高中数学 归纳法教学课件 新人教A版选修2ppt课件

1、2.3数学归纳法第一课时）数学归纳法第一课时）问题情境一问题情境一已知数列已知数列 的通项公式为的通项公式为na22) 55(nnan（1 1求出其前四项，你能得到什么样的猜想？求出其前四项，你能得到什么样的猜想？（2 2你的猜想正确吗？你的猜想正确吗？对于数列，对于数列，na)1(2111nnnaaa)(*Nn （1求出数列前求出数列前4项项,你能得到什么猜你能得到什么猜想？想？（2你认为你的结论一定正确吗？你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？如何证明猜想是正确的？11a问题情境二问题情境二是否用行之有效，有限的步骤进行证明呢？是否用行之有效，有限的步骤进行证明呢？骨牌全倒下，需

2、要哪些条件呢？骨牌全倒下，需要哪些条件呢？1、第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题2、共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况相似性体现在哪些方面？多米诺骨牌与我们要解决多米诺骨牌与我们要解决的问题二有相似性吗？的问题二有相似性吗？ 数学建构数学建构 类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明类比多米诺骨牌游戏牌全倒条件，证明 要证明当要证明当n=1时猜想成立，由条件知，时猜想成立，由条件知，n=1时猜想成立时猜想成立 即要证明若当即要证明若当n=k时命题成立，则时命题成立，则n=k+1时时命题也成立命题也成立. （1已知第一张牌要倒下已知第一张牌要倒下111111,(),21nnnna

3、aaaa已 知猜 想（2要保证任意前一块倒下，后一块也倒下要保证任意前一块倒下，后一块也倒下 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数想对于所有的正整数n都是成立的。都是成立的。 1,)11(121)a1(a21a时，1kn则1,a时猜想成立，即kn假设kk1kk所以对任意正整数所以对任意正整数n n，猜想都成立，即数列，猜想都成立，即数列的通项为的通项为1na 1,)11(121)a1(a21a时，1kn则1,a时猜想成立，即kn假设kk1kk综合综合1 1和和2 2），知对任意正整数），知对任意正整数n n，猜，猜想都成立，即数列的通项为想

4、都成立，即数列的通项为1na(1)(1)当当n=1n=1时，由条件知猜想成立。时，由条件知猜想成立。（2）情景二的证明过程情景二的证明过程概念建构一般地证明一个与正整数一般地证明一个与正整数n n有关的命题，可按有关的命题，可按下列步骤进行：下列步骤进行： 1.1.（归纳奠基（归纳奠基) )证明当证明当n n取第一个值取第一个值n0n0时命题成立；时命题成立；2.2.（归纳递推假设当（归纳递推假设当n=k(kn=k(kN N* *，kn0)kn0)时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立。时命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从只要完成这两个步骤，就可

5、以断定命题对于从n0n0开开始的所有正整数始的所有正整数n n都成立都成立. .这种证明方法就叫做 。数学归纳法数学归纳法概念建构222222(1)(1) 12(1) 11234(1)6kkkkk目标：例例 利用数学归纳法证明：利用数学归纳法证明：学以致用学以致用22222*(1)(21)1234().6nnnnnN 两个步骤和一个结论缺一不可两个步骤和一个结论缺一不可: 第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，第一步是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为称之为 归纳奠基根底）；归纳奠基根底）； 第二步是归纳步骤，是推理的依据，能否第二步是归纳步骤，是推理的依据，能否由特殊推广到一般，它反映了无限递

6、推关由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中系，其中 “假设假设n=k时成立时成立” 称为归纳假称为归纳假设。设。 第三步是总体结论，也不可少。第三步是总体结论，也不可少。1、已知三角形内角和为180，四边形的内角和为360，五边形的内角和为540，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)180，若用数学归纳法证明，第一步验证n取第一个正整数时命题成立，则第一个正整数取值为 _ 2 2、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明 （a1a1），在验证），在验证n=1n=1等式成立时等式成立时 ，左边应取的项是，左边应取的项是_._.221111nnaaaaa3 3、用数学归纳法证明、用数学归纳法证明:

7、(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1):(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)时，在证明时，在证明n=k+1n=k+1时：左边代数式时：左边代数式为为 ，共有共有 项，项，从从k k到到k+1k+1左边需要增乘的代数式为左边需要增乘的代数式为 321aa(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1)K+1自我测评)(12212212kkkk（即即（12+4+6+8+2n=n2+n+1(nN*)证明证明 ：假设当：假设当n=kn=k时等式成立，即时等式成立，即 2+4+6+8+2k=k2+k+1(k 2+4+6+8+2k=k2+k+1(kN N* *) )

8、那么，当那么，当n=k+1n=k+1时，有时，有 2+4+6+8+2k+2 2+4+6+8+2k+2k+1)k+1) =k2+k+1+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1 , =(k+1)2+(k+1)+1 ,因此，对于任何因此，对于任何n nN N* *等式都成立等式都成立。缺乏缺乏“递推基础递推基础”这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.11111(1)()()22312111=2(1)1kkkkk左边右边*111(3)()1 223(1)1nnNnnn没有用上没有用上“假假设设”，故此法，故此法不是数学归纳不是数学归纳法法请修

9、改为数学请修改为数学归纳法归纳法证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 212111) 1(1321211kkkk假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. 11=1+12右边证明证明 当当n=1时时,左边左边= , 21211*111(3)()1 223(1)1nnNnnn1) 1(1321211kkkk11111 22 3(1)(1) (2)111 (1) (2)(1) 1kkkkkkkkkk 这这才才是是数数学学归归纳纳法法假设假设n=k(kN*)时原等式成立时原等式成立 ，即，即21111右边右边= 此时，原等式成立。此时，原等式成立。 那么那么n=k+1时时,这就是说，当这就是说，当n=k+1时时,命题也成立命题也成立.由由 知知,对一切正整数对一切正整数n,原等式均正确原等式均正确. (2)数学归纳法证题的步骤：两个步骤，