离散数学之推理

1、11.7 推理理论推理理论 推理的形式结构推理的形式结构判断推理是否正确的方法判断推理是否正确的方法推理定律与推理规则推理定律与推理规则构造证明构造证明 直接证明法直接证明法, 附加前提证明法附加前提证明法, 归缪法归缪法 2推理的形式结构推理的形式结构问题的引入问题的引入 推理举例推理举例: (1) 正项级数收敛当且仅当部分和有上界正项级数收敛当且仅当部分和有上界. (2) 若若A C B D，则，则A B且且C D.推理推理: 从前提出发推出结论的思维过程从前提出发推出结论的思维过程上面上面(1)是正确的推理，而是正确的推理，而(2)是错误的推理是错误的推理. 证明证明: 描述推理正确的过

2、程描述推理正确的过程. 3推理的形式结构推理的形式结构 定义定义 若对于每组赋值，或者若对于每组赋值，或者A1 A2 Ak 均为假，均为假，或者当或者当A1 A2 Ak为真时为真时, B也为真也为真, 则称由则称由A1,A2, , Ak推推B的的推理正确推理正确, 否则否则推理不正确（错误）推理不正确（错误）.“A1, A2, , Ak 推推B” 的推理正确的推理正确 当且仅当当且仅当 A1 A2 AkB为重言式为重言式.推理的形式结构推理的形式结构: A1 A2 AkB 或或 前提：前提： A1, A2, , Ak 结论：结论： B 若推理正确，则记作：若推理正确，则记作：A1 A2 AkB

3、.4判断推理是否正确的方法判断推理是否正确的方法真值表法真值表法等值演算法等值演算法 判断推理是否正确判断推理是否正确主析取范式法主析取范式法构造证明法构造证明法 证明推理正确证明推理正确 说明：用前说明：用前3 3个方法时采用个方法时采用形式结构形式结构 “ A1 A2 AkB” . 用构造证明时用构造证明时, 采用采用 “前提前提: A1, A2, , Ak, 结论结论: B”. 5实例实例例例 判断下面推理是否正确判断下面推理是否正确 (1) 若今天是若今天是1号，则明天是号，则明天是5号号. 今天是今天是1号号. 所所 以明天是以明天是5号号. 解解 设设 p：今天是：今天是1号，号，

4、q：明天是：明天是5号号. 推理的形式结构为推理的形式结构为: (pq) pq证明（用等值演算法）证明（用等值演算法） (pq) pq ( p q) p) q pq q 1得证推理正确得证推理正确 6实例实例 (续续)(2) 若今天是若今天是1号，则明天是号，则明天是5号号. 明天是明天是5号号. 所以今天是所以今天是1号号. 解解 设设p：今天是：今天是1号，号，q：明天是：明天是5号号. 推理的形式结构为推理的形式结构为: (pq) qp 证明（用主析取范式法）证明（用主析取范式法） (pq) qp ( p q) qp ( p q) q) p q p ( pq) (pq) (pq) (p

5、q) m0 m2 m3 结果不含结果不含m1, 故故01是成假赋值，所以推理不正确是成假赋值，所以推理不正确. 7推理定律推理定律重言蕴涵式重言蕴涵式 重要的推理定律重要的推理定律 A (A B) 附加律附加律 (A B) A 化简律化简律 (AB) A B 假言推理假言推理 (AB)B A 拒取式拒取式 (A B)B A 析取三段论析取三段论 (AB) (BC) (AC) 假言三段论假言三段论 (AB) (BC) (AC) 等价三段论等价三段论 (AB) (CD) (A C) (B D) 构造性二难构造性二难 8推理定律推理定律 (续续)(AB) ( AB) B 构造性二难（特殊形式）构造性

6、二难（特殊形式）(AB) (CD) ( BD) ( AC) 破坏性二难破坏性二难证明证明: :描述推理过程的命题公式序列，其中每个命描述推理过程的命题公式序列，其中每个命题公式或者是已知的前提，或者是由前面的命题题公式或者是已知的前提，或者是由前面的命题公式应用推理规则得到的结论公式应用推理规则得到的结论. .9推理规则推理规则 10推理规则推理规则( (续续) ) (11) 破坏性二难推理破坏性二难推理规则规则 AB CD BD AC(12) 合取引入规则合取引入规则 A B A B (9) 析取三段论规则析取三段论规则 A B B A (10)构造性二难推理构造性二难推理规则规则 AB C

7、D A C B D11构造证明之一构造证明之一直接证明法直接证明法例例 构造下面推理的证明：构造下面推理的证明： 若明天是星期一或星期三，我就有课若明天是星期一或星期三，我就有课. 若有课，若有课，今天必备课今天必备课. 我今天下午没备课我今天下午没备课. 所以，所以， 明天不是星期一和星期三明天不是星期一和星期三. 解解 设设 p：明天是星期一，：明天是星期一，q：明天是星期三，：明天是星期三， r：我有课，：我有课，s：我备课：我备课推理的形式结构为推理的形式结构为 前提：前提：(p q)r, rs, s 结论：结论： pq 12直接证明法直接证明法 (续续)证明证明 rs 前提引入前提引

8、入 s 前提引入前提引入 r 拒取式拒取式 (p q)r 前提引入前提引入 (p q) 拒取式拒取式 pq 置换置换 13构造证明之二构造证明之二附加前提证明法附加前提证明法 欲证明欲证明 前提：前提：A1, A2, , Ak 结论：结论：CB等价地证明等价地证明 前提：前提：A1, A2, , Ak, C 结论：结论：B 理由：理由： (A1 A2 Ak)(CB) ( A1 A2 Ak) ( C B) ( A1 A2 Ak C) B (A1 A2 Ak C)B14附加前提证明法附加前提证明法 (续续) 222例例 构造下面推理的证明构造下面推理的证明: 2是素数或合数是素数或合数. 若若2是

9、素数，则是素数，则 是无理数是无理数. 若若 是无理数，则是无理数，则4不是素数不是素数. 所以，如果所以，如果4是是 素数，则素数，则2是合数是合数. 用附加前提证明法构造证明用附加前提证明法构造证明解解 设设 p：2是素数，是素数，q：2是合数，是合数， r： 是无理数，是无理数，s：4是素数是素数推理的形式结构推理的形式结构 前提：前提：p q, pr, rs 结论：结论：sq15附加前提证明法附加前提证明法 (续续)证明证明 s 附加前提引入附加前提引入 pr 前提引入前提引入 rs 前提引入前提引入 ps 假言三段论假言三段论 p 拒取式拒取式 p q 前提引入前提引入 q 析取三段论析取三段论请用直接证明法证明之请用直接证明法证明之 16构造证明之三构造证明之三归谬法归谬法(反证法反证法) 欲证明欲证明 前提：前提：A1, A2, , Ak 结论：结论：B将将 B加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确加入前提，若推出矛盾，则得证推理正确.理由理由: A1 A2 AkB (A1 A2 Ak) B (A1 A2 AkB)括号内部为矛盾式当且仅当括号内部为矛盾式当且仅当 (A1 A2 AkB)为为重言式重言式 17归谬法归谬法 (续续)例例 构造下面推理的证明构造下面推理的证明 前提：前提： (p q) r, rs, s, p 结论：结论： q证明（用归缪法）证明（用归缪