函数关系中,得C= -25,即J - ?；

6、= 25,(2)由y =(4+。/)小，得< 二(心 +2C :2CR 0.将工二0.二。及/二I代人以上两式，得。= G,. I = C2 + 2Ct,改 Ct - 0, C2 = i t j = Jt 1.(3 i y - Crsm( x -C2).得yh = rcs( x k «：2 )格17 ,尸1及 =0代入以上两式，得(£1 :储石以五一-可-=C；siii C).10 = G COS ( TT 一 g ) = Cj ros f：:rli I0-1 r itL i l /h _ 1 J， t ,扪 ill Z- T L _ . 1T高等歆学（第七版）上册习

7、短全篇注 取G= T,可得相同的结果.5,写超用F列条件确定的曲线所满足的微分方程:（1）曲线在点（%处的切线的斜率等于该点横坐标的平方!（2）曲线上点用Kd）处的法线与X轴的交点为。.旦线段PQ被）胞平分.解U）设曲线方程为厂心）花住叱C2处的划线斜率为.依条件冷寸=寓2 .此为曲线方程所满足的散分方程,（2）设曲线方程为尸乂），因它在点r<a，“处的切线斜率为故该点处法线斜率为yih条件如PQ之中点位P轴上，故点Q的坐标足（一.，,。）,足（j即微分方邓为“；2" =0酶机用微分方程莪示一物理命题：某种气体的气压P对于温度丁姓变化率气压成 正比.与温度的平方成反比.解 闷“

8、巧产成正比.与一成反比，若比例恭敬为队则有看7.个半球休形状的雪堆，其体积滴化率与¥球面面积八成小比.比例系故A > 0.假设在融化过程中T堆一脸终保舟半球体吟状，己却r i -：为q的巧堆在开始但化的37小时内，做化其体枳的:,同，用全部融化需要多少时间？解 设守地在时刻J的体积为一；f3.恻面枳由题设卬积分得r - - kt C.lh r “二 j fil f：二八 / x r- - Av V I - - I -ir f r,、- 4小）3-245第七章微分方程:. 得 A 上1- . 从而I因雪堆全部融化时,=0 .故全1 = 6 .即雪用全部融化力6小时.可分离变量的微

9、分方程2L求下列微分力程的通解：(1 ) X) ftH ） I EH原方n加，。的聃，困此方程的航 人 士 &工中£ 可原取从而通 -yh y = 0；(2) 3/ +5.t -5/ =0；(3'1=、1 (4) yf -xy* =«( / +./)：(S ) jrtmi > ilt + see" j lun juh = U ：( 6 )- - IOJ * 1 ；<lx7) ; r1 -t'14-(t1 4 ' + ex )dv-0;( 8 ) cog +tin vdrt + sit! ydj = 0;() ( >

10、 + 1 ):+ a3 = 0;( 10) ydx + ( J - 4h )dy = 0.IIX解(】)原方程为尸0 ,分离变地得 ax<1 r _ tr,!ny x两端积分得In | In y | In | j +ln =lr|C|x|(C| >0)#即 In，二 士 G, ,故通解为 In y u Cx,即 y = e° I .(2)即方程可写成5./二3尸+Sj积分得“二一+1一产+G ,即通蝌为IV 5(3)峰方程为力-7?=,分而变相将 dt三 心 ，J 一、I - X2两册枳分功arcmin > = agE式+ C即为听方书的通斛如原力'程可写成

11、U r ->外公的变让得246一“高等数学(第七版)上册习题全解两端枳分得r即丁 二 -y-n1, / t是原方程的通解一r7Jn 11 - x - a I + C(5)原方程分离变程，得<lv =-d jIan ylanx两端枳分得In | tan jp ： = - in tan x +】n f) .可写成In tan y - Ian x = In可,即tun y * Ian x = 土 .故原方程的通解为 tarn tanx = C.(6)原方程分离变【让，得104三10小以两端积分得_ 1” . JAT 一hTto = hHo ,一可写成 10' +10 =C(C=

12、-CJn 10).(7)原方程为一 1)心十一门十1)山二。.分虎型行得调端税分得In | r1 T = - ln（ r, + 11 + In Q .或写成后|（0" + i）（/-1）|二in q，即（炉+ 1）|小-i） = ±ct，故原方程的通解为3 M ）-1 ） = C(«)朦方程分威变“匕得呼口心二-上Lh.两端积分徨 sin ysilk xIn sin > ：二一 In | sin x * In L *即 In | sin y sm x = In C(，或写成 sin y *in x = 2 C .故原 h 杓的通解为 >in>&g

13、t;in a =C(9)晚方程分高变;心得(i + I)"、=-山,网端积分得故源方程的通解为3/ +4(7+I)3-C(C = 12Ci).(I。)原方程分需变小衅二三;加踹枳分得的 I。-_- -r I4-247第七有锹分方拜工 7( - 1« !4 - X)+ I" C； = -1» + in g,即lH|y4<4-x)| = ln 4。1|,或写成(4-*)±4 3故原方程的通解为 j4(4 - x) = Cx.覆，求F列微分方程漪足所给初值条件的特解:< =J* 一"他rns 工sin vdy = !3窖 j s

14、in xdr| 工=口二:3 ) j Ki x - yh) i; -i- (4 ) cos y Ax +- ( 1 4 p - 1 jsiri ydy = 0 ,y | T _0 =;(5 ) w h +2 yd.r - 0, > | , . 7 = 1 .解 解分离变量得eM v = / <k ,两端枳分得 Z 上炉*c,由J3=° .得=- y +G故C = 即得e>=+ 1).于是所求特解*I持+ 1为了二 E -一. (2 )分离空吊.得tan y(l)= lan xdx ,两端枳分得-hi (hrts y = Tn t os x - In C, 即e与y

15、- Ceos汨代人初值条件：x = 0 ,y =：,得亨=C .于是,/21 OM J = CO5 x为所求特解.分离史易月生?匚=/匚,两端积分得 yin > sm xIn : In y = hi tan； J + In Cy,即In y = Chin代入初I值条件二才=；J = e,得1 =。.尸是y =为所求特解.«)分离变M ,得,心上”刑.两端积分得 / + JTT高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第七章课后答案248高寄数学M第七版)上册习题全解/ * 1 = 2 ./Tros y,即(/+l)seey = 2为所求待解.(5)分离变得小=-2业，两端积分得 y

16、 工In y = - 2ln x ' + In g = In x > In ,即.弓三C.代入初值条件：常三2 j二1 ,得。五4,故所求待解为J,为3. ff 盛满了水的倒锥形漏斗.岛为10 cm.顶角为60。，漏斗下面有面积为5 cm2 的孔,求水面高应变化的规律及流完所需的时同.解 水从孔I【流情的流及。是单位时间内流出孔口的水的体限.即。二Z认 dr力学知道，。=0 62s J2必，其中0 62为流用系数，S为北口裁面枳,g为引力加速 度，力为水面到孔口的高度.于是有* = 62S y/2 ,即d V = (). 625 J命h*lh( 1 )设在时刻F,水血晶度为h =

17、(".从|¥| 7 -中可见.二川uh 4W二$匕是在 时间间隔f / +山：内漏斗流出的水的体FJI .即水体积的改变Md I Tri- dh 三"h" ah.( 2 )1F-可编辑修改-由(I ).(2)式得微分方程0 62s /2/nb = - -AJdA.k .并有初供条件"口 = 1。.IT由激分方程分身变卜匕得h d/l高等数学(同济大学数学系-第七版)上册第七章课后答案第七最续分方程249网端积分，得.2tt , 1 广t h 1- C,15 XO.62S 抵代人初值条件：1=0J”0.得(；=一". 次 于是15 xO

18、. 62S /2月 = -(io JQ).15 2S /1g代人 5=0. 5( cm-) tg=980(cm/s3)f =。一 030+9.64,代入人=。U ,流完所需时间F = 1。(6N4质情为I g的质点受外力作用作直线运动，这外力和时间成正比，和质点运动的 速度成反比一在二m 时.速度等于som”人，外力为打“一.问从运动开始经过 了一分钟后的速度是多少？解 设在时刻L设点运动速度为-据题设条件，有/ = mt/ = k ,旦由m = 1 J = 10tv =50J=4,得k -20.故右微分方里J = 20 v分离变屈旧*dv *20川，.积分用户=26 )仁代入条件；/ = l

19、O,r = 50 ,得C - 500,于 是管特解r = /20? + 500.吐储=60(Q时则=720 x 60f+ 500 = 2砚 3( em/s).日 5话的衰变有如T的规律:镭的我交速度与它的现存址含成正比.山经舱材料得 知,儒经过1600隼后,只余原始lii. 的一半.试求辐的存城投与时m的函效 K系.融 设/州刻L儒的存情为K = K.由题设条件知邛 -A七即竽二 (Un7dL 枳分得 In K =-At + in C, H|Jfl = Ce A因i =。时二% .故e %小_ /tQe，将-I 600, R = K0代人上式,得；印入=J； j所以"二儿，-可髭口叫

20、.，一出的工% 6. 曲线通过点 2,3),它在网坐标轴网的任切线线段均被切点所平分.求这曲 结木和250一、高等教学（第七版）上册习题全篇解 设曲线方程为y y解），切点为（.依条件，切线在一轴与丫轴上的截距 分别为2H与2八于是切线的斜率,21- 0v70-21x分离变质得jy _ dxr x积分得hi | y | = - 5卜| + In g，即三v = C RA初值条件t = 20=3，得匚=6 .故曲线 方程为jcy = 6.电7,小船从河边点O处出发驶向对岸（两岸为V-行直线）,设砧速为明船行方向始终 与河洋垂直，又设河宽为廉河中任一点处的水流速度同该点到两岸距离的乘积成iE 比（

21、比例系数为幻.求小船的航行路线，解设小船的航行路规为（X-x（t）, Cd，=J（ I）.则在时刻八小船的实际航行速度为力（口 =（，丁（力）.北中/=ky（）为 水的流速小'"）=为小船的主动速度.由于小船航行路线的切线方向就是小船的实际速度方向（图7 - 2 ；.故行dy _ /（£） _ 让dx xr （ O ky（h - j ）O图7 7分离,H.得小三y（力/,枳分将x - - J( hy - F ) dr-可编辑修改-FlTf小船小船始点（0,0）,代入/二Q.j=0,得C0,1小班航行的路线的方程为(1 )盯'-/ =0;(3 j ( J 十)

22、dx - jfjdy = Qs(5 ) ( 2ASitJ 工-+ 3»<os =L)d喜-3/wor Ld, (6) ( 1 + 2c7 ) dx + 2rT( 1 * j tly = 0.褰 7)当一。时，“将原”程写成小二有一=M+W',则原方程成为H+工陵二匕+/du16T.(Iy . v一)工 二二，hi ； U.TX4 ) ( a 1 +)') dx - 3.盯2 dy = 0 ；=0 ；工十(t) T，令"二9，即)="""-】，分高变1忆得1xX匕1.求下列开次方程的通解:积分外In h 4/ - 1=, x

23、 * 尿.即u + J/ - 1 = Cm( C ± ± C| ),将U= , 代入匕式并犍理为方程在(d+8 )内的通解 Xmurri>_+ V 一工之二。工，当X <0时,原方程可写作V令M = ;dudx,- ,JQ - 1积分得In u + JjJ - 1 | = lnC| - In | j in ，/士 - "、-可编辑修改-即 u Wm - 1 =(匕二 ± L ，可变形为小将孙二工代人L式*整理,得力程在( -g .0)内的通解-V252一、高等教学”第七版)上册习题全解(2)原力,程闻友示成=上"士.令n=上.即y=

24、m *有手二口十工*则媪h QX X XXcixQX程成为以+ .* ? = Mn if，分肉变债.得 (Lv积分得将配二工代人上式，得1b 上=± C| t + I.他通解为 y 八In - - Lar(3)原方程可&示为工 + 上)d i, 一 rl i =6 令"=, H|1 v - va,则原方程成为V ttd.r - ( imIx + xht)= 0,将呢=上代人上式并整理,得通解 X(4)原方程可写成 F + 一3 I ) Hv - 0.令 u即) I”，行心 maJa + x则原方程成为;+ 心-(udt+xM) =0.分离变小.将1-2/ x枳分钳-

25、可编辑修改-;加 I=1111朗第七董微分方程253将。二工代人卜式并整理,得通解(5 )原方程同写成Tan + ?3 r r a i二0,令6 -工即dibi，二 X" 书 =w + i Td常4胃则原方程成为-3 da2 Ian u x积分得-In siruf 2将"=二代人上式得通解sin j;（6）原方程门写成芈（4，）+ 2-1 - tlyy:，即,哈一丁则原:方程成为u + y =)( 1 + 2e") + 2e ( 1 -(f) = 0 .整理弁分离变量，得d( « + 2c" ) tly + 一 = U ti +2e"

26、 v积分科Jn i u + 2e" + W v = In C- *将=三代人I式阳通解-可编辑修改-x 4 2ve" - C.J254一 .高等数学乂第七版)上册习题全甄(1 ) (y? -) dy + 2xy<ir = 0,y| 1=0 = 1;(2) y' - - +11 s = 2 #y x(3 ) (x2 + 2a)-)4 + (/+ 2xy - / )小 5=0.) 一 i - k-j解(I)原方程可写成I - 3 3 + 2= 0.令二人 .印工三a . ff半二口 十y2 )d>)d)、T，则原方程成为dy分肉变壮,得积分得111- I =

27、 111 V j + 111 (?!.即代人土井悔理,得通辨X二C由初值条件工=o=l ,得。=-L干是所求掂解为(2)令=有 ''=u + m二则原方程成为“ 4仙= 一.分离变侬.得X"IIudu =,积分得将“ =XRA L式并性理,特通解 X)2 - 2 J (hi| 十 C).代人钊值条件十二I .>= 2 .解得(：=2.尸姑所求特解为v* = 2” ( hi x + 2).(3)将原方程写成? -工有半二”。叱则原方程成为第七章微分方程256ikf 1 + 2</ " w' Y.il + A - + -二 U ,心理并分离变

28、酸.得zu. drUm -积分得dr a' + 2/j - 11 - 2w - u-ff 1u4 + i(u + 1)(m2 + I)(" - Jv77 i=In I a I + lit Cf代人乜=上并整理，得通解与三:二以切优条件* = i= i定出c= i.故所求特%3设有连结度。（0,0）和川（1）的段向上凸的曲线弧M .对于（M上任一点3曲线弧。尸号直线段QP所刖图形的面积为/,求曲线弧。力的方程, 解 设曲线弧的方程为-依随意，行_y( i) h - -ry( x)=上式两端时T求导.小)- yj()一白," 2x« *即得火分力程74=* *

29、有¥ = M + X 则例分方程:成为A UX4 3-可编辑修改-枳分f!J256、高等数学”第七版)上册习题全里y = x( - 41n k + C).又因曲线过点4( I J 故1 =C于是得曲线瓠的方程 y = x( I - 4 I n x)4一 4 化下列方程为齐次方程.并求出通解:(1) ( 2a - 5)+ 3) dx - (2.t * 4i - 6)心 * 0：L 1 & + (4 r + .V - I ) dr = 0 ；(?) ( 3, - 7工 + 7 )df + (7)一 3.1 + 1) (I) =。； (4 ) ( x + y)+ 31 + 3 &g

30、t; - 4 ) <1 v = (k配则dLV,- d¥,且悚ZjfV：成为卜原方程化n(2 -5)<i(2 - 5F + 2人-5。+ 3 )d V - (21 +4) + 2/r解此方程组得=l" = L故在变换T = t-(2X +4F)dV = 0,即(nd412+4又令"仃2：=h + -v *,则原h程成为T OjAli A4” + 2山.3+7« - 2枳分« + 2 +34n + 2.zflu14； + 7 u - 2；Idin + 2 I + y in j 4/j - 1 I, ： + I”，：-可编辑修改-In

31、(k + 2)2(4(i - t) ! - .YJ | 十岳 L (257第七章效分方程(口 *2 尸(4" -= ± C2.因故上式成为 i (2V + y)*(4F -1 ) = i c.代人V = X - 1 J = y J.群原方程的通解(2a t j - 3)z(4> - a - 3) = C(2)将原方程写成< h - 1 + y + v - ( )< . m" f. mm' ._d.t 4y 4 r - J 4y + (x - 1 )令二三-1 , = i .则小=" .dx =(IX, | L原方程化为<

32、W = Y - A = 17A - ITv 丁 47V v = 4T7y r士令V :.有* j +1累削原方程成为A it t(1 枳分即h】|+1)| +arcldh(2u) =C (仃26).将“ =代人卜式.得原方A X - I程的通解2yInf 4/ + (3 - I 尸 I + urclun = C, x - 1(3)令= +hy=F + A,.则业二5(1户仃,且踊方程成为 (3 - 7 A + 3A - lh + 7)ilA + (7k - 3 A + Ik - 3A + 3) dY = 0. 令TA - 7力 + 7"Ik-M +3=0, 解此方程组用/ 口0.故在

33、变换.=A + I门=>下，原)1程化为(3r-7X)<U + (7F - 3 Y/d:。，即ill 7 A ,31产-3)八d Y 二亓二 7 Y/X - 3JL S' u -. h 二廿 + A "l h 4 l'：J fi 17 hV J iJ（告+等户-7俳258一、昌等数学第七版）上册习题全解即积分得2In u - + 5ln 1/ + I i - " 71n .V + )n Cj即l尸=±Cp将H =：= 七代人I：式,得嵯方程的通斛 A x - I（y - x + I ） 2（ y + x - ）5 二 C,* -1.旦原

34、方程成为 ih（4）耨原方程写成扣7r（谡方程属于黯）类型.解此类方程，*般可令ax中%+4令u = x十）.则：=3廿一4d/ = 2dx.“ "2积分得3m + 2 In | u - 2 = 2工+1爵口 = t + ¥曰1.求下列微分方程的通解:代入上式得原方程的通解y - 2 = C,一阶线性微分方程(3 )十 yens 二二。一 ;(5 ) ( x2 - J )y? 2x)- cos x = 0；(7 ) " + 2tr = 4.r ；(ix(9) (x - 2)y - v + 2(x - 2)J ；(2 ) kJ + i J + 5a + 2 ；(4

35、) / + i lan I二、in 21 ：(6) % +3p =2； (Uf-可编辑修改-(& ) Uri i d i + ( i In、小-t)：(I 0 ( t" - 6 v ) +2t - <1.解(1) y =厂, f . efdM.x + 1-e 1(x + C).(2)将方程改写成/ +,Y=h+3 + Xy -小卜K*+3+ 2_卜卜Mj*=卜/ 4丸+ 2)山+ C卜x3/,C=+ -+2+.32x(3 ) 1 = e-pofj -m*i > .书卜收工品.=p+ C).4)= e-FriU( Lin 2/Jw* 1t、J-COJi Af 1，!

36、”.？、/ + c = cosI J COS XfT二 Ct ibS X - 2( OS" X.(5)将麻方程写成)二号士 x" I x£ -F沁(J 丁 : J居忆Lk -】U F -】bin x + C i2 -£6)“ =，小"卜/二:匕叫亭二 + C)= y + C”H)y =J4xeHdx + C)= <=，2/+ C) = 2 + d将原方程写成y+ J x = -tJK yin yy3t = e 储(j J-efx； jj + C| j =- l. 1 - _L:工卜= ' (卜-、* 匕、dx + C)工则 X+

37、C = : jf .十3十 2 )*dZ + C / /上 32- + 2x + Cx 32iX + C) '+ C)国，|23ri xdx + (?)予则r + (7)dx + cj 7(Jcos 工dx + 0)住叫坨+匚)*y ( j4xeJd dx + C) *4-可编辑修改-c，|心 + q第七章微分方程259260一、E高等数学乂第七板)上册习题全解即 2xln j = ln2> + C (=2 ).(9)将原方程写成乎-!-r=2(x-2)3,RlJ dx x - 2r = J二叫,2(一2尸F件+ c=(X - 2)12U - 2)2 - :二班 + C =(V

38、- 2)pi v - 2)d,r + C二- 2”(y - 2产 + Cl =(t - 2)J + m - 2).(10)将原方程改写成子 - 1 = ”,则dy >2j=，'(2t +'：卜 3 9，3着求下列微分方程满足所给初值条件的特斛：,* 4 /F.-工 dv ¥ 斫H X,(1)一1tiin = sec x,y ，f=0；(2) : 不二-,= 1 ;tlxdr x xf 3 ) ?十尸旬工=5d“、二|一千二-4； (4),川 h = 2 ；UX*<U-,£、dy 2-365 ) - +)二】t = U=1” 一,卜tr xJ” .

39、jh- + C)a + C - , ，Y4 1VII-' .1(j、ed-4uh +匚)代人初值条件工=0r=0,得c = o.故所求代斛为2E1第七重微分方程¥ =（7T I - COS（3）H e*Pnt，J*（pe 1J+ c）二 j5e->x 7而焉4 + c）二（5U- + C）, sm JJ sin xI c jg *代人初俏条件丁 二?二-4.得仁=1 ,故所求特解为了二二一，即2sin x代人切值条件.gO.j =2 ,得c=-；，故所求持解为2> = J 4 - e3（5）v = （*）、卜U冲心 . （：川二（j 丁心+ c卜”得卜-、卜孙4（

40、"一） = :.代人初值条件* = 1. =0,得C；.故所求特解为Zr. 3.求曲线的/程，这曲线通过原点，井儿它在点（），1 ）处的切线斜率等于工J V-S?史曲线方程为V -1） .依题总有¥' =21+>.即y1 - y = 2“| 'o+y二/,'（工产忆必+ c）=数（卜.丘7dH +c）=e*（ - 2xv" - 2eJt + C） = y 21-2 + Ce1.田TL、二0,狷C=2.故所求曲线的方程为-可编辑修改-y - 2（ e* - x - I）.乙4.被有质体力的4点作直线运动.从速度等J：本的时刻起,有一个与

41、运动方向a I， J M ri I r.-.i 14r r* i Lf / i r哥 /i / 4浮丁 m . i 、.1./ i t i -lr rrt i. « h = ,/广 . .262高等数学（第七版）上册三题全解出1*I 1 = W将方程改写成半+ r = t .则 df m m工屋力(3,三出+c)二一乂g 占 kw工 A *z£Jk. ky tn=-A_ + cl、% k zin由*o j = o,得。二；.故速度与时间的在系为S卜士(一"*2k 1疚工设杓一个由电咀K =10设、电感，=2H(亨)和电源电1 电跻开关K合上后，电躇中仃电流通过 求

42、电流?与时解依题您Ji 20楙5/ = 1012 L"即 df乎+5 i二】0xiw 5 F f ： 由i = N件lOsiT151M仙山 +G)= c"'(/其中己/ - Jju.in 5f小出.则f - 2 卜i” 5r*i( es') = 2»)n 5fry - 2 J=2sin 5fp*h - 2 j ( os 51 («-' 二 2d” 5/e" - 2t <is 5门C - 1() | >iu 5%_-可编审修改- 2 ”】5/ - c<is 5i) f.故 / = cSj ( irt 5f

43、 -(Tg 5/) + Q .卜是J - * ，fS t - m St + C. '曰户dr + C）L长E=2ftdn 5/V（伏）串骐组成的 悯t的函数左系.：0.lOsin 5储知+ Cj.r5-os 51 * Sdl（e ± c +（.）（比例系数为与）的阻力作用.求质点运动的速度3时间的由故走纸.dr解 依胭意，有-j .即山阳性=k,t - I r = 0+263第七章微分方程-sin 5/ - cos St + Ce '代人初值条件t=U,i=O.得C二1 .故电流i与时间t的函数关系为 - 一”中 sin 5f - cos 5八抠电学的习惯,可”成i

44、=亡+5，.上6.总让形4(1 ¥/( AT ) d.v +11 )d V r 0的微分f程. nJ经变Lt代换77 #)，化为flJ分离变量的方程,并求其通解.ft?由t二门 .即*=.将dy 今又惊方程改写成)& + /*(9)dy = 0 .并酹 =xy.dy ="加 丁了代入上式.得叭 r)<Lv +( jrtk1 - nix) = 0,可分离变显.得/(V)虫=0.X积分得J f_/(G f (I)十In代人T一寸后,便是原方程的通解，启7.用适当的变国代换将下列方程化为可分离变fit的力程，然后求出通解：O)Jidx(4)(5)1) y + sin

45、2x " 2sin k cos x + 1 ；1(工,+ I 川工 + k( I +“ + 工/ )心:0.令yf 则半二I +巳且原方程变为半nJ * 1 .分离变城,得dx dx(Lxd打.y -积分得arutan u = x + C,即u = fan( x +C)，代入”工+y,得原方科的通解 =7 4 tan(1 + C).,u LL-y , 则, d.x1 名,A原方程变为J 一：即dxtli u"dr，十-可编鬲修改二0积分得264一、高等数学(第七版)上册可强全解代人乜二1一.得原方程的通解+2x = C (C=2G).(3)令以。，八则/总了十个',

46、旦峨方程变为丁。:加打，即积分得In | In u | sIn | x + In g ,即u = r 代入h二xj.对原方程的通解xy -.即尸JX(4 )将原力程写成'=(y 十 sin r - I )? - <-(*s、.令 w = > f shi .v - I ,则 n * =>十cos * .1 原方程变为F &' - n' . H| ": = d工板分得一d七代人”得原方程的通解1 - sin iL -1 + C(5 )原 J)程改'3成 Xy ( XV + 1 ) + A ( i + 3 J )半=(J.2 H =

47、 n , 即 i 二上，则dx"x<luX - £孚二.且原方程变为<1X r*it ( u + 1 )+( + W +仃2)(4中 _ it) = 0,理并分离变出量1-二位积分得 - 1=加|门"；代人u*hr n”二货并整理，得惊方程的通解为2->“噩什-2xy - 1 = Cy2( C = 2G ),ET8.求卜例侑帑利方程的通解：( 3 ) -p- + '1 ( ) - 2t ) ；(4) ; y = #、, ；d,v 33pdi( 5 ) Xfl v - + X) I + lu a ) dx = (k解 (1)将原方程改丐成-

48、1)，口9。7m，.并争1 , (Ui / =-K*原方程化为-可编辑修改-Z * Z - sin - vos A.二 二 J如 I f(in A - ros+ (；1265第七量微分方程=u | 卜in iDLi - |cqs jc - 'dx + C'艮中 m产 '心=-pti td( e+ ' )二一 .ir ' + /e vos 故;=e1 ( - sin #' 4' C) = Cc' -' Mtn A.即1=ce - sin x为所求通解.y(2)将原方程改写成k-31厂二工，并令工厂】项二、-厂，二旦原方程 化

49、为/ + 3”: = - a ,二=广卜山(J 7 I +C卜 广，(j 一丁小工二卜+ C)=F _ Lcrr + c) = _ 9 + &-3二故障方程的通解为或与成3/3；x2 + lri| 1 1 - j = C (Cy - In 3C).(3)将原方程改写成”；+(1 -2,),并令工=则入 3j.是我方程化为z - z - 1 - 2a.工-eh J( I - 2v)e'/,udx + C = f*J j( I -2x)e-'dx + c= <-'(- 2.T - De-1 + C 1 - 2x - 1 + d印y-J = -2-1+Ck为所求

50、通斛.(4)将原方程改写成厂-厂一,井令)川,则/ = -4广夕J1原方程 化为T十4占=-44,石二,卜力(j - 4rrf4jdMt + C)= <<41( j - 4m%hr + C)=-；,(-，''+ 1 < 1 + Cl - - * + + g 上-嘘(*修改-j故障方程的逋解为266一、高等数学”第七版）上册可翻全解(5)原方程可写成'' y = ( 1 + In x) y5,即1 v - I + In # . 令一厂，则- 2厂, /,且原方程化为2z + z =*2(1 + In X).=-x( 1 + In /)+ - -V

51、 + Cx3q故蟆方程通解为或写成可降阶的高阶微分方程SH.求下列各微分方程的通解:(2)广=.3：(4)三 I # /，(6 )仆"+ t' =0：(丁 r I =0；( | ()=()* + y解(2) / = keMx =-m*(： - ( y - 1 )e' +第七章澈分方程267=ATUR'ta n X - ln( 1 + J ) + C | X + (:r.(4)令=pji/=p*且原方程化为，=1 +pL分离变征，得一业彳-d工1 + /r枳分用JTCtan p - x ¥ G串p = laikt A ¥ C；).再枳分得通解

52、v - Jian x + C) tlx - - In t + g ) | + G .(5;令/打则= 原方程可化为p. P = X. 利用一阶线性方程的求解公式,得P = /,"(卜+ C)="(1L + G)-e' ( - re A - e l 4 C1 ) =一 #一1 +(7<*， 积分得通解)-/f c<?' _ i)cIa =二 + a.M1向 今y =则丁=尸二ri原方程化为中，p=o.分离变睛，得dpdx1P/积分评加"=ln 1+鬲G.即再积分，得通解 xx令丁"人则=“*" ? = "p,

53、 "摩方程化为月+ 2/J =0.分离变Il j U* dy(iy268-*高等数学(第七版)上册习题全解积分得hi Ip I = In 4 +加Co.即= p = -r,分离壁情，得v?dv = 6山.积分得= 旷J-3fh，* G，即通卿为 / =ctx + %.(8) .则尸=/严,旦原方程化为门严-0分电变最，得 dy<ly1 1- h *y积分得pj3*a.故 y<="匕- 3 金卡"分商变量，得)4 i二土 iIa;Ai/ -1由卜y ： ； > jt即( > ),故上式网端积分.如”“谭丁小，8即(，)、/.)，一 1 二生 f：l + C,.两边平方，得四产-1 = (CIX + C)(9)方程1匕屈于了1/型方限除门=降阶求薪还可以用如F方法求解:在<的两端桑图2/.得2?V = 2/(?)y即(yt2Y= 2/( v)