中考数学多动点综合题中等腰三角形的专题研究

1、优秀学习资狞_ 欢迎下载多动点综合题中等腰三角形的专题研究一、两个动点在一个角的两边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形【案例1】（2008山西）如图（1），已知直线的解析式为-.:，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移 动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（丨 |l）o（1）求直线的解析式。（2）设厶PCQ的面积为S,请求出S关于t的函数关系式。（3）试探究：当t为何值时，PCQ为等腰三角形？jy-x+6解：（1）过程略，答案：一的解析式

2、为I（2）过程略，答案:（3）【分析】 确定定点、动点、运动方向这类问题首先要弄清楚对于PCQ而言，那些是顶点是动点，那些点是定点，动点在 哪条线上运动，运动方向是怎样的，所以我们在图（1）上标出了厶PCQ的动点（P、Q）和定点（C）,以及P、Q的运动方向，由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一 个角的两条边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形。优秀学习资狞_ 欢迎下载2画出动态三角形形成等腰三角形的截图（“动”中取“静”）按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，PCQ的三边两两分别相等，如图QP=QC，CP=CQ，PC=PQ，这个过程需要读者

3、在备用图 中试画。只有画出来才能求出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。3在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方 程根据题意我们可知，很多和问题有关的边长都可以用时间-的式子表示出来，CQ=_，建立等式模型时，我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相似，但利用以上的 方法所需的基本图形是直角三角形，所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。-1（10-0如图，当QC=QP,过Q作QD丄-轴于D , D点为PC中点，则CD= 1 PC=,图形中可确定三边的RtBOC恰好这个直角三角形与我们把等腰三角形QPC分割出来的CD=

4、CQRtQDC公共/BCO根据“A”型相似或平行相似，则QDCsBOC,二，即-1.,解得 一如图，当CP=CQ时，这时CP与CQ正好也在/BCO勺两边上，一：一 ：，解得一-1 1J一I如图，当PC=PQ时，过P作PE丄于E,贝U CE= 1 CQ=，这时分割出的RtPEC与已知的RtBOC仍然公共/BCO并形成斜“A”型相似，则PECsBOC,优秀学习资狞_ 欢迎下载CE CP 2l10-;80二-卫，即：_:/ ，解得,5080I 综上所述，当 ，或5,或二时，（都满足.-I）,PCQ为等腰三角形【总结】以上题目是动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素，构造动态型几何问题。解

5、此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解，用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题，具有较强的综 合性。【练习】（2009济南）女口图（2）,在梯形厶I二中，丨 / 丄uV图（2）_一I?动点二从J点出发沿线段丄I以每秒2个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点1运动设运动的时间为 一秒.（1）求_1的长。（过程略，J.I）50t二 _（2）当.粉;/ A_时，求:的值。（过程略，）（3）试探究：:为何值时，AWC为等腰三角形。解：（3）【分析】 确定定点、动点、运动方向（请读者自行在图（2）中完

6、成）优秀学习资狞_ 欢迎下载2画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图中完成）3在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：此问所需要确定三边的直角三角形，目标就锁定到梯形分割出右边的这个直角三角形，这个三边都可以求出的直角三角形还与动态八忒公共/C,可利用案例一的讨论方法求出相应的时间，注意这题中M N两个动点的速度不一样了，此问答案为当 、:60f二_或1.时，AWC为等腰三角形，过程请读者自行完成。【案例2】（2009仙桃）如图（3），直角梯形ABCD中,AD/ BC/ABC= 90，已知AD=AB=3,BO 4,动点P从B点出发，沿线段

7、BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发， 沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M交BC于点N. P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止 运动.设点Q运动的时间为t秒.求NC MC的长（用t的代数式表示）；（过程略，4）（2）当|为何值时，四边形PCDQ勾成平行四边形？（过程略，-:）（3）是否存在某一时刻，使射线QN恰好将AASC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时:的值；若不存在，请说明理由；（过程略，不存在）探究：:为何值时，_T为等腰三角形？优秀学习资狞_ 欢迎下载图解：（3）【分析】 确定定点、动点、运动方向 由题意

8、可知Q、M、N三点在同一条直线 上，M、N随着Q点的移动而移动 画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态me的三种情况，如图、在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程此问所用到的方法和案例1有所不同，这时只知道P、Q两个动点的速度，所以动态me的CM边不能直接用f的式子表示出来，此题的PC=4-f，CN=l+f，接下来就要围绕者PC，CN两边来建立方程。如图，当MP=MC，而MN丄PC,则N点为PC中点，有PC=2NC,有：一二如图，当CM=CP时，CM=CP=,CN=.匚，而由图中可以知RtMNC与RtCMCM 4-i1+r11_ 二_ _t =ABC公共

9、/ACB根据“A”型相似或平行相似，CACB ,54,解得：9优秀学习资狞_ 欢迎下载如图，当PM=PC时，PM=PC= 4-i，贝U PN=CN PC=2f-3,RtMNC与RtABC公共/ACB本应该利用这种平行相似关系建立方程，可RtMNC只有一边CN可以由f表示优秀学习资狞_ 欢迎下载出来，只有利用其它方法建立等式，由上可知RtMN冲的PM、PN都可以用一表示出来，只差最后一边MN没有用一表示出来，这里刚好可以利用RtMN（与RtABC相似把MN也MN CN MN1+iJ 、- -二-_一（1. +） _ _ 一用一表示出来，f二，二 -，则MN= .，最后我们利用在RtMN冲存在勾股

10、定理，完成建立方程的步骤，丄二:.-J-J ,211103f _ _综上所述当 一e、或一 L 时，APMC为等腰三角形二、两动点在两条平行线上同向运动，另一个动点在另一边上运动的等腰三角形问题【案例3】（2008温州）如图（4），在RtABC中，/A=90?,AB=6,AC=8,D,E分别是边AB,AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ丄BC于Q,过 点Q作QR/BA交AC于R,当点Q与点C重合时，点P停止运动.设BQ=x,QR=y.DH=-（1） 求点D到BC的距离DH的长；（过程略，f ）3 *y=-x+6（2） 求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围，过程略

11、，:）;（3） 是否存在点卩，使厶PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.解：（3）【分析】确定定点、动点、运动方向 由题意可知，点Q随点P向右移动而向右 平行移动，而点R又随Q的移动而移动。 画出动态三角形形成等腰三角形的截图 画出动 态的三种情况，如图、2尹记+（2“=103厂(-1舍)H(4)-(-x + 6)3-x-=_.，由题意可知Z1+Z2=90 ,/C+ZB=90，/2=ZB,则/ 仁/C,QM .PQ即RtQMPsRtCAB,二.1i，即3-xIQ812二丄ul，解得18X 512-x+6如图，当QP=QR时，1=,解得r如图，当RP=RQ

12、时，过R作RN丄PQ于N，贝U NQ= PQ=,ZNQRZRQC=90,ZRQC +ZC=90 ,则ZNQRZC,贝U RtQNRsRtCAB，上nJ，即戈二I3:-尹+615I，解得1,在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方DH=-i+6根据题意我们可知，PQ=f,BQ=x,RQ=，建立等式模型时，和案例1相同，我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。如图，当PQ=PR，过P作PM丄RQ于M,M点为RQ中点,案例3(3)图案例3(3)图H Q案例3(3)图优秀学习资狞_ 欢迎下载1815综上所述，当丄为，或6，或时，PQR为等腰三角形。【练习】

13、（2009江西）如图（5），在等腰梯形.；二二：中，丄，二是”上的中点, 过点二作厂交上于点：（1）求点二到一的距离；（过程略，二到_的距离为.-J（2）点为线段丄上的一个动点，过丄作二2F交一于点二,过二作门工|、U交折线 虫DC于点M，连结设EP二x.1当点I在线段一匚 上时，如图（6） , 一 的形状是否发生改变？若不变，求出二二：的周长；若改变，请说明理由；（过程略，U的周长s乙-二-：.）2当点：；在线段丄卜】上时，如图（7）,是否存在点丄，使一丄C为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的:.的值；若不存在，请说明理由C优秀学习资狞_ 欢迎下载图（6）解：（3）【分析】确定定点、动

14、点、运动方向（请读者自行在图（7）中完成）画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图中完成）3在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方练习（2-2）图练习（2-2）图练习（2-2）图优秀学习资狞_ 欢迎下载点拨：当点N在线段DC上运动时，PMN勺形状发生改变，但MNC恒为等边三角形。过E作EG丄BC于G PM=EG=l；，GM=EP=，MN=NC=MC=5-，此问用到的方法与案例3类似，只不过这题/B的度数更为特殊，由等腰三角形分解为直角三角形就为30的直角三角形，所以用锐角三角函数比相似更容易建立方程，此问答案为当二或J _4时，PMN为等腰三角形

15、，过程请读者自行完成。三、两动点在同一直线上运动，另一动点在另一边上运动的等腰三角形问题【案例4】（2009怀化）如图（8），在直角梯形OABC中，OA/CB,A、B两点的坐标 分别为A（15,0） ,B（10,12）,动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单 位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止 运动时，点Q也同时停止运动.线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE/OA,交AB于 点E,射线QE交丄轴于点F.设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）.5（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；（过程略，t ）（2） 当t=2秒时

16、，求梯形OFBC的面积；（过程略，S=174）（3）当t为何值时，PQF是等腰三角形？请写出推理过程.解：（3）【分析】确定定点、动点、运动方向点P、F同向向x轴右移动，点Q在与x轴平行的BC上向左移动画出动态三角形形成等腰三角形的截图在函数与数形结合思 想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：此题由于动态PQF的三边任何时候都可以表示出来，所以分析可以忽略，直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相似与勾股定理），令其两两分别相等建立方程。由题意可知QB=t,OP=2t，可推到出AF=2t，进而PF=15-2t+2t=15,QP=：、iJU”：y：QF=I：I j I，

17、丨I 优秀学习资料欢迎下载19当一丄一二_ 1当PQ=PF时，则一二心=15，解得一或动点从点二；出发，以1个单位长度/秒的速度沿：轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动.设 运动时间为-秒.p3=t I（1）请用含f的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（答案：C0-hO）,I弓丿）（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与：轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB.当匚与射线DE有公共点时，求一的取值范围；当QP=QF时，则712a+(W-3i)，解得5/ =-6当FQ=FP时，则J=15，解得 _ 或14(舍)1t 综上

18、所述， 当;195L ，三时，PQF是等腰三角形.【拓展】（2009江苏）如图（9-1），已知射线DE与；轴和；轴分别交于点和点图（9-1）优秀学习资狞_ 欢迎下载解：（2-2）【分析】 确定定点、动点、运动方向A、B同向向x轴左移动，P点由点D向点B运动画出动态三角形形成等腰三角形的截图在函数与数形结合思想的基础上， 利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：此题由于动态PAB的三边任何时候都可以表示出来，所以分析可以忽略，直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相似与勾股定理），令其两两分别相等建立方程。如图（9-2）由题意可知1一IMC=t，BC=CA=，贝UMB=BC=CA=1一L，进而AB=t，优秀学习资料欢迎下载19自行完成。新课程实施以来，以动点几何为背景的压轴题,以等腰三角形为重要考点，是近年来中考压轴题中的一种重要题型。 这类试题将代数和几何的众多知识有效整合,能有效考查学生分析新问题和解决新问题的能力，将解等腰三角形的所涉及到的分类思想,数形结合、化归、方程思想（根据勾股定理，相似，锐角三