高等数学第一类换元积分ppt课件

1、1.1.不定积分定义不定积分定义3.3.直接积分法直接积分法: :复习复习)()(xfxF 或或那么函数那么函数)(xF称为称为)(xf在区间在区间I内的原函数内的原函数. . )()(xfxF ddx假设在假设在I I内，内， CxFxf)()( dx那么，那么，2.2.不定积分的性质不定积分的性质0, 021 kk xxgkxxfkxxgkxfk )()()()(2121ddd经过恒等变形，经过恒等变形，方式，方式， 而求出积分的方法而求出积分的方法. .把积分化成公式中有的把积分化成公式中有的4.4.两个微分式子两个微分式子(1)adx =d(ax),(2)dx=d(x+b).一切原函数

2、一切原函数叫不定积分叫不定积分. .5.5.根本积分公式根本积分公式;arctanCx ;arcsinCx CCx 11 );1( 12345 xd0 dxx xxd112 xxd112 xxdCx ln;cosCx ;sinCx ;tanCx ;cotCx ;secCx ;cscCx ;Cex ;lnCaax 根根本本积积分分公公式式表表(1(1) )6 xxdsin7 xxdcos8 xx2cosd9 xx2sind 10 xxxdtansec11 xxxdcotcsc12 xexd13 xaxd问题问题,2sinCx 经检验是错误的经检验是错误的缘由：缘由：Cxxx sincos d x

3、x 2cosd所以所以 xx 2cosd)22cos21xx ( d.2sin21Cx 令令tx 2Ct sin21ttdcos21 普通地，普通地，假假设设,)(d)( CxFxxf能否有能否有 CuFuuf)()( d成立呢？成立呢？ 这里这里)(xu xxfxF )()( dd，uufuF )()( dd那么有积分定义，那么有积分定义，CuFuuf )()( d即为积分方式的不变性即为积分方式的不变性当当)(xu 时，时，.)(CxF )(xf uuf )(dCuF )(由此可得换元法定理由此可得换元法定理d)(x )(xf d xx )( 普通地，普通地，假假设设,)(d)( CxFx

4、xf能否有能否有 CuFuuf)()( d成立呢？成立呢？ 这里这里)(xu 定理定理1 1假假设设CxF )( 令令ux )( CuF )(回代回代)(xu 关键：关键： 将将化为：化为：那么有换元公那么有换元公式式)(xu 可导，可导，4-2 4-2 第一类换元积分法第一类换元积分法， CuFuf)()( du )(xgdx )(ufdu )(xgdx )(xf d)(x )(xf d xx )( d )(xf xx )( ( (第一类换元积分法第一类换元积分法) )解解ux 2令令.2sinCx C usin xu 2 回代回代令令ux 13uln31 C 回代回代13 xu.13ln3

5、1Cx 例例1 1求求 x2cos2dx. x2cos2dx )2(2cosxxdx ucosdu解解例例2 2求求xxd131 31 u131du x2cosd(2x) 13 x xxd131) 13( d xC 解解令令uax uln axu 回代回代.lnCax 普通地：普通地： )(baxf2xe .C 例例3 3求求 ax1dx. ax1dx ax1d(x-a) u1du )(baxfdx解解例例4 4 求求 22xxedx. 22xxedx 2xed)(bax a1d)(2x解解原式原式= =.1sinCx 解解原式原式= =.)1 (31232Cx 普通地：普通地： )(1mxf

6、例例5 5 xx1cos12求求dx. x1cosd例例6 6求求 21xxdx.21 dd)(1 mx )(1mxfdxmx11 m x21-( ) 212)1 (x)1(x 解解.coslnCx 即即类似地：类似地：解解原式原式= =.323Cex 例例7 7 xtan求求dx. xtandx xxcossindx xxcos)(cos dCxx coslntan dxCxxx sinlndcot例例8 8xex31 求求dx.)(23 xex d)3(3123 xex d解解xuln21 Cu ln21.ln21ln21Cx 例例9 9 求求.d)ln21(1xxx )ln21(1xxd

7、x)(lnln211xx d)ln21(ln21121xx d u121du解解Cx )1sin(2 )1sin(2Cx )1sin(2)1sin(22xx )1sin(22)1cos(22xxx .)1sin()1cos(22xxx 现实上现实上: : )1sin()1cos(22xxxdx例例1010求求 )1sin()1cos(22xxxdx.)1 ()1sin()1cos(21222xxx d )1sin()1sin(212212xx d阐明：阐明：微分运算与积分运算互为逆运算微分运算与积分运算互为逆运算. .关键：关键：所以，所以，原式原式= =Caxa arctan1即即解解例例1

8、111求求 221xa) 0( adx. 22)(11axadx 2)(1)(1axaxa dCaxaxa arctan1122 dx把所求积分把所求积分 凑成凑成 )(xgdx )(xf d.)(xx 第一类换元积分法也叫凑微分法第一类换元积分法也叫凑微分法. .原式原式= =arcsinxCa 即即解解例例1212求求221dxax ) 0( a211 ( )axa dx2 d( )1 ( )xaxa 221darcsin.xxCaax 例例13 13 求求解解.32d2 xxx原式原式= = 2)21(1d21xx 2)1(2dxx 2)21(1)21d(221xx.21arctan22

9、Cx 解解.ln21Caxaxa Caxaxa lnln21例例14 14 求求).0(122aax dx 221axdx )(1axaxdx 1121axaxadx 1121 axaxadxdxCaxaxaax ln21122 dx即即例例15 15 求求解解.32d2 xxx原式原式= = )1)(3(dxxxxxxd)3111( 41)3d(3141)1d(1141 xxxxCxx 3ln411ln41.31ln41Cxx .dxeeeexxxx 例例16 16 求求解解 xeeeexxxxd xxxxeeee)d(.)ln(Ceexx 思索题：思索题：.dcos11)2(xx ,d11

10、)1(xex 求求答案：答案：,)1ln()1(Cexx 增减项后，凑微分增减项后，凑微分.方法：方法：.2tan)2(Cx 2cos2cos12xx 利用利用解解),cos()cos(21coscosBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx .5sin101sin21Cxx 例例17 17 求求.d2cos3cosxxx xx2cos3cosdxdx )5cos(cos21xx变形方法：变形方法：积化和差积化和差.解解Cx 2tanln.cotcsclnCxx 运用了三角函数恒等变形运用了三角函数恒等变形例例18 18 求求 xcscdx xcscdx xxdsin1x

11、xxd2cos2sin21 )2()2(cos2tan12 xxx d )2(tan2tan1xx d xcsc.cotcsclnCxx dx所以所以(一一) 2cos2sin2tanxxx xxsincos1xxcotcsc xxcos1sin 2cos22cos2sin22xxx2cos2sin2xx 解二解二xucos Cuu 11ln21 Cxxcos1cos1ln21类似地可推出类似地可推出 xcscdx xsin1dx xx2sinsindx )(coscos112xx d 112udu.tanseclnsec Cxxx dx.cotcsclnCxx 解解 d2cosd121xxx

12、例例1919 求求.dcos2xx xxdcos2)2(d2cos2121xxx Cxx)2sin21(21.2sin4121Cxx xx d)2cos1(21解解 ( (一一) )Cxx 64tan61tan41解解 ( (二二) ).sec41sec6146Cxx 察看重点不同，所得结论不同察看重点不同，所得结论不同. .原式原式原式原式= =例例20 20 求求.dcossin2xxx )(tandtan sec32xxx)(tan)tan1 (tan23xxx d )(tand)tan(tan53xxx )(secdsectan32xxx )(secdsec) 1(sec32xxx )(secd)sec(sec35xxx.dtansec34xxx 根根本本积积分分表表(2)(2)第一类换元法第一类换元法( (凑微分法凑微