应用阿贝尔变换解竞赛题

1、2（X）3年第6期方廷刚（四川省成都市第七中学.610041）（本讲适合高中）对数列给和伉,记Sk =:记诸如中全体非负数之和为A , 全体负数之和为B 则由条件有AB = 1 , 且A + B=0.故必有A=y ,B=y.© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 2（X）3年第6期© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved,

2、 2（X）3年第6期口 ,£ = I ,2 , 并记.% =0 ,则有记 Sg = 1 ,2 ,并记 So =© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 2（X）3年第6期= sh +上式称为阿贝尔变换或阿贝尔分部求和 公式.:由 ak = Sk - i “ = 1 ,2 ,丿，0.511nn sk.（）bkI 5J ,£ = 1 ,2 , 由阿贝尔变换有 丄S” +从而，刀引L 1 / / +1丄 J_22n© 1994-200

3、7 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 2（X）3年第6期=Snbn + yyk（bk bk + i）.应用阿贝尔变换及其证明方法可较好地 解决一些较复杂的、带约束条件的、涉及两个 数列的对应项之积的和的上下界估计问题.这 类问题在近年的数学竞赛中已成为热点.1 已知 Xi RJ = 1 .2 ,，/? >2 , 满足nnXi = i,刀v, =o.证明上引号-去（1989,全国高中数学联赛）收稿日期:2002 - 09 - 272设久R, N.求i正: 左号<1冲1，这里

4、x I表示不超过x的最大整数.（第10届美国数学奥林匹克） :从求证式的左边看似可用 ,£号匕力辺+ 4，田,h«-但以下难以进行,关犍是 £力与结论的关 系不明显转而用2?心刀号” 刀呼+云|）,刀屮© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved, 2（X）3年第6期7可推岀"，岀=叭+立出' 便为用数学归纳法证明此题扫清了障碍最 后的证明还要用到关系式x + y <|x + y请读者自己完成.3设七沏,i =

5、 1 ,2 ,“,且n求的最大值和最小值.（2001，全国高中数学联赛）+ 2+ 2Xk:易得 的最小值为1（诸a.中 一个为1 而其索全为零时达到）为求最大 值,注意到孑、,门頁滋+E力=讯疏，筋xrXK若令 =刀卞，i = 1 ,2 ,n，则诸y, X）. 逆用阿贝尔变换的证明方法可将条件化为J = 1 ,2 , ,/、有口； = 1.再由 y,= 心=i/Vn , Xi =, n - 1.记yn + i =0 ,故有nn冶=刀力(X")n77 ( y, - y/ + !) , / = 1 ,2 ,利用柯西不等式可得2的最大值为2 000 =口/7 Ji - 1) y,.(当X,

6、H时达到）4实数X ,“2 ,.丫2 001满足2 00Dyn> xk Xi+ii =2 ooi,令x = +（M十勺+十x&） , k = 1 ,2 ,2 00（）2 001.求习y*）*“I的最大可能值.（2001，上海市高中数学竞赛）:由于不知恐和-v* + i的大小关系，2 000 可将差池X2视为整体，将条件刀卫+1的一个约束 -忑 M = 1 ,2 .恐+ il =2 001视为关于Xkm 关系作代换血=小，彳Xk,2 000，则 x - aQ ,Xk = 2 ,3 ,2 0002 001，条件即为刀血I =2 001.此时”=匚為 +(伽 + 5)+ + yjpt

7、= kao + (k 1) ch + + % i ,y* + i = * ； ( R + 1)為 + 肋】+ + 2ak. i + aj.则 I yt - Vi4.il=77777)'-血2心如Wg(/+ )(I «11 +21 a2 + +RI 依1). 记 A& = I ch I + 21 «21 + + k 勿1 , k = 1,2,2 000，如=0,则2 000200)(JA*=(Ak Ak') 2 001 人0002 000 二刀川 2 001又 A2000 = I (i I + 211 + + 2 000 20001 2 (XI)OOO

8、 I A2 000V * ni2 000 2 000*刀 akl _ 2 001 刀 akl 二滋刀彳22 000 由上述过程知，当且仅当I «.=2 001 ,a2= a3 =Goto = 0时等号成立.故所求 最大值为2 000.5 已知ai , a2 ,，a和仞，伤，, 伉是实数证明：使得对任何满足m W心=wx”的实数，不等式 £"山 yy.x恒 成立的充要条件是、yy, >,«= i ,2,nm总有WM JJak 其中in = 5表示不 超过s的最大整数.（2002,中国数学奥林匹克）:应先据式用特殊值法求岀M的 一个下界最简单的方法是取

9、诸G全相等. 但由于c事先给定诸纵全相等时不一定能 满足条件，因而先退一步令=二如，而 amCl，不妨设山=1,代入式0M "(“ + 1) 加(加 + 1)乙乙cn m + (/» - in) am 由此可解岀加(2 C/2 加-1)=二 aH m (川 + 1)? +(/» - m) (/» + m + 1 2cn) (注意到 cn >1 且 cn < m + <n).nm将取定的这组正数代入 £血依© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing

10、House. All rights “served. 2（X）3年第6期#中有© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights “served. 2（X）3年第6期#i第27届MD国家集训队选拔考试）kkz加(2172加1)"7 + ( “ 111)、/( r (n - m) n + m 十 I 2cvJ© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights “served

11、. 2（X）3年第6期#:记 5* = yy, , 7；= 2 cn 加1则石;© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights “served. 2（X）3年第6期9疋 + i)1），兀t +比=o,可得廿1, > yy,.=0,则条件 £心七 yy,A：,可化为snxn + yyk( xk 应+1)<Txn 十(忑X*+|).取 二 x2 = =心.有 Sx < Tnxn ,由的任意性知必有Sn二人；取 Xi = X2 = -*= Xk = - 1 (1

12、 W R W 必要性得证.充分性只要求在“s” = Tn 且S, Tk（1 Wk S 1）”下证明式（I成立. 由恐g門知其辱立.6给定c .求最小常数M ,丿使得对任意整数“刃及实数o v山Ww冬心，只要满足7刀山=c B = n + m + - 2cn n + i - cn1- 1 1 - c + n由于一 为“的增函数，因而可猜 1 - C + 丄n测M节丄；欲证所求最小常数恰为匕 应证对满足式的任何递増数列血，恒有 nm口 i C 口 记 So = 0 ,Sjt 二 £e , R = 1 ,2 ,n，由阿贝尔变换得（n cn） Sn = Si + S2 + + Sn. i.现

13、要将5i ,52 ,S”的关系式变为 只含S”和S”的关系式应设法用Sm和 S“来表示诸或限制其范围.显然k S时有Sk WS”.但若将S、,S2,都直接放大到S,”就可能过头 了，根本不需要心的递増条件而由心 的递増条件当k W7时，前k个数的平均数 不超过前加个数的平均数即Sk佥Sm.又加 + 1 Wk W"时,Sk = Sm + am + i + +倣同样由心的递増条件，R山个数 am +1，心的平均数不超过 /个数 如+ i，a的平均数于是，/w + 1 <k 时，有厂 ck - 山z、» ©”十匚二心“十十a）H - mH - m式（上为（n -

14、ch） Sn2已知a .“2 "为任意两两各不相同的正 整数求证:对任意正整数“ 下列不等式成立：nn（第 20 届 IMO）ir（提示：由阿贝尔变换得£首=A S,. + 寸卡-77日其中力）3.（钟开莱不等式）设G、价R（ = 1 ,2,n） .5 A a? A 力 0，对 R = 1 .2 ，恒有Aknn（提示；先用阿贝尔变换证明njv刀“7 <,< yy. -则必有 卩,<- 再用柯西不等式推出结论）4巳知a t a2 ,心是实数列满足4七V© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Pub

15、lishing House. All rights “served. 2（X）3年第6期#© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights “served. 2（X）3年第6期#5m +6 + 幼（d= 1 ,2 , %/ 证明：2（1） aJ（n 渝N）;© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights “served. 2（X）3年第6期#故S“n2n/? + 1 + m

16、2cnS练习题（2）+寸+亍（2002 .全国高中数学联赛四川省、重庆市初赛）（提示：（1）复制条件并倒序相加；（2）仿得血 节占 白，再对求证式左边用阿贝尔变换）5.设 a > cn A A cin >0 , bi > di 9 bi bi > ch a2 </>! b2 b”a2 心求证:© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights “served. 2（X）3年第6期#1（阿贝尔不等式）设血、区R（ R = 1 .2, ），b A d0 对

17、 k = 1 ,2 ,记 S* =5" M= max SA ,m = nin S则有I <a <«1 <uWMb+ Z>2 + + bn+ +"”（提示：令G = V （I G <n）结论转化为 a/I1）0 M） 用阿贝尔变换及均值不等式可得）© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights “served. 2（X）3年第6期#© 1994-2007 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights “served. 2（X）3年第6期#欢迎订阅数学教