物理实验的不确定度表示和计算方法

1、物理实验的不确定度表示和计算方法摘 要 本文在 分析物理 实验中引入 不确定度必 要性的 基 础上, 介绍了不确定度的有关概念, 提出了不 确定度的表示 和计算方法。关键词 物理实验; 不确定度; 置信概率0 引 言在物理实验中总是通过各种测量方法和测量仪 器对各个物理量进行测量, 但如何对测量结果的可 靠性进行评价, 一直是测量和数据处理环节的重要 问题。过去的传统方法是用测量误差来评定测量结 果的可靠性, 而测量误差定义为测量值与真值之差, 由于真值是永远也测不到的, 所以测量误差也是一 个不可知量, 即用测量误差来评定测量结果的可靠 性是不科学的。1980 年国际计量局提出了关于实验不确

2、定度 表示的建议书 R ecomm endation INC-1C19980 1 , 1992 年发表了 测量不确定度表示法指南, 在世界 范围内开展了用不确定度来评价测量结果的推广和 使用。在此基础上, 国际理论与应用物理联合会与 国际标准化组织 ( ISO) 等 7 个国际组织联合颁发了国际通用计量学基本术语) 之后, 对物理教学中有关 误差分析 和数据处 理方法 提出 了新的 要求。在于某一个量值范围内的评定, 它反映了可能存在 的误差分布范围, 其大小给出了测量结果可信程度 的高低。不确定度实际上具有非常明确的含义, 它 具有确定的量值, 其量纲与被测量的量纲相同, 但 通常总是联系于

3、一定的概率。不确定度一般含有多 个分量, 但按其数值的评定方法可归并成两类:A 类分量: 由测量列的统计分析评定的不确定 度分量, 即随机误差分量, 用A 表示。B 类分量: 由非统计方法评定的不确定度分量, 即未定系统误差分量, 用B 表示。合成不确定度: 为 A 类分量和 B 类分量按方差 合成原理进行合成, 用 u 表示可写为u=2 + 2( 1)AB总不确定度 ( 展伸不确定度) : 将合成不确定度 u 乘以一个与置信概率有关的包含因子 K p , 则得总 不确定度, 用 U 表示, U = K p u。2 不确定度的表示2. 1 平均值是测量值的最佳值一般情况下, 单位误差间隔内出现

4、某误差值的 概率密度函数 f ( x ) 可表示为 2if ( x ) = 1 ·e- ( X i - X0) 2/ 2o2- < X < 1991 年我国推出了 国家计量技术规范 JJG 1027-912no( 2)测量误差及数据处理, 规定测量结果的最终表示形 式用总不确定度或用其相对值相对不确度表示。至 此, 推广与使用不确定度表示是物理学研究和教学式中o= ( X i - X 0) 2nn中的必然趋势, 掌握不确定度的基本概念和简单的称为标准差, 反映一列测量数据的离散程度。2n计算方法, 是对理工科物理实验教学的基本要求。1不确定度的概念由于lim 1 n n

5、i= 1( X i - Xn0 ) = 0( 3)不确定度概念表示被测量的真值以较大概率存固有X 0= lim 1 X i= X-( 4)n n i= 1即在系统误差忽略的情况下, 测量的平均值等 于真值。但实际测量不可能是无限次, 既使是有限 次的测量, 测量值的平均值最接近真值, 即平均值是测量值的最佳值。=µ+ o 1ex p - 1x - µ 2dx2. 2 平均偏差和标准偏差µ- o2no2o 由于物理量的真值 X 0 是不可知的, 不能用上 式计算标准误差, 而采用平均值代替真值, 各测量= 0. 683( 10)如对 ( 9) 式在区间 µ

6、-2o, µ+ 2o积分, 则有µ+ o值与平均值之差 ( v i = X i - X- ) 称残差, 用残差计算P =µ- oF ( x )的平均偏差是平均误差的最佳描述, 其公式为nµ+ o 1=µ- oex p - 12x - µ 2odx ( X i- X- )2noX测量列平均偏差t = i= 1 n ( n- 1)n( 5)= 0. 955( 11)对 ( 9) 式在区间 µ- 3o, µ+ 3o积分, 得µ+ 3o ( X i - X- )P =µ- 3oF ( x )X平均值的平

7、均偏差t- =i= 1nn- 1( 6)µ+ 3o 1=µ- 3oex p - 1x - µ 2dx用残差计算的标准偏差是标准误差的最佳描述, 其2no2o公式为测量列的标准偏差S X =ni= 1ni= 1( X i - X- ) 2n- 1( 7)( X i - X- ) 2= 0. 997( 12)( 10) 、( 11) 和 ( 12) 式分别表示, 当一组测量值的 标准偏差为 o时, 则这一组测量值中任一次测量值 X i 的偏差 V i 落在 µ±o 的区间的可能性为 68. 3% , 落在 µ±2o 区间的可能性

8、是 95. 5% , 落在 µ±o 区 间的可能性是 99. 7%, 这三个百分数就是我们常用平均值的标准偏差S X- =n ( n- 1)( 8)的三个置信概率。究竟是采用平均偏差还是标准偏差来估算误差更为合 适, 主要根据国家计量规范的要求和数值计算的方便性, 计算结果在表征测量列离散程度的有效性、精密性等综对于物理实验中的有限次测量, 一般为 510次, 这时测量结果偏离正态分布, 而服从 t 分布。A 类不确定度可由贝塞尔公式求出Sx = ( x - x )- 2合考虑, 结果表明, 用标准偏差估算误差更为合适。2. 3 A 类不确定度A 类不确定度为随机误差分量,

9、 是由随机变量 的概率分布决定。当随机变量呈离散型时, 其概率 分布是多种多样的, 最主要的有二项分布、多项分 布、泊松分布、均匀分布、x 2 分布、F 分布、正态in- 1x考虑到在一组等精度测量值中, 算术平均值比任何 一次测量值的可靠性都高, 为测量值的最佳值, 由 误差理论可知, 算术平均值的偏差 S- 与一组测量值 的标准偏差 S x 有如下关系:- 2分布和 t 分布, 每种分布都有自己的概率密度函数,彼此相差很大。但当随机变量呈连续型时, 即测量S-=S x =xn ( x i - x )n ( n- 1)( 13)次数趋于无穷, 则这些分布都趋向于正态分布 ( 高斯分布) ,

10、所以我们可以认为大量的测量误差接近正 态分布。由于正态分布理论完善, 计算公式简便, 在再考虑到 t 分布当 n时的极限是正态分布而采取的适当修正, 即6A = tp Sx =t S x( 14)-pn多种分布规律中最具典型性, 是误差理论中运用最多的具体分布规律, 所以我们可以采用正态分布加 修正的方法来表示 A 类不确定度。对于正态分布的分布函数 F ( x ) 有 2式中 tp 为置信因子, 与置信概率有关。为了与世界上大多数工业化国家所广泛采用的 约定概率一致, 我国国家计量规范亦取约定概率 p= 0. 95, 则可取 t p /n 1 ( 见下表) , 即有1+ 1 x - 

11、1; 22eF ( x ) = 12no- ( o )- dx( 9)6A = S x( p = 0. 95)式中 µ为 x 的期待值 ( 实数) , o 为标准差 ( 大于 0 的实数) , x 为随机变量分布区间, 如对 ( 9) 式在区 间 µ- o, µ+ o积分, 则有 3测量次数 n456789101520tp /n1. 591. 241. 050. 930. 840. 770. 720. 550. 471. 96/n6n10 时,n10 时,近似值1. 61. 2 可取 t p /n 1tp /n = 2/nµ+ o表 p = 0. 95

12、时的因子 ( tp /n )µ- oP =F ( x )36长 春 大 学 学 报第 9 卷2. 4 B 类不确定度B 类不确定度为未定系统误差分量, 不能够用佳值算术平均值y-= f ( x-)统计方法评定, 一般可根据经验和其它信息进行估而测量结果的不确定度为Uy= d Ux ,其中 Ux =S 2 + 62计, 在物理实验中, 只考虑由仪器误差所带来的 B x类分量。如 B 类分量的误差限为 6 , 则 B 类不确定度由下式得出dx当 y = f ( x 1 , x 2 ,x n ) 时, 测量结果的总不 确定度为6B = K p 6( 15) C式中 K p 为与置信概率有关

13、的置信因子, C 为置信22Uy =6U216x 1 Ux+6U6x 2Ux2 +6U Uxn6x系数。K p 在 p = 0. 95 置信概率时, 通常取K p = 1. 952n其中 U =S 2 + 62 , U =S 2 + 62 ,x1x11x2x22其结果表达式为对于 C 值的选取, 如仪器误差服从均匀分布, C 值取3 ; 如仪器误差服从正态分布, C 值取 3, 物4结论y = -y ±Uy理 实验教学中仪器误差分布一般不 知道, C 可取3 , 这时6B = 26/3 6( p = 0. 95)2. 5 总不确定度 ( 展伸不确定度)将 A 类不确定度分量和 B 类

14、不确定分量在高 置信概率 p = 0. 95 条件下进行方和根合成, 即得总 不确定度U =62 + 62 =S 2+ 62ABx对于受多个误差来源影响的直接测量量, 其测 量结果的总不确定度, 用下式表示:引入不确定度表示是物理实验教学内容改革的 重要方面, 不确定度概念和体系的发展也是计量科 学的一个重要进展, 是测量结果评定和表示国际标 准化和规范化的重要体现。不确定度的概念和体系是在现代误差理论发展 的基础上建立和完善的。不确定度和误差是两个不 同的概念, 又都是由于测量过程的不完善性引起的。 不确定度是对测量结果可信度的合理的、科学的评 定。习惯上仍用误差来定性地描述理论和概念, 当

15、 要评定测量结果的精确度和计量器具的精度时, 就 应当采用不确定度来描述。nmUx=S2 + 62测量结果的表达式为ii = 1ii = 1参考文献1 朱鹤年. 物理实验研究. 北京: 清华大学出版社, 1990.X = X- ±Ux3间接测量结果的不确定度计算方法在间接测量中, 测量量 y 是直接测量量 x 的函 数。即 y = f ( x ) , 首先仍是求出间接测量量 y 的最12432 朱永生. 实验物理中的概率和统计. 北京: 科学出版社,1991. 1093 李惕碚. 实验的数学处理. 北京: 科学出版社, 1980. 39Expression and Calculation of uncertainty in physical experimentsZhu L iH an YeZhou J ingZhang BaolinFaculty o f Basic science Studies, Chang chun University, Changchun 130022Abstract T his paper explains the fact t