平面向量知识要点(一)

1、【第一部分 知识要点】一、向量的相关概念1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫做向量。【注意】数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小，向量具有双重性，不能比较大小。2、向量的表示方法：几何表示法：用有向线段表示；用字母a、b等表示；用有向线段的起点与终点字母表示：AB；坐标表示法： a=xi +yj = (x, y)。3、向量的模：向量 AB的长度的大小被称为向量 AB的模，记作| AB|。4、特殊的向量：长度为 0的向量叫做零向量，记作 0 , 0的方向是任意性的；长度为1个单位长度的向量叫做单位向量。【注意】零向量、单位向量的定义

2、只是限制大小，不能确定方向。5、相反的向量：与a长度相同、方向相反的向量，记作-a。6、相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量 a与b相等，记作a =6。7、平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作 a / b ,平行向量也称为共线向量。规 定零向量与任意向量平行。8、两个非零向量夹角的概念：已知非零向量3与b,记作0A=a, 0B=b ,则/ AOB=3 (0W。w兀)叫做a与b的夹角。【注意】当。=0时，a与b同向；当。二兀时，a与b反向；当。=三时，a与b垂直，记作ab；规 2定零向量和任意向量都垂直；注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范

3、围0W。W兀。9、实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a,它的长度与方向规定如下：入a |二|入| a ； 当入0时，入a的方向与a的方向相同；当 入0时，入a的方向与a的方向相反；当 入=0时，入a = 0 ,方 向是任意的。10、两个向量的数量积：已知两个非零向量a与b,它们的夹角为0 ,则a b=| a| b |cos 0叫做a与b的数量积(或内积)，规定0 a =0。11、向量的投影：| b |cos 0叫做向量b在向量a方向上的投影，投影也是一个数量，不是向量；当0为锐角时，-+a b投影为正值；当0为钝角时，投影为负值；当。=0时，投影为| b| ；当。=180时，

4、投影为-| b |。bcos 0 =I a|CR,称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称为射影。二、重要定理、公式1、平面向量基本定理：e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数入1、入2,使a =入© +入2e2。平面向量的坐标表示：a=(x, y), i (1, 0), j (0, 1), 0 (0, 0)。若 A(X1, y。，B(X2, y2),则 AB=(X2-X1, y2-y 1), 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。2、两个向量平行的充要条件向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且

5、只有一个非零实数入，使b = X a ,设a = (X1, y。，b =fff一(X2, y2),贝U a “ b u b =入 a u Xy-X2y1=0。3、两个向量垂直的充要条件：设 a=(X1, y。，b =(X2, y2),则 a，b u b a =0u X1X2+y1y2=0。4、平面内两点间的距离公式设a = (x, y),则| a 12=X2+y2或| a |=以2 +y2。如果表示向量a的有向线段的起点和终点坐标分别为A(X1,y。，B(X2, v2 ,那么，| AB|=敢x 1 -X2)2 +(71 -y2)2 (平面内两点间的距离公式)。-H f5、两向量夹角的余弦( 0

6、W。W 兀)cos。=a-b= , X1X2 +y1y2。| a| b| y|x2 +y2 +62 +y2三、向量的运算a = （xi, yi）, b =（X2, y2）运算落词 几何方法坐标方法运算性质英型向量平行四边形法则a+b = b + b , （a+b） +c=a +注2.三角形法则（首尾相接，首尾相连）（1 2, y1 y2）. .法（b+c）, AB+BC=AC向量a - b =a + （-b）, AB=- BA,的减 三角形法则（首首相接，尾尾相连，指向被减）a-b=（X1-X2, yi-y 2）法OB- OA= AB头数入与向重a的积是,个向重，记作： 入a;.t入（pa）=

7、（入（1） a ,（入 +门旦 入ai=i入ii a ；当入 。时，入a的方-+何里（i）a = A.a + |ia,入（a + b）的乘 ，一,、，,、，Y 入 a=（入 x,入 y）注向与a的方向相同；当入0时，入a的方向与a一 一 -法=Xa + Xb,a"bub = X的方向相反；当人=0时，A a =0 ,方向是任意-ay X1y2-x 2y1=0 的。a - b =X1X2+y1y2,八/ ”八一、小F向量的数量积的几何a - b =| a | b |cos 0 （0w。w兀），a=0或I rt|/兴A-目.rCrr1 尺尺a,b = b,a,（入a）,b=a （入b ）

8、=入（a b ）,（a +b ） c=a c + b c,里思义：数重积a b等MM-eg- c ._1i _ II _：22廿1：2 2 ,2a | =a 或| a |= v x +y ,hj" b=uu, a b=u;wa b=| a | b |cos< a ,里积* c件匕人九-_ a u j '攵一j a /工a b>a , b | < | a | b | , a X方向上投影| b |cos0的乘积。-*Tfbu b a=0u xiX2+yiy2=0, cosf a b _XiX2 +yiy21 all b| «x2 +y2 +Jx2 +

9、y2【特别注忌】结行律不成立：a - （ b - c ）+（a b）c;消去律不成立：a - b =0不能彳至1 a =0b =0;乘法公式成立:（a + b） （a-b） =a - b J 2-2 .:22a b+b =| a | ±2a b+| b |。_ 一一线段的定比分点公式：设点P分有向线段PP2所成的比为入，即PiP=X PR ,则I - X1 +X24 X - - 1-. !o标公式）。当入=1时，得到中点公式：OP=（ OP + OP ）或2。2yi +y2厂2a - b =a - c ,不能得到 b =c ; =| a 2|-| b2| , （ a ± b

10、 ） 2=a2 +；=xinx21：入（线段定比分点坐yi + 入 y2y 一 ,li +人平移公式：设点 P （x, y）按向量a= （h, k）平移后得到点 P'(x' , y，),贝U OP=Op+a或x =x h： 曲线y =y ky=f （x）按向量向量a = （h, k）平移后得到的曲线的解析式为:三角形“四心” 的高的交点。【第二部分:重心是三条中线交点，外心是三边垂直平分线交点,y-k=f （x-h ）。内心是三条角平分线交点，垂心是三边上高考考点及题型解析】向量知识选择和填空出现较多，在大题目中一般是和三角函数、圆锥曲线、立体几何结合在一起考试。【第三部分例题

11、精讲】【1】下列物理量：质量，速度，位移，力，加速度，路程，密度，功。其中不是向量的有（）。A、1个B、2个C、3个D、4个2下列各量中不是向量的是（）A、浮力B、风速C、位移D、密度【3】下列4个命题：时间、速度、加速度都是向量；向量的模是一个正实数；所有的单位向量都相等;共线向量一定在同一直线上。其中真命题的个数为（A0B、1C、2D、3【4】如图，四边形 ABCM正方形， BCE为等腰直角三角形，则:（1）图中与AB共线的向量有；(2)图中与AB相等的向量有；（3）图中与AB模相等的向量有；（4）图中与EC相等的向量有【5】下列命题不正确的是（A、零向量没有方向B 、零向量只与零向量相等

12、C 、零向量的模为 0 D、零向量与任何向量共线【6】判断下列命题的真假：（1）单位向量都共线;（2）单位向量都相等；（3）共线的单位向量必相等；（4）与平面向量（一），第3页QQt 码：532265462a非零向量a共线的单位向量是-a-o|a|【7】如图，O为正方形ABCD寸角线的交点，四边形OAED OCFBTB是正方形。（1）写出与AO相等的向量；（2）写出与AO共线的向量；（3）向量AO与CO是否相等?【8】判断下列命题的真假。若为假命题，请简述理由。(1)向量AB与CD是共线向量，则ARC、D四点必在同一直线上;(2)单位向量都相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等；(4)四边形

13、ABC虚平行四边形，则aB=DC;(5)如果一个向量的方向不确定，则这个向量的模一定为0;(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。【9】给出下列命题：若a=b,b=c,则a=c;若a=b,则a/b;若a/b,则a=b。其中正确命题的序号是。【10】判断下列命题的真假：(1)作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量；(2)数轴是向量；(3)温度是向量；(4)若a是单位向量，b也是单位向量，则a=b或a=-b。【11如图，已知四边形ABC皿平行四边形，。是对角线ACBD的交点，设点集M=A、BCD、O,向量集合T=pQ|P、QCM且P、Q不重合,求集合T元素的个数。平面向量(一)，第4

14、页QQ# 码：532265462【12如图，。是正六边形ABCDEF勺中心。(1)与OA的模相等的向量有多少个?(2)是否存在与OA长度相等，方向相反的向量?(3)与OA共线的向量有哪些?【13】判断下列各命题的真假:平面向量(一)，第5页QQt 码：532265462（1）向量aB的长度与向量bA的长度相等；（2）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反;（3）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；（4）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；（5）有向线段就是向量，向量就是有向线段。【14如图（1）,某人想要从A点出发绕阴影部分走一圈，可按图（2）中提供的向量行走，则这些向量的排列

15、顺序为OEB(L)【15】下列命题中，真命题有若|a|二|b|,则24或2=-b；若AB=DC,则ABkC、D是一个平行四边形的四个顶点。【16】一架飞机向北飞行300km,然后改变航向向西飞行300km,求：（1）飞机飞行的路程；（2）两次位移的和的方向及大小。平面向量（一），第7页QQt 码：532265462如图，已知向量 a、b ,求作向量a + b【19】求向量 AB+DF+CD+BC+fa之和。18如图，已知向量 a、b、c ,求作向量a+b+c。【20】如图，用a、b、c表示下列向量。(1) e- g ; (2) f - d ; (3) d - g。平面向量（一），第13页QQt

16、 码：532265462【21】已知任意四边形ABCDE为AD的中点，F为BC的中点，求证：EF+EF=AB+DC。【第四部分基础训练题】【1】若向量a、b满足|a+b|=|a|+|b|,则a与b必须满足的条件为【2】若AB=b,AC=C，则BC等于（）A、b-cBb+cD、-b-c【3】正六边形ABCDE冲，BA+CD+EF=(A、 0 BBE CCD D 、 CF【4】已知O为坐标原点，A、B是圆x2+y2=1分别在第一、四象限的两个点，C(5,0)满足：OAOC=3,OB-OC=4,则OA+tOB+OC(tCR)的模的最小值为5在边长为1的正方形ABCD43,则|AB-AD+AC|=【6

17、】在 ABC中,已知BC=3BD,贝U AD等于(1A、3 (AC+2AB)B-(AB+2AC)C、- ( AC+3AB)D、- ( AC+2AB)344【7】已知：向量a、b同向，且| a |=3 , | b|=7 ,则|2 a - b |=【8】若aB=3, cD=-53，且| AD|=| bC| ,则四边形 ABC皿()A、平行四边形B、菱形 C 、等腰梯形D、不等腰梯形【9】已知向量a=(-3,-4),则与a同向的单位向量是()A、(-3,-4)B、(3,4)C、(-3,-4)D、(3,4)5555【10】若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线，求X。【11】已知A、B

18、、C三点在同一条直线上，且A (3, -6), B (-5 ,2),若点C的横坐标为6,求点C分AB所成的比及点C的纵坐标。1-【12】已知O(0,0)和A(6,3)两点，若点P在直线OA上，且OP=PA,又P是OB的中点，则点B的坐标2为。【13】已知直线l与x轴，y轴分别交于点A、B,4AOB勺重心为(-1,3),则AB中点坐标为。【14】已知三个点A(-2,1),B(1,4),D(4,-3),点C在AB上，且2AC=CB,连结DC并延长至E,使CE=DE,4则E点的坐标为()A、（0,1）B、（-8,-5）C、（0,1）或（2,）D、（-9,U）3333【15】已知三点A（1,2）,B（

19、3,1）,C（-1,0）（1）若ABCM平行四边形，求D点坐标；（2）若P在直线AB上，且|PA|=3PB,求P的坐标。【16】设A、B、CD>O是平面上的任意五点，试化简:AB+BC+CD,DB+AC+BD,-OA-OC+OB-CO。【17】已知两个非零a、b,设OA=a+b,OB=a+2b,OC=a+3b,你能判断A、BC三点之间的位置关系吗？为什么？【18】已知向量与b的夹角为120°，且|3|二4,|b|二2。（1）求|3a+4bi；（2）若向量a+kb与5a+b垂直，求实数k的值。【第五部分拔高训练题】1 11如图，平行四边形ABCM,点M在AB的延长线上，且BM=1

20、AB;点N在BC上，且BN=1BG求证：MM2 3D三点共线。【2】在 ABC中，O为中线AM上的一个动点，若 AM=2求：OA - （ OB+OC）的最小值。【3】如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是象棋中马的走法。此图中马可以从A跳到A,也可跳到A2,用向量AA1、AA2表示马走了 “一步”。试在图中画出B、C处走了 “一步”的所有情况。【4】已知非零向量ei和e2不共线，如果AB= e1 + e2 , BC=2 e1 +8e2 , CD=3 ( e1 - e2),求证:A、B、D三点共线。【5】下列命题中，正确的是（平面向量（一），第17页QQt 码：532265462A、|a|=|b|=a=bB、|a|>|b|=a>bC、a=b=a/bD、|a|=0=a=0【6】如图，平行四边形ABCD勺对角线交于。点，在以AB、C、DO这五点中任意两点为始点和终点的所有向量中，与AB和AD都不共线的向量共有（A、4个B、6个C、8个D、12个【7】如图，在等边 ABC中,P、Q R分别是AR BC AC的中点，则与向量 PQ相等的向量是（A、PR和 QR B 、AR与 RCC