【全程复习方略】(福建专用)2013版高中数学柯西不等式训练理新人教A版选修4-5

1、-1 -【全程复习方略】(福建专用)2013版高中数学 柯西不等式训练 理 新人教A版选修4-51112.已知x,y,z为正实数，且1,求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.xyz3.若a,b,c均为正数，且a+b+c=6，求.“2a 、2b .,2c 3的最大值.4.设P是三角形ABC内的一点，x,y,z是P到三边a,b,c的距离，只是厶ABC外接圆的半径，证明、xy,2R“b c.5.已知a、b、c均为正数，且a+b + c =3,7 +JF +JE-2+|xm对任意的xR恒成立，求实数m的取值范围.6.已知x,y,z为实数，且x+2y+3z=7,(1)求x2+y2+z2的

2、最小值；设|2t-1|= x2+y2+z2，求实数t的取值范围.212127.已知a,b,c为实数，且a+b+c+2-2m=0,a b c m -1 = 0.49十21212(a+b+c)2(1)求证：a -b -c;4914(2)求实数m的取值范围.8.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.(1)求证：畧.速.亘-4y +3z 3z +5x 5x +4y2 2.2求9x9y z的最小值.9.已知函数f (x )=x +,x1,且不等式f(x)a2+b2+c2对任意x1恒成立.x -1(1)试求函数f(x)的最小值；试求a+2b+2c的最大值.1.(2012南京模拟)若正数a,b,c满

3、足a+b+c=1，求111- 的最小值.3a 2 3b 2 3c 2-2 -10.(2012南安模拟)将12 cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段,-3 -（1）求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；（2）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值答案解析1.【解析】因为正数a,b,c满足a+b+c=1.1 1 12所以(-)(3a 2) 3b 2(3c 2)一111 ,3a+2 3b+2 3c+21 1 1 1即1，当且仅当3a+2=3b+2=3c+2,即a=b=c=时，原式取最小值1.3a 2 3b 2 3c 23111 1212122.【解题

4、指南】 因为1，所以可构造x 4y 9z打(-)()()x y z. xy、z（-、x）2 （2、._y）2 （3、y）2,然后利用柯西不等式求解.【解析】由柯西不等式得x 4y 9z=(.匚)2 (2、.匚)2 (3-、Z)20( L)2)2( L)2vx Jy vz当且仅当x=2y=3z时等号成立，此时x=6,y=3,z=2，所以当x=6,y=3,z=2时，x+4y+9z取得最小值36.3.【解析】由柯西不等式得(、2a .1 2b 2c)2=(1.2a 1. 2b 11、2c 3)2_(121212)(2a 2b 1 2c 3) = 3(2 6 4) =48.、2a、1 2b .3 2c

5、 _ 4.3.当且仅当.2 /2b2c 3即2a=2b+1=2c+3时等号成立, 设S为厶ABC的面积， 则ax by cz = 2S = 2gabc=abc_ c8137又a+b+c=6，. a ,b ,c时, 2a、2b 1 2c 3有最大值4- 3.-4 -4R 2R黑aba：cc=d故不等式成立5.【解析】/a,b,c均为正数,且a+b+c=3,由柯西不等式可知，、a . b、c一121212g (. a)2(. b)2(. c)2=3,|x-2|+|x-m|3对任意的xR恒成立./|x-2|+|x-m|(x-2)-(x-m)|=|m-2|,|m-2|3,解得me -1或m5.m的取值

6、范围是(-a,-1U5,+a).6.【解析】(1)由柯西不等式得(12+22+32)(x2+y2+z2)(1x+2y+3z)2即14( x2+ y2+ z2忙(J7)2= 7,所以x2y2 z2_1,211当且仅当|x|=1|y|=1|z|时取等号，23即x2+y2+z2的最小值为121由(1)得|2t-1|21131则2t-1或2t-1e-，解得t或te224413即实数t的取值范围是(-a, U ,+a).447.【解析】(1)由柯西不等式得a2+Qb)2+(1c) (12+22+32)王(a+b + c)2,23221212221212(a b c)即(a b c ) 14 _ a b

7、c , a b c49491411当且仅当|a|=-|b|= -|c|时取得等号.4.【证明】由柯西不等式得，-5 -49由已知得a+b+c=2m-2,21212a b c 1,492214(1-m)(2m-2),即2m+3m-5(5x+4y+3z)2=100,即(x2+y2+z)2，当且仅当乙时，等543号成立.2 2 ,22综上，9x- 9y z23=18.9.【解析】(1)Tx1,x-101 1f(x)=xx -11_2,1=3.(当且仅当x =2时取=”)x -1x T(2)由(1)得a2+b2+c2w3由柯西不等式得2 2 2 2 2 2 2(a +b +c)(1 +2 +2)(1a+2b+2c)(a+2b+2c)2W3x9=27,a+2b+2cW3、.3.2.2 2a b c=33232-即a = , b =-,c =-时取=”,即a+2b+2c的最大值为3/3333a + b + c310.【解析】(1)a+b+c=12,V=abcW()=64;2 225x16y4y 3z 3z 5x9z5x 4y215x 4y 3z所以4y 3z 3z 5x 5x 4y 20-5.当且仅当12 2-7 -3当且仅当a=b