第八讲定积分的概念与微积分基本定理的练习题答案

1、第八讲：定积分的概念与微积分基本定理的练习题答案一、 单项选择题（每小题4分，共24分）1设初等函数在区间有定义，则在上一定 （C）A可导 B可微C可积 D不连续解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。2若连续，下列各式正确的是 （D）A BC D解：选D3下列关系式中正确的是 （B）A BC D以上都不对解：（1）在区间内：（2）由比较定理： 选B4下列各式中，正确的是 （B）A BC D以上都不对解：（1）令， （2）由估值定理：5下列函数在区间上可用牛顿莱布尼兹公式的是 （A）A B C D解：，选A6设在上，记，则有 （B）A BC D解：选B二、填空题（每小题4分，共24分）7

2、解：原式= 8设连续，且，则解： 9设连续，则 解： =10设则解：令， ，11设连续，且则解：，令，故 12设，则y的极小值为 解：（1）驻点，（2）为极小值点，（）极小值三、 计算题（每小题8分，共64分）13方程，确定，求解：（1）（2）当时， （3），故有14设在连续，且满足，求 解：（1）在连续，令（2） 故有（3）15讨论方程在区间内实根的个数解：（1）令故至多有一实根（2）在连续，且由零点定理，至少有一实根（3）综上所述：在有且仅有一个实根16设在连续，且在单调减少，讨论在区间的单调性解：，由积分中值定理 在，故在单调减少17求解：原式= =18设其中为连续函数，求解：19设，且

3、可导，求解：（1）且（2），由得，故有20若为连续的奇函数，判别的奇偶性解：令故为偶函数同理：若为连续偶函数，则为奇函数四、综合题（每小题10分，共20分）21设讨论在处的连续性和可导性解：（1）且故在处连续（2），故在处可导22利用拉格郎日中值定理的推论，计算之值，其中解：（1）令由拉格郎日中值定理的推论知：（2）确定常数 C，故有五、证明题（每小题9分，共18分）23证明证：（1）令（2）。令，驻点（3），（4）比较上述函数值大小：，由估值定理知： 证毕24若在连续，且，又，证明在有且只有一实根证：（1）在单调增，故在至多有一实根（2）在连续，且，由零点定理知：在至少有一实根（3）综上所述

4、：在有且只有一实根 证毕选作题：若为连续偶函数，判别的奇偶性，（a为常数）解：（1）当时，为奇函数（2）时，=偶函数+奇函数=非奇非偶函数第九讲：定积分的计算方法与广义积分的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1设是的一个原函数，则 （ A ）A BC D解：（1）（2）原式= 选A2已知，则 （ B ）A1 B2 C3 D4解:原式= 选B3下列积分为零的是 （ D ）A BC D解：为奇函数，为偶函数为奇函数，故 选D4下列广义积分收敛的是 （ A ）A BC D解：收敛（或） 选A5 （ C ）A0 B1 C2 D解：原式=选C6设为线性函数，且则 （ C ）A BC D解：

5、（1）（2）故选C二、填空题（每小题4分，共24分）7= 解：原式= 8 解：原式=9 解：原式=10，则 解：原式=11 解：原式=12设为连续函数，则 解：，原式=0三、计算题（每小题8分，共64分）13解：原式=14解：原式=15设，求解：16设求解：17解：原式=18解：原式=19解：令，即当，原式=20已知，求解：原式=四、综合题（每小题10分，共20分）21设在区间连续，证明并由此计算解：（1）又（2）计算：令 22设连续，证明并由此计算解：（1）（2）计算五、证明题（每小题9分，共18分）23设，证明证：令 移项 证毕24设在连续，证明证：左式=右式注：本题可用二重积分的交换积分

6、次序证明选作题：计算题解：令，当，当原式= =第十讲：定积分的应用的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1设在连续，则曲线与直线，所围平面图形的面积为 （ C ）A BC D解： 选C2曲线及抛物线所围平面图形的面积 （ A ）A B6 C D解：选A3若曲线与所围平面图形的面积为，则 （ B ）A0 B1 C-2 D2解：（1）交点（2）选B4在上，曲线与直线所围图形面积 （ A ）A B C D解：选A5曲线，与所围平面图形。绕x轴旋转的旋转体的体积 （ C ）A B C D解： 选C6由曲线轴所围平面图形绕y轴旋转的旋转体的体积 （ D ）A B C D解： 选D二、填空题（

7、每小题4分。共24分）7椭圆的面积 解： 8曲线与所围平面图形的面积 解：9曲线与直线及所围平面图形的面积 解：10曲线及所围图形的面积 解：11曲线及所围平面图形绕x轴旋转的体积= 解：12曲线及所围平面图形绕y轴旋转的旋转体体积 解：注：（柱壳法）三、计算题（每小题8分，共64分）13求由曲线与，所围平面图形面积解：（1）画出平面图形（2）为了不分块，选x为积分变量面积 14求由及所围平面图形的面积解：（1）画出平面图形（2）（3）为了不分块，选y为积分变量面积 15求由曲线及其它在点的法线与x轴所围平面图形的面积解：（1）求法线方程：法线方程：即（2）画出平面图形 注：16利用极坐标计算

8、曲线与所围平面图形的面积解：（1）画出平面图形，（2）17求由曲线所围平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积解：（1）画出平面图形（2）18求由曲线所围平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积解：（1）画出平面图形（2）19求由曲线与及x轴所围平面图形绕y轴旋转的体积解：（1）画出平面图形（2）注：20求圆绕y轴旋转所形成的旋转体的体积解：（1）画出平面图形（2）四、证明题（本题8分）21设为非负连续函数，证明在内存在唯一点，使直线将所围曲面梯形的面积二等分解：（1）画出示意图（2）（3）单调增加，故在至多有一实根（4）在连续，且，由零点定理知：在至少有一点使（5）综上所述：在有且只有一点使 证毕五、综合题

9、（每小题10分，共30分）22求曲线与曲线在点处的法线所围图形的面积解：（1）求法线方程：法线方程：即（2）画出平面图形或（3）选择y为积分变量23求由曲线所围平面图形分别绕x轴y轴旋转的体积及解：（1）画出平面图形交点或（2）（3）24设曲线，问t为何值时，图中的阴影部分面积与之和最小解：（1）选择y为积分变量（2）（3）求极值令，驻点，为极小值点，由单峰原理，也是最小值点答：当时最小第十一讲：向量代数的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1已知且，则k= （ B ）A1 BCD解：（） 故（）选B设，且与互相垂直，则（C）ABCD解：（）（）选C垂直且同时垂直于y 轴的单位向量

10、（D）ABCD解：又选D设且，则必有（D）ABCD解：要使且成立，即至少有一个为零向量，故选D已知，则=（C）ABCD解：（）（）选C已知则（B）ABCD解：（），故有（）选B二、填空题（每小题分，共24分）若是向量的方向角，则解：设，则在上的投影解：设与互相垂直，则m解：，故10设，互相平行，则y 解：故有11已知，则解：故12设则解：故三、计算题（每小题8分，共64分）13已知向量的起点为求向量的终点B的坐标解：设B的坐标为，故有答： B点坐标B（3，2，9）14求的模，反向余弦及与同方向的单位向量解：（1） （2）（3）与同向的单位向量15已知，求解：（1）（2）（3）16设求解：=注意到=0，=0，=原式=2=2=17求与共线，且与的数量积为的向量解：（1）设 （2）与共线故代入得 代入得即18设求解：（1）（2）19设求以为邻边的平行四边形的两条对角线的长度解：（1）