高中数学教案~第一章《集合与逻辑用语》

1、 第一章集合与逻辑用语 （共25课时） 第1课时 集合集合的概念教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 教学重点：集合的基本概念及表示方法教学难点：运用集合的两种常用表示方法列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体内容分析：    1集合是中学数已证明的一个结果可以表明伽罗华学的一个重要的基本概念在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初议科学院否定它1832年5月30日中，更进一步应用集合的语言表述一些问题例如，在代

2、数中用到的有数集、解忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶集等；在几何中用到的有点集至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对造福人类1832年5月31日离开了逻辑知识的掌握和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识，他死后14年，法国数学家刘维问题、研究问题不可缺少的工具这些可以帮助学生认识学习本章的意义，也是于刘维尔主编的数学杂志上本章学习的基础    把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础例如，下一章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑 

3、   本节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子    这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念学习引言是引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念    集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念

4、的描述性说明教学过程： 一、复习引入：1简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；2教材中的章头引言；3集合论的创始人康托尔（德国数学家）（见附录）；4“物以类聚”，“人以群分”；5教材中例子（P4） 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？（3）集合中元素的特性是什么？（一）集合的有关概念：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：一般地，某些指定的对象集在

5、一起就成为一个集合1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素（3）元素对于集合的隶属关系（4）集合中元素的特性确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 在时称属于，即a是集合A的元素，就说a属于A，记作aA集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q“”的开口方向，不能把aA颠倒过来写不在时称，不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作互异性：集合中的元素没有重复无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出

6、） 2、集合的表示方法：（1）列举法：在大括号内将集合中的元素一个个列举出来，元素之间用逗号隔开，具体又分以下三种情况：元素个数少且有限时，全部列举；如1，2，3元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，列举几个元素，取决于能否普遍看出其规律，称中间省略列举。如“所有从1到10000的自然数全体”可以表示为1，2，3，10000；三是当元素个数无限但有规律时，也可以用类似的省略号列举，如：自然数构成的集合，可以表示为0，1，2，3，4，称端省略列举。描述法它又可细分为文字描述及属性描述法两类：前者是在大括号内用文字写出集合的属性，由于括号本身含有了“所有”、“全部”的意义，故类似的量

7、词要去掉，如：全体自然数构成的集合写成自然数而不写成全体自然数：特征描述法是集合中最广泛、最抽象的一种表示方法，其格式一般为元素的一般形式|元素的特征，如：(x,y)|y=x2,xR=抛物线y=x2上的点，而y|y=x2,xR表示函y=x2的y的取值范围；方程x2-1=0的解集为x|x2-1=0=-1,1,不是x2-1=0（它仅仅是用列举法表示的一个集合，这个集合中只有一个元素，就是方程x2-1=0,不是它解的集合。（3）图示法一是一维数轴表示，如初中阶段所学的不等式解集表示方法，其原理是数轴的定义与数轴上的点与实数一一对应；二是直角坐标表示，如（x,y）|y=x2 ;三是Venn图，即画个圆

8、圈表示集合（有的书上称文氏兔、文斯图）；（4）符号表示法分为简记符号法及区间表示法：常用数集及记法非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ 整数集：全体整数的集合记作Z , 有理数集：全体有理数的集合记作Q , 实数集：全体实数的集合记作R不含任何元素的集合称空集，符号为注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0 （2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*3，集合的分类：按元素的个数分作三、练习题：1、下列各组对象能确定一个集合吗

9、？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5（有重复）2、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2_3、由实数x,x,x,所组成的集合，最多含（ A ） （A）2个元素 （B）3个元素 （C）4个元素 （D）5个元素4、设集合G中的元素是所有形如ab（aZ, bZ）的数，求证： (1) 当xN时, xG; (2) 若xG，yG，则xyG，而不一定属于集合G证明(1)：在ab（aZ, bZ）中，令a=xN,b=0,则x= x0*= abG,即xG 证明(2)：xG，yG，x= ab（aZ, bZ）,y= cd（cZ, dZ）x+

10、y=( ab)+( cd)=(a+c)+(b+d)aZ, bZ,cZ, dZ(a+c) Z, (b+d) Zx+y =(a+c)+(b+d) G， 又且不一定都是整数，不一定属于集合G 四、小结：本节课学习了以下内容：1集合的有关概念：确定性，互异性，无序性2集合的表示五、课后作业：教材P7_15 第2-3课时 集合表示法的转换教学目的：（1）进一步理解集合的有关概念，熟记常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义 （3）会运用集合的两种常用表示方法 教学重点：集合的表示方法教学难点：运用集合的列举法与描述法，正确表示一些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时 教学

11、过程：一、复习引入：上节所学集合的有关概念1、集合的概念集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合集合具有（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）2、集合的表示方法 二，新课1，其实，在符号表示法中还有一种方法区间表示法集合区间 读法 x|a<x<b (a,b)开区间a到b x|a<xb  半开半闭区间a到b x|axb a,b闭区间a到b x|x<a (-，a) 开区间负无穷到a x|ax<b  半开半

12、闭区间a到bx|xb  半闭半开区间b到正无穷 2，同一集合不同的表示方法是相同的，具体解题时，这些表示方法中，将难于看出元素是什么的转化为能够看出的，这样有：数学解题的关键也是这“四化”3，典型例题例1、已知集合A=a-2,2a2+5a,10,且-3A,求a解：a-2=-3或2a2+5a=-3 故a=-1或a=-3/2当a=-1时，2a2+5a=a-2=-3与集合的互异性矛盾，舍去当a=-3/2时，满足条件 总之，a=-3/2说明由于解题过程中用到了不等价变形，所以要进行检验例2、已知集合1,a,b=a,a2,ab,求实数a,b解方法一 因a1故a=-1,b=0方法二由已知或 a1

13、 a=-1,b=0练习：m,m+d,m+2d=m,mq,mq2,求q （答案：q=-1/2）例3，已知集合A=x|(a2-1)x2+(a+1)x+1=0,xR中仅有一个元素，求实数a的值解：本题分两类进行当a2-1=0时,a=1或a=-1;当a=1时，A=x|2x+1=0=-1/2,满足条件；当a=-1时,A=，舍去。当a2-10时,a1且a-1，=0，a=5/3总之，a=5/3或1例4，已知S是满足下列两个条件的实数构成的集合：1S;若aS，则S. 请回答下列问题若2S,求证S必有另外两个数；求证，若aS，则1-S； S中元素能否只有一个？说明理由；求证：S中至少有三个不同的元素解2S=-1

14、S=1/2S=2S,S中必有另外两个数-1，1/2证明：aS S=1-S假设S中元素只有一个，则=a,a2-a+1=0有实数解，与a2-a+1=0没有实数解矛盾，故S中的元不能只有一个由S中，至少有a, ,1-三个不同的元，只要证明三者两两不等。假设1-=，有a2-a+1=0但它没有实数解，矛盾。同理，三者两两不等，从而S中至少有三个不同的元素4，总结：本节主要在符号表示法上又加了区间表示的概念，同时，集合表示法之间的转化体现了数学解题的四大原则性思想作业：见补充习题第4-6课时 子集 全集 补集教学目的：（1）使学生了解集合的包含、相等关系的意义； （2）使学生理解子集、真子集（，）的概念；

15、（3）使学生理解补集的概念；（4）使学生了解全集的意义教学重点：子集、补集的概念教学难点：弄清元素与子集、属于与包含的关系授课类型：新授课课时安排：1课时内容分析   在研究数的时候，通常都要考虑数与数之间的相等与不相等（大于或小于）关系，而对于集合而言，类似的关系就是“包含”与“相等”关系   本节讲子集，先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系，并引出子集的概念，然后，对比集合的“包含”与“相等”关系，得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质 本节课讲重点是子集的概念，难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别教学过程： 一、复习引入

16、：问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）（1）A=1，2，3，B=1，2，3，4，5（2）A=N，B=Q（3）A=-2，4，（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素） 二、讲解新课： （一） 子集1 定义：（1）子集：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A记作: ， 读作：A包含于B或B包含A 当集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A时，则记作AB或BA注：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合（2）集合相等：一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素

17、，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，记作A=B（3）真子集：对于两个集合A与B，如果，并且，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：AB或BA, 读作A真包含于B或B真包含A（4）子集与真子集符号的方向（5）空集是任何集合的子集A空集是任何非空集合的真子集A 若A，则A任何一个集合是它本身的子集（6）易混符号“”与“”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如R，11，2，30与：0是含有一个元素0的集合，是不含任何元素的集合 如 0不能写成=0，0 （7）根据子集的定义，可以得到它的性质：AA;A;AB,BC,则AC（传递性，在这种情况下，可以连写

18、成ABC;若AB,BA则A=B思考：上面性质对真子集还成立吗？（除了之外，其余不一定成立）三、讲解范例：例1填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数 aa,ba,b,c由此猜想：含n个元素的集合的所有子集的个数是多少个？，真子集的个数及非空真子集数呢？解：原集合子集子集的个数1a，a2a,b,a,b,a,b4a,b,c,a,b,c,a,b,a,c,b,c,a,b,c8这样，含n个元素的集合的所有子集的个数是，真子集的个数是-1，非空真子集数为 练习：判断下列说法的正确与否。 若AB，则AB（ ） 若AB则AB( )若A=B,则AB( ) 若AB则A=B( ) × ×例2，教

19、材P8例2练习：1，教材P10_2(解答：AB A=B AB)2,若数集0，1，x+2中，x不能取值的集合为A写出A的所有子集答：A=-2,-1故子集为，-1,-2,-1,-2观察例2的三个集合，它们之间有什么关系？SA补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作，即CSA=2、性质：CS（CSA）=A ，CSS=，CS=S 3、全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U表示例3（1）若S=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5，求CSA （2）若A=0，求证：

20、CNA=N*（3）求证：CRQ是无理数集解（1）S=1，2，3，4，5，6，A=1，3，5， 由补集的定义得CSA=2，4，6 证明（2）A=0，N=0,1,2,3,4,，N*=1,2,3,4,由补集的定义得CNA=N* 证明（3）Q是有理数集合，R是实数集合 由补集的定义得CRQ是无理数集合例4 已知Sx1x28，Ax21x1，Bx52x111，讨论A与CB的关系解：Sx|3x6，Ax|0x3， Bx|3x6CBx|3x3ACB三，总结：本节主要讲解了子集、补集、全集的概念及性质4、 作业：教材P9练习3，4，P10_1,3,4 第7-8课时 子集全集补集综合习题选讲目的：进一步熟悉子集全集

21、补集的概念，掌握它们的应用重点难点：应用过程：一， 复习子集全集补集的概念和选择二、典型例题例1、已知1,2A1,2,3,4,求满足条件的集合A解：A中一定含有1，2，这样将A分成三类仅有1，2时，A=1，2含有3，4中之一时，A=1，2，3或1，2，43，4都含有时A=1，2，3，4总之，A=1，2或1，2，3或1，2，4或1，2，3，4说明：当分类多时，可以先说明分几种情况，再进行分类，以免计算时忘记了思路。例2，已知集合A=x|x>3,B=x|x<a若BA，求实数a的范围；AB,求实数a的范围解：作图，a3AB，a<3说明：利用图示也是解集合题的一种常见方法例3，若集合

22、A=x|-2x5,B=x|m+1x2m-1,若BA,求实数m的范围解：分B=和B不空两类B=时，2m-1<m+1,m<2B不空时，有 2m3总之m3练习：已知集合P=x|x2+x-6=0,Q=x|ax+1=0,QP,求实数a的范围集合解答0，-1/2，1/3例4、A=0,1,B=x|xA,C=x|xA,判断A、B、C的关系解：A=B,AC三、课上练习：1、已知集合A=0,2,4,6,CUA=-1,-3,1,3,CUB=-1,0,2,则B=_2、全集U=(x,y)|y=3x-1,A=(x,y)|=3,求CUA3、已知集合x,xy,x-y =0,|x|,y,求x,y答案：1、-3，1，

23、3，4，6；2、（1，2）；3、x=y=-1四、总结说明补集、子集的应用还很多，不在一一列举，注意分类与图形的应用。作业见补充习题第9-11课时交集、交集(1)教学目的：（1）结合集合的图形表示，理解交集与并集的概念； （2）掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；教学重点：交集和并集的概念教学难点：交集和并集的概念、符号之间的区别与联系授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析   这小节研究集合的运算，即集合的交与并，本节课的重点是交集与并集的概念，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系 教学过程： 一、复习引入：1

24、说出 的意义    2填空：若全集U=x|0x6，XZ，A=1，3，5，B=1，4，那么 0，2，4 0，2，3，53已知6的正约数的集合为A=1，2，3，6，10的正约数为B=1，2，5，10，那么6与10的正公约数的集合为C= .（答：C=1，2）4观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系？如上图，集合A和B的公共部分叫做集合A和集合B的交（图1的阴影部分），集合A和B合并在一起得到的集合叫做集合A和集合B的并（图2的阴影部分）观察问题3中A、B、C三个集合的元素关系易知，集合C=1，2是由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的，即集合C的元

25、素是集合A、B的公共元素，此时，我们就把集合C叫做集合A与B的交集，这是今天我们要学习的一个重要概念.问题：观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）（1）A=1，2，3，B=1，2，3，4，5（2）A=N，B=Q（3）A=-2，4，（集合A中的任何一个元素都是集合B的元素） 二、讲解新课： 1交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB如：1,2,3,61,2,5,10=1,2又如：a,b,c,d,e,B=c,d,e,f.则AB=c,d,e由图示可以得到交集的性质A=,AA=A，ACUA=AB=BA (AB

26、)C=A(BC)在这种情况下可以连写成ABCABA,ABB方程（或不等式）组的解集是各个不等式解集的交集2并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)如：1,2,3,61,2,5,10=1,2,3,5,6,10由图示可以得到并集的性质A=A,AA=A，ACUA=UAB=BA (AB)C=A(BC)在这种情况下可以连写成ABCA AB, B ABA(BC)=(AB)(AC),A(BC)=(AB)(AC)3，集合的运算定义：由两个定集合得到一个新集合的过程，叫集合的运算三、讲解范例：例1 设A=x|x>

27、;-2,B=x|x<3，求AB.解：AB=x|x>-2x|x<3=x|-2<x<3例2设A=x|-1<x<2,B=x|1<x<3，求AB.解：AB=x|-1<x<2x|1<x<3=x|-1<x<3说明：求两个集合的交集、并集时，往往先将集合化简，两个数集的交集、并集，可通过数轴直观显示；利用韦恩图表示两个集合的交集，有助于解题例3设集合A=-4，2m-1,m2，B=9，m-5，1-m，又AB=9,求实数m的值.解：AB=9，A=-4，2m-1,m2，B=9，m-5，1-m，2m-1=9或m2=9，解得m=

28、5或m=3或m=-3.若m=5，则A=-4，9，25，B=9，0，-4与AB=9矛盾；若m=3，则B中元素m-5=1-m=-2，与B中元素互异矛盾；若m=-3，则A=-4，-7，9，B=9，-8，4满足AB=9.m=-3例4设A=x|x2+ax+b=0,B=x|x2+cx+15=0,又AB=3，5，AB=3，求实数a,b,c的值.解：AB=3,3B，32+3c+15=0，c=-8.由方程x2-8x+15=0解得x=3或x=5，B=3，5.由A（AB=3，5知，3A，5A（否则5AB，与AB=3矛盾）故必有A=3，方程x2+ax+b=0有两相同的根3，由韦达定理得3+3=-a，33=b，即a=-

29、6,b=9，c=-8.四、课内练习 A2，4=2，4，6，求A五、小结：本节课学习了以下内容：AB=x|x，且x是同时属于，的两个集合的所有元素组成的集合 AB=x|xA或xB是属于A或者属于B的元素所组成的集合六、作业:教材P13_-P14,210题第12-13课时 交集、交集综合选讲教学目的：（1）进一步理解交集与并集的概念； （2）熟练掌握交集和并集的表示法，会求两个集合的交集和并集；（3）掌握有关集合的术语和符号，并会用它们表示一些简单的集合授课类型：习题课课时安排：共2课时内容分析   这小节继续研究集合的运算，即集合的交、并及其性质本节课的重点是交集与并集的概念

30、，难点是弄清交集与并集的概念，符号之间的区别与联系 教学过程： 一、复习引入：1交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB2并集的定义一般地，由所有属于A或属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB) 二、讲解新课： 交集、并集的性质用文图表示(1)若AB,则AB=B, AB=B (2)若AB则AB=A AB=A (3)若A=B, 则AA=A AA=A (4)若A,B相交，有公共元素，但不包含 则AB A,AB B ABA, ABB (5) )若A,B无

31、公共元素，则AB= (学生思考、讨论、分析：从图中你能看出那些结论？)：从图中观察分析、思考、讨论，完全归纳以下性质，并用集合语言证明：1交集的性质(1)AA=A A=AB=BA (2)ABA, ABB2并集的性质(1)AA=A (2)A=A (3)AB=BA (4)AB,ABB联系交集的性质有结论：ABAAB三、讲解范例： 例1：用图示表示(CuA) (CuB)、Cu (AB)、(CuA) (CuB)、 Cu(AB)的关系。解答：(CuA) (CuB)= Cu (AB), (CuA) (CuB)= Cu(AB)（这一规律称德摩根律）结合补集，还有A (CuA)=U, A (CuA)= 例2：

32、设U=1,2,3,4,5,6,7,8,A=3,4,5,B=4,7,8,求CuA, CuB, (CuA) (CuB), (CuA) (CuB), Cu(AB) , Cu(AB) 解：CuA=1,2,6,7,8 CuB=1,2,3,5,6(CuA) (CuB)= Cu(AB)=1,2,6(CuA) (CuB)= Cu(AB)=1,2,3,5,6,7,8练习： 已知全集U=x|x2-3x+20，A=x|x-2|>1，B=，求CUA，CUB，AB，A（CUB），（CUA）B解：U=x|x2-3x+20x|x1或x2，A=x|x-2|>1=x|x<1或x>3，B=x| x1或x&

33、gt;2CUA=CUB=AB=A=x|x<1或x>3，=x|x<1或x>3，A（CUB）=（CUA）B=例3，已知集合A=x|x2+px-2=0,B=x|x2-x+q=0,且AB=-2,0,1,求p和q的值解：A中两根积为-2，在-2，0，1中只能为-2与1，和为-p=-1，p=1.同理B中元素只能为0，1，q=0总之，p=1,q=0练习：已知集合A=x|x2-ax+a2-19=0,B=x|x2-5x+6=0,C=x|x2+2x-8=0,AB，AC=，求实数a的值 （答案：-2）例4，教材P12例2说明：用|A|表示有限集合A中元素的个数，由图示易得：1、|AB|=|A

34、|+|B|-|AB|， |ABC|=|A|+|B|+|C|-(|AB|+|AC|+|BC|)+|ABC|一般的有：有限个集合并集的元素个数，等于单个集合元素个数之和，减去两两相交的元素个数之和，加上三三相交的元素个数之和，减四四相交的元素个数之和，一加一减，直到所有元素相交的元素个数。这一规律称容斥原理2、有的书上将集合A的元素个数用符号card(A)表示。四、小结：本节课学习了以下内容：德摩根律：(CUA) (CUB)= CU (AB), (CUA) (CUB)= CU (AB)A (CUA)=U, A (CUA)= 容斥原理：card(AB)= card(A)+card(B)- card(

35、AB).6、 作业:见补充习题第14课时 集合小结教学目的：巩固集合、子、交、并、补的概念、性质和记号及它们之间的关系教学重点、难点：会正确应用其概念和性质做题教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：讲练结合法授课类型：复习课课时安排：1课时教学过程：集合部分汇总本单元主要介绍了以下三个问题：1,集合的含义与特征2,集合的表示与转化3,集合的基本运算一,集合的含义与表示(含分类)1,具有共同特征的对象的全体,称一个集合2,集合按元素的个数分为:有限集和无穷集两类3，集合的表示二，集合表示法间的转化高中数学解题的关键也是着“四化” 三，集合的基本运算1，子集：A B定义为，对任意xA，有xB,表现图

36、为A在B中包含着2，补集：CUA=x|xU,且x A，表现图为整体中去掉A余下的部分3，交集：AB=x|xA,且xB,表现图示为A与B的公共部分4，并集：AB=x|xA,或xB,表现图示为A与B合加在一起部分说明：1，有限集合元素个数由容斥原理确定2，集合运算多数情况下是自定义的（自己人为规定）运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AB（读作A并B），即AB =x|xA，或xB)设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于

37、A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作，即SACSA=韦恩图示SA性 质AA=A A=AB=BAABA ABBAA=AA=AAB=BAABABB(CuA) (CuB)= Cu (AB)(CuA) (CuB)= Cu(AB)A (CuA)=UA (CuA)= 容斥原理有限集A的元素个数记作card(A).对于两个有限集A，B，有card(AB)= card(A)+card(B)- card(AB)例1，定义集合A-B=x|xA,且xB,则当AB=时，A-B=_;AB不空时呢？ 解：（1）A; (2)CU(AB)练习：教材17页13题例2，给出下列说法：方程+|y+2|=0的解集为

38、-2,2;集合y|y=x2-1,xR与集合y|y=x-1,xR的公共元组成的集合为0，-1；区间（-，1）与（a，+）无公共元素。其中正确的个数为_解：对于，解集应为有序实数对，错；对于y|y=x2-1,xR=与集合y|y=x-1,xR=R，公共元素不只0与-1两个，错；区间（-，1）与（a，+）无公共元素取决于1与a的大小，错。故正确的个数是0。例3、已知集合M=x|x=3m+1,mZ，N=y|y=3n+2,nZ,若x0M,y0N，则x0y0与集合M、N的关系是。解：方法一（变为文字描述法）M=被3除余数为1的整数，N=被3除余数为2的整数，余数为1×余数为2余数为2，故x0y0N

39、,x0y0M方法二（变为列举法）M=,-2,1,4,7,10,13,N=,-1,2,5,8,11,M中一个元素与N中一个元素相乘一定在N中，故x0y0N,x0y0M方法三（直接验证）设x0=3m+1,y0=3n+2,则x0y0=9mn+6m+3n+2=3(3mn+2m+n)+2, 故x0y0N,x0y0M例4，已知集合A=x|=1是单元素集，用列举法表示a的取值集合B解：B表示方程=1有等根或仅有一个实数根时a的取值集合。有等根时有：x2-x-2-a=0且x2-20；=1-4(-a-2)=0,a=-9/4,此时x=1/2适合条件，故a=-9/4满足条件；仅有一个实数根时，x+a是x2-2的因式

40、，而=，a=±.当a=时,x=1+,满足条件；当a=-时,x=1-也满足条件总之，B=-9/4,-，例5，设M=z|z=x2-y2,x、yZ,试验证5和6是否属于M？关于集合M，还能得到什么结论。解：5=32-22M，6=x2-y2=(x-y)(x+y),x、y不会是整数，故6M可以得到许多结论，如：因2n+1=(n+1)2-n2,故一切奇数属于M；M为无限集；因4n=(n+1)2-(n-1)2，故4的倍数属于M；对于a、bM，则abM（证明：设a=x12-x22,b=y12-y22,则ab=(x1y1+x2y2)2-(x1y2+x2y1)2M。第15-17课时 逻辑联结词一、教学目

41、标（1）了解含有“或”、“且”、“非”复合命题的概念及其构成形式；（2）理解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；（3）能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题；（4）能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题；（5）会用真值表判断相应的复合命题的真假；（6）在知识学习的基础上，培养学生简单推理的技能二、教学重点难点重点是判断复合命题真假的方法；难点是对“或”的含义的理解三、教学过程1新课导入在当今社会中，人们从事任何工作、学习，都离不开逻辑具有一定逻辑知识是构成一个公民的文化素质的重要方面数学的特点是逻辑性强，特别是进入高中以后，所学的教学比初中更强调逻辑性如果不学习一定的逻辑知

42、识，将会在我们学习的过程中不知不觉地经常犯逻辑性的错误其实，同学们在初中已经开始接触一些简易逻辑的知识初一平面几何中曾学过命题，请同学们举一个命题的例子（板书：命题）（从初中接触过的“命题”入手，提出问题，进而学习逻辑的有关知识）学生举例：平行四边形的对角线互相平  （1）两直线平行，同位角相等（2）教师提问：“相等的角是对顶角”是不是命题？（3）（同学议论结果，答案是肯定的）教师提问：什么是命题？（学生进行回忆、思考）概念总结：对一件事情作出了判断的语句叫做命题（教师肯定了同学的回答，并作板书）由于判断有正确与错误之分，所以命题有真假之分，命题（1）、（2）是真命题，而（3）是假命

43、题（教师利用投影片，和学生讨论以下问题）例1 判断以下各语句是不是命题，若是，判断其真假： 命题一定要对一件事情作出判断，（3）、（4）没有对一件事情作出判断，所以它们不是命题初中所学的命题概念涉及逻辑知识，我们今天开始要在初中学习的基础上，介绍简易逻辑的知识2讲授新课大家看课本（人教版，试验修订本，第一册（上）从第25页至26页例1前，并归纳一下这段内容主要讲了哪些问题？（片刻后请同学举手回答，一共讲了四个问题师生一道归纳如下）（1）什么叫做命题？可以判断真假的语句叫做命题判断一个语句是不是命题，关键看这语句有没有对一件事情作出了判断，疑问句、祈使句都不是命题有些语句中含有变量，如 中含有变

44、量 ，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假（这种含有变量的语句叫做“开语句”）（2）介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词逻辑联结词除这三种形式外，还有“若则”和“当且仅当”两种形式对“或”的理解，可联想到集合中“并集”的概念 中的“或”，它是指“ ”、“ ”中至少一个是成立的，即 且 ；也可以 且 ；也可以 且 这与生活中“或”的含义不同，例如“你去或我去”，理解上是排斥你我都去这种可能对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念 中的“且”，是指“ ”、“ 这两个条件都要满足的意思对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题 对应于

45、集合 ，则命题非 就对应着集合 在全集 中的补集 命题可分为简单命题和复合命题不含逻辑联结词的命题叫做简单命题简单命题是不含其他命题作为其组成部分（在结构上不能再分解成其他命题）的命题由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题，如“6是自然数且是偶数”就是由简单命题“6是自然数”和“6是偶数”由逻辑联结词“且”构成的复合命题（4）命题的表示：用 ， ， ， ，来表示（教师根据学生回答的情况作补充和强调，特别是对复合命题的概念作出分析和展开）我们接触的复合命题一般有“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”、“若 则 ”等形式给出一个含有“或”、“且”、“非”的复合命题，应能说出构成它的简单命题和弄清它

46、所用的逻辑联结词；应能根据所给出的两个简单命题，写出含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”的复合命题对于给出“若 则 ”形式的复合命题，应能找到条件 和结论 在判断一个命题是简单命题还是复合命题时，不能只从字面上来看有没有“或”、“且”、“非”例如命题“等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合”，此命题字面上无“且”；命题“5的倍数的末位数字不是0就是5”的字面上无“或”，但它们都是复合命题3巩固新课例2  判断下列命题，哪些是简单命题，哪些是复合命题如果是复合命题，指出它的构成形式以及构成它的简单命题（1） ；（2）0.5非整数；（3）内错角相等，两直线平行；（4）菱

47、形的对角线互相垂直且平分；（5）平行线不相交；（6）若 ，则 （让学生有充分的时间进行辨析教材中对“若则”不作要求，教师可以根据学生的情况作些补充）例3  写出下表中各给定语的否定语（用课件打出来）若给定语为等于大于是都是至多有一个至少有一个至多有 个其否定语分别为              分析：“等于”的否定语是“不等于”；     “大于”的否定语是“小于或者等于”；     “是”的否定语是“不是”；     “都是”

48、的否定语是“不都是”；     “至多有一个”的否定语是“至少有两个”；     “至少有一个”的否定语是“一个都没有”；     “至多有 个”的否定语是“至少有 个”（如果时间宽裕，可让学生讨论后得出结论）置疑：“或”、“且”的否定是什么？（视学生的情况、课堂时间作适当的辨析与展开）4课堂练习：第26页练习1，2  1，2扩展资料 “或”、“且”、“非”命题的判定及构造若 、 表示命题，把“ 或 ”、“ 且 ”、“非 ”形式的命题分别简称为“或”命题、“且”命题、“非”命题。要正确理解“或”

49、、“且”、“非”的含义，只有掌握这三种复合命题的判定与构造。下面就此谈谈看法，仅供参考。1  或”、“且”、“非”命题的判定含“或”、“且”、“非”的命题有的不是复合命题，如：（1）实数的平方是正数或零。（2）若 或 ，则 。（3） 的解是 且 。（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（5）非零实数的零次幂等于1。容易看出，（1）、（3）、（4）、（5）是真命题，（2）是假命题。但若将（1）、（2）看成“或”命题，便会得出与真值表相矛盾的结论。因为“实数的平方是正数”，“实数的平方是零”，“若 则 ”者是假命题，“若 ，则 ”是真命题。同样地，将（3）、（4）看作是“且”命题

50、，也得出与真值表相矛盾的结论。因为“ 的解是 ”“ 的解是 ” ，“一组对边平行的四边形是平行四边形”，“一级对边相等的四边形是平行四边形”都是假命题，而（5）中的“非”是否定“零实数”。所以以上5个命题都是简单命题。不含“或”、“且”、“非”的命题有可能是复合命题。如：（7）有两个解为45°的三角形是等腰直角三角形。它们都不含“或”、“且”、“非”，但（6）等值于“ 或 ”，（7）等值于“有两个角为45°的三角形既是等腰三角形又是直角三角形”，所以它们分别是“或”命题、“且”命题。因此判断一个命题是否为“或”命题、“且”命题、“非”命题，“非”命题既要看它是否含有“或”、

51、“且”、“非”，又要看它是否隐含着“或”、“且”、“非”，还要看“或”、“且”、“非”是否为两个命题之间的联结词或某一命题的否定；既要与集合运算中的“并”、“交”、“补”联系起来，又要与“或”、“且”、“非”命题的真值表联系起来；既要看原命题，又要看它的等值命题。2“或”、“且”、“非”命题的构造“或”、“且”命题的构造是在两个语句之间加上连词“或”、“且”。如 表示“ ”， 表示“ ”， 或 是“ 或 ”， 且 是“ 且 ”，但当两个命题的条件相同或结论相同时，构造“或”、“且”命题有的可以简化。如 表示“内错角相等，两直线平行”， 表示“同位角相等，两直线平行”， 或 为“内错角相等或同位角相等，则两直线平行”，省略了一个命题的结论。又如 表示“2是偶数”， 表示“2是质数”， 且 是“2既是偶数双是质数”，省略了一个命题条件。但要注意，有的简化过度会出现歧义，如 表示“9的平方根是3”（假）， 表示“9的平方根是 ”（假）， 或 不能写成“9的平方根是 ”（真），只能“9的平方根是3或是 ”（假）。有的还可进一步简化，如 为“5是15的约数”， 为“5是10的约数”， 且 为“5是15的约数且是10的约数”，“5是15与10的公约数”。总之，构造“或”、“且”命题时，简化要特别慎重，既要表达清楚，又要不改