韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用

1、韦达定理在圆锥曲线综合题中的应用【注意】应用韦达定理的前提是：二次项系数不为零，判别式大于（或等于）零一、 弦长问题【韦达特征】例1 顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线截直线所得弦长为，则抛物线方程为 二、 弦的中点问题【韦达特征】例2 已知直线与椭圆交于、两点，且线段的中点为，则直线的方程是 三、 垂直问题【韦达特征】（1）若，则：（2）若，则： 例3 若直线：与双曲线交于、两点,且以为直径的圆过原点，求的值.（）例4 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为（）求椭圆的标准方程；（）若直线与椭圆相交于，两点（、不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶

2、点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标例5 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，原点到直线的距离为（）证明；（）求使得下述命题成立：设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则例6 设动点到点和的距离分别为和，且存在常数，使得（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；（2）过点作直线双曲线的右支于两点，试确定的范围，使，其中点为坐标原点四、 对称问题（即垂直平分问题）【韦达特征】实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）例7 如图，倾斜角为的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点（）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程；（）若为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P

3、，证明：为定值，并求此定值8五、 线段相等【韦达特征】若，中点为，则：且实际上是转化为问题二（中点问题）、问题三（垂直问题）例8 已知椭圆的一个顶点为，焦点在轴上，且右焦点到直线的距离为，试问能否找到一条斜率为的直线，使与已知椭圆交于不同两点、且满足六、 数量积问题【韦达特征】（同问题三垂直问题）例9 设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点（）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的坐标；（）设过定点的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围例10 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于、两点（）若动点满足（其中为坐标原点），求

4、点的轨迹方程；（）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由七、 面积问题例11 直线与椭圆交于A、B两点，记AOB的面积为S（）求在，的条件下，S的最大值；（）当，时，求直线AB的方程例12 已知椭圆C：的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求AOB面积的最大值例13 设是抛物线：的焦点（）过点作抛物线G的切线，求切线方程；（）设A、B为势物线G上异于原点的两点，且满足，延长AF、BF分别交抛物线G于点、，求四边形ABCD面积的最小值例14 已知抛物线的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为（）证明为定值；（）设的面积为，写出的表达式，并求的最小值八、 有关比例问题例15 已知点